प्रश्नावली 13.2 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 13: सांख्यिकी · 6 प्रश्न (वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक)

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6

प्रश्न 1

निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है:

आयु (वर्षों में)	रोगियों की संख्या
5 − 15	6
15 − 25	11
25 − 35	21
35 − 45	23
45 − 55	14
55 − 65	5

उपरोक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों केंद्रीय प्रवृत्ति की मापों की तुलना कीजिए और उनकी व्याख्या कीजिए।

सूत्र:

(1)बहुलक

= l + (\frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}}) \times h

(2)

\overset{x}{ˉ} = \frac{Σ f _{i} x _{i}}{Σ f _{i}}

(i) बहुलक

वर्ग अंतराल	बारंबारता $f_{i}$
5 − 15	6
15 − 25	11
25 − 35	21
35 − 45	23
45 − 55	14
55 − 65	5

अधिकतम बारंबारता 23 है, जो वर्ग 35 − 45 की है।

बहुलक वर्ग=

35 - 45

निम्न सीमा

l

35

वर्ग माप

h

10

बहुलक वर्ग की बारंबारता

f_{1}

23

ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता

f_{0}

21

ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता

f_{2}

14

सूत्र (1) में मान रखने पर:

बहुलक=

l + (\frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}}) \times h

35 + (\frac{23 - 21}{2 \times 23 - 21 - 14}) \times 10

35 + \frac{2}{11} \times 10

35 + \frac{20}{11}

35 + 1.82

36.82

(लगभग)

(ii) माध्य

विधि: प्रत्यक्ष विधि

वर्ग चिह्न $x_{i}$ = (उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) ÷ 2

वर्ग अंतराल	$f_{i}$	$x_{i}$	$f_{i} x_{i}$
5 − 15	6	10	60
15 − 25	11	20	220
25 − 35	21	30	630
35 − 45	23	40	920
45 − 55	14	50	700
55 − 65	5	60	300
योग	$Σ f_{i}$ $= 80$		$Σ f_{i} x_{i}$ $= 2830$

सूत्र (2) में मान रखने पर:

\overset{x}{ˉ}

\frac{Σ f _{i} x _{i}}{Σ f _{i}}

\frac{2830}{80}

35.375

(iii) तुलना और व्याख्या

बहुलक (36.82 वर्ष) > माध्य (35.38 वर्ष)।

अर्थात् अस्पताल में भर्ती होने वाले रोगियों में सबसे अधिक रोगी लगभग 36.8 वर्ष आयु के हैं, जबकि भर्ती हुए रोगियों की औसत आयु लगभग 35.4 वर्ष है।

उत्तर:

(i) बहुलक = 36.82 वर्ष (लगभग)

(ii) माध्य = 35.38 वर्ष (लगभग)

(iii) अधिकतम रोगी लगभग 36.8 वर्ष के हैं; औसत आयु लगभग 35.4 वर्ष है।

प्रश्न 2

निम्नलिखित आँकड़े, 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घंटों में) की सूचना देते हैं:

जीवनकाल (घंटों में)	बारंबारता
0 − 20	10
20 − 40	35
40 − 60	52
60 − 80	61
80 − 100	38
100 − 120	29

उपकरणों का बहुलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।

सूत्र:

(1)बहुलक

= l + (\frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}}) \times h

वर्ग अंतराल	बारंबारता $f_{i}$
0 − 20	10
20 − 40	35
40 − 60	52
60 − 80	61
80 − 100	38
100 − 120	29

अधिकतम बारंबारता 61 है, जो वर्ग 60 − 80 की है।

बहुलक वर्ग=

60 - 80

निम्न सीमा

l

60

वर्ग माप

h

20

बहुलक वर्ग की बारंबारता

f_{1}

61

ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता

f_{0}

52

ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता

f_{2}

38

सूत्र (1) में मान रखने पर:

बहुलक=

l + (\frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}}) \times h

60 + (\frac{61 - 52}{2 \times 61 - 52 - 38}) \times 20

60 + \frac{9}{32} \times 20

60 + \frac{180}{32}

60 + 5.625

65.625

उत्तर: उपकरणों का बहुलक जीवनकाल = 65.625 घंटे (≈ 65.63 घंटे)

प्रश्न 3

निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए। साथ ही, माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए।

व्यय (रुपयों में)	परिवारों की संख्या
1000 − 1500	24
1500 − 2000	40
2000 − 2500	33
2500 − 3000	28
3000 − 3500	30
3500 − 4000	22
4000 − 4500	16
4500 − 5000	7

सूत्र:

(1)बहुलक

= l + (\frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}}) \times h

(2)

\overset{x}{ˉ} = a + h \times \frac{Σ f _{i} u _{i}}{Σ f _{i}}

(i) बहुलक मासिक व्यय

वर्ग अंतराल	बारंबारता $f_{i}$
1000 − 1500	24
1500 − 2000	40
2000 − 2500	33
2500 − 3000	28
3000 − 3500	30
3500 − 4000	22
4000 − 4500	16
4500 − 5000	7

अधिकतम बारंबारता 40 है, जो वर्ग 1500 − 2000 की है।

बहुलक वर्ग=

1500 - 2000

निम्न सीमा

l

1500

वर्ग माप

h

500

बहुलक वर्ग की बारंबारता

f_{1}

40

ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता

f_{0}

24

ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता

f_{2}

33

सूत्र (1) में मान रखने पर:

बहुलक=

l + (\frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}}) \times h

1500 + (\frac{40 - 24}{2 \times 40 - 24 - 33}) \times 500

1500 + \frac{16}{23} \times 500

1500 + \frac{8000}{23}

1500 + 347.83

1847.83

(लगभग)

(ii) माध्य मासिक व्यय

विधि: पग-विचलन विधि

वर्ग चिह्न $x_{i}$ = (उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) ÷ 2

कल्पित माध्य $a = 2750$ , वर्ग माप $h = 500$ लिया, तब $d_{i} = x_{i} - 2750$ और $u_{i} = \frac{d _{i}}{h}$

वर्ग अंतराल	$f_{i}$	$x_{i}$	$d_{i}$ $= x_{i} - 2750$	$u_{i}$ $= \frac{d _{i}}{500}$	$f_{i} u_{i}$
1000 − 1500	24	1250	−1500	−3	−72
1500 − 2000	40	1750	−1000	−2	−80
2000 − 2500	33	2250	−500	−1	−33
2500 − 3000	28	2750	0	0	0
3000 − 3500	30	3250	500	1	30
3500 − 4000	22	3750	1000	2	44
4000 − 4500	16	4250	1500	3	48
4500 − 5000	7	4750	2000	4	28
योग	$Σ f_{i}$ $= 200$				$Σ f_{i} u_{i}$ $= - 35$

सूत्र (2) में मान रखने पर:

\overset{x}{ˉ}

a + h \times \frac{Σ f _{i} u _{i}}{Σ f _{i}}

2750 + 500 \times (\frac{- 35}{200})

2750 - \frac{17500}{200}

2750 - 87.5

2662.5

उत्तर:

(i) बहुलक मासिक व्यय = ₹1847.83 (लगभग)

(ii) माध्य मासिक व्यय = ₹2662.50

प्रश्न 4

निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए।

प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या	राज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या
15 − 20	3
20 − 25	8
25 − 30	9
30 − 35	10
35 − 40	3
40 − 45	0
45 − 50	0
50 − 55	2

सूत्र:

(1)बहुलक

= l + (\frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}}) \times h

(2)

\overset{x}{ˉ} = a + h \times \frac{Σ f _{i} u _{i}}{Σ f _{i}}

(i) बहुलक

वर्ग अंतराल	बारंबारता $f_{i}$
15 − 20	3
20 − 25	8
25 − 30	9
30 − 35	10
35 − 40	3
40 − 45	0
45 − 50	0
50 − 55	2

अधिकतम बारंबारता 10 है, जो वर्ग 30 − 35 की है।

बहुलक वर्ग=

30 - 35

निम्न सीमा

l

30

वर्ग माप

h

5

बहुलक वर्ग की बारंबारता

f_{1}

10

ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता

f_{0}

9

ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता

f_{2}

3

सूत्र (1) में मान रखने पर:

बहुलक=

l + (\frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}}) \times h

30 + (\frac{10 - 9}{2 \times 10 - 9 - 3}) \times 5

30 + \frac{1}{8} \times 5

30 + \frac{5}{8}

30 + 0.625

30.625

(ii) माध्य

विधि: पग-विचलन विधि

वर्ग चिह्न $x_{i}$ = (उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) ÷ 2

कल्पित माध्य $a = 32.5$ , वर्ग माप $h = 5$ लिया, तब $d_{i} = x_{i} - 32.5$ और $u_{i} = \frac{d _{i}}{h}$

वर्ग अंतराल	$f_{i}$	$x_{i}$	$d_{i}$ $= x_{i} - 32.5$	$u_{i}$ $= \frac{d _{i}}{5}$	$f_{i} u_{i}$
15 − 20	3	17.5	−15	−3	−9
20 − 25	8	22.5	−10	−2	−16
25 − 30	9	27.5	−5	−1	−9
30 − 35	10	32.5	0	0	0
35 − 40	3	37.5	5	1	3
40 − 45	0	42.5	10	2	0
45 − 50	0	47.5	15	3	0
50 − 55	2	52.5	20	4	8
योग	$Σ f_{i}$ $= 35$				$Σ f_{i} u_{i}$ $= - 23$

सूत्र (2) में मान रखने पर:

\overset{x}{ˉ}

a + h \times \frac{Σ f _{i} u _{i}}{Σ f _{i}}

32.5 + 5 \times (\frac{- 23}{35})

32.5 - \frac{115}{35}

32.5 - 3.29

29.21

(लगभग)

(iii) व्याख्या

बहुलक 30.6 का अर्थ: अधिकतर राज्यों/संघीय क्षेत्रों में प्रति शिक्षक लगभग 30.6 विद्यार्थी हैं।

माध्य 29.2 का अर्थ: औसतन प्रति शिक्षक लगभग 29.2 विद्यार्थी हैं।

उत्तर:

(i) बहुलक = 30.625 ≈ 30.6

(ii) माध्य = 29.21 ≈ 29.2 (लगभग)

(iii) अधिकतर राज्यों में प्रति शिक्षक लगभग 30.6 विद्यार्थी हैं; औसतन प्रति शिक्षक लगभग 29.2 विद्यार्थी हैं।

प्रश्न 5

दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्ठतम बल्लेबाज़ों द्वारा एकदिवसीय अंतर्राष्ट्रीय क्रिकेट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है:

बनाए गए रन	बल्लेबाज़ों की संख्या
3000 − 4000	4
4000 − 5000	18
5000 − 6000	9
6000 − 7000	7
7000 − 8000	6
8000 − 9000	3
9000 − 10,000	1
10,000 − 11,000	1

इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

सूत्र:

(1)बहुलक

= l + (\frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}}) \times h

वर्ग अंतराल	बारंबारता $f_{i}$
3000 − 4000	4
4000 − 5000	18
5000 − 6000	9
6000 − 7000	7
7000 − 8000	6
8000 − 9000	3
9000 − 10000	1
10000 − 11000	1

अधिकतम बारंबारता 18 है, जो वर्ग 4000 − 5000 की है।

बहुलक वर्ग=

4000 - 5000

निम्न सीमा

l

4000

वर्ग माप

h

1000

बहुलक वर्ग की बारंबारता

f_{1}

18

ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता

f_{0}

4

ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता

f_{2}

9

सूत्र (1) में मान रखने पर:

बहुलक=

l + (\frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}}) \times h

4000 + (\frac{18 - 4}{2 \times 18 - 4 - 9}) \times 1000

4000 + \frac{14}{23} \times 1000

4000 + \frac{14000}{23}

4000 + 608.70

4608.70

(लगभग)

उत्तर: बनाए गए रनों का बहुलक = 4608.7 रन (लगभग)

प्रश्न 6

एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट कीं और उन्हें नीचे दी हुई सारणी के रूप में व्यक्त किया। सारणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अंतराल में उस स्थान से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से संबंधित है। ऐसे 100 अंतरालों पर प्रेक्षण लिए गए। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

कारों की संख्या	बारंबारता
0 − 10	7
10 − 20	14
20 − 30	13
30 − 40	12
40 − 50	20
50 − 60	11
60 − 70	15
70 − 80	8

सूत्र:

(1)बहुलक

= l + (\frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}}) \times h

वर्ग अंतराल	बारंबारता $f_{i}$
0 − 10	7
10 − 20	14
20 − 30	13
30 − 40	12
40 − 50	20
50 − 60	11
60 − 70	15
70 − 80	8

अधिकतम बारंबारता 20 है, जो वर्ग 40 − 50 की है।

बहुलक वर्ग=

40 - 50

निम्न सीमा

l

40

वर्ग माप

h

10

बहुलक वर्ग की बारंबारता

f_{1}

20

ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता

f_{0}

12

ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता

f_{2}

11

सूत्र (1) में मान रखने पर:

बहुलक=

l + (\frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}}) \times h

40 + (\frac{20 - 12}{2 \times 20 - 12 - 11}) \times 10

40 + \frac{8}{17} \times 10

40 + \frac{80}{17}

40 + 4.71

44.71

(लगभग)

उत्तर: कारों की संख्या का बहुलक = 44.7 (लगभग)

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।