प्रश्नावली 13.1 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 13: सांख्यिकी · 9 प्रश्न (वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य)

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7 प्र. 8 प्र. 9

प्रश्न 1

विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अंतर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए। प्रति घर माध्य पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।

पौधों की संख्या	घरों की संख्या
0 − 2	1
2 − 4	2
4 − 6	1
6 − 8	5
8 − 10	6
10 − 12	2
12 − 14	3

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों?

विधि: प्रत्यक्ष विधि

सूत्र:

(1)

\overset{x}{ˉ} = \frac{Σ f _{i} x _{i}}{Σ f _{i}}

वर्ग चिह्न $x_{i}$ = (उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) ÷ 2

वर्ग अंतराल	$f_{i}$	$x_{i}$	$f_{i} x_{i}$
0 − 2	1	1	1
2 − 4	2	3	6
4 − 6	1	5	5
6 − 8	5	7	35
8 − 10	6	9	54
10 − 12	2	11	22
12 − 14	3	13	39
योग	$Σ f_{i}$ $= 20$		$Σ f_{i} x_{i}$ $= 162$

सूत्र (1) में मान रखने पर:

\overset{x}{ˉ}

\frac{Σ f _{i} x _{i}}{Σ f _{i}}

\frac{162}{20}

8.1

प्रत्यक्ष विधि इसलिए चुनी, क्योंकि $x_{i}$ और $f_{i}$ दोनों के मान छोटे हैं, इसलिए $f_{i} x_{i}$ सीधे आसानी से निकल जाते हैं।

जाँच:

माध्य 8.1 वर्ग 8 − 10 में है, जहाँ सबसे अधिक (6) घर हैं; उत्तर उचित है ✔

उत्तर:

(i) प्रति घर माध्य पौधों की संख्या = 8.1

(ii) विधि: प्रत्यक्ष विधि, क्योंकि xᵢ और fᵢ के मान छोटे हैं।

प्रश्न 2

किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मज़दूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए:

दैनिक मज़दूरी (रुपयों में)	श्रमिकों की संख्या
500 − 520	12
520 − 540	14
540 − 560	8
560 − 580	6
580 − 600	10

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मज़दूरी ज्ञात कीजिए।

विधि: कल्पित माध्य विधि

सूत्र:

(1)

\overset{x}{ˉ} = a + \frac{Σ f _{i} d _{i}}{Σ f _{i}}

वर्ग चिह्न $x_{i}$ = (उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) ÷ 2

कल्पित माध्य $a = 550$ लिया (बीच का वर्ग चिह्न), तब $d_{i} = x_{i} - 550$

वर्ग अंतराल	$f_{i}$	$x_{i}$	$d_{i}$ $= x_{i} - 550$	$f_{i} d_{i}$
500 − 520	12	510	−40	−480
520 − 540	14	530	−20	−280
540 − 560	8	550	0	0
560 − 580	6	570	20	120
580 − 600	10	590	40	400
योग	$Σ f_{i}$ $= 50$			$Σ f_{i} d_{i}$ $= - 240$

सूत्र (1) में मान रखने पर:

\overset{x}{ˉ}

a + \frac{Σ f _{i} d _{i}}{Σ f _{i}}

550 + (\frac{- 240}{50})

550 - 4.8

545.2

जाँच:

$Σ f_{i} x_{i} = 27260$ और $\frac{27260}{50} = 545.2$ (प्रत्यक्ष विधि से भी वही) ✔

उत्तर: श्रमिकों की माध्य दैनिक मज़दूरी ₹545.20

प्रश्न 3

निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेबखर्च दर्शाता है। माध्य जेबखर्च ₹18 है। लुप्त बारंबारता $f$ ज्ञात कीजिए:

दैनिक जेब भत्ता (रुपयों में)	बच्चों की संख्या
11 − 13	7
13 − 15	6
15 − 17	9
17 − 19	13
19 − 21	$f$
21 − 23	5
23 − 25	4

विधि: प्रत्यक्ष विधि

सूत्र:

(1)

\overset{x}{ˉ} = \frac{Σ f _{i} x _{i}}{Σ f _{i}}

वर्ग चिह्न $x_{i}$ = (उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) ÷ 2

वर्ग अंतराल	$f_{i}$	$x_{i}$	$f_{i} x_{i}$
11 − 13	7	12	84
13 − 15	6	14	84
15 − 17	9	16	144
17 − 19	13	18	234
19 − 21	$f$	20	$20 f$
21 − 23	5	22	110
23 − 25	4	24	96
योग	$Σ f_{i}$ $= 44 + f$		$Σ f_{i} x_{i}$ $= 752 + 20 f$

दिया है: माध्य $\overset{x}{ˉ} = 18$ । सूत्र (1) में मान रखने पर:

18

\frac{752 + 20 f}{44 + f}

दोनों पक्षों को $(44 + f)$ से गुणा करने पर:

18 (44 + f)

752 + 20 f

792 + 18 f

752 + 20 f

18 f - 20 f

752 - 792

- 2 f

- 40

f

\frac{- 40}{- 2}

f

20

जाँच:

f = 20 रखने पर $Σ f_{i} = 64$ , $Σ f_{i} x_{i} = 752 + 400 = 1152$ और $\frac{1152}{64} = 18$ = दिया हुआ माध्य ✔

उत्तर: लुप्त बारंबारता f = 20

प्रश्न 4

किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए:

हृदय स्पंदन की प्रति मिनट संख्या	महिलाओं की संख्या
65 − 68	2
68 − 71	4
71 − 74	3
74 − 77	8
77 − 80	7
80 − 83	4
83 − 86	2

विधि: कल्पित माध्य विधि

सूत्र:

(1)

\overset{x}{ˉ} = a + \frac{Σ f _{i} d _{i}}{Σ f _{i}}

वर्ग चिह्न $x_{i}$ = (उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) ÷ 2

कल्पित माध्य $a = 75.5$ लिया (बीच का वर्ग चिह्न), तब $d_{i} = x_{i} - 75.5$

वर्ग अंतराल	$f_{i}$	$x_{i}$	$d_{i}$ $= x_{i} - 75.5$	$f_{i} d_{i}$
65 − 68	2	66.5	−9	−18
68 − 71	4	69.5	−6	−24
71 − 74	3	72.5	−3	−9
74 − 77	8	75.5	0	0
77 − 80	7	78.5	3	21
80 − 83	4	81.5	6	24
83 − 86	2	84.5	9	18
योग	$Σ f_{i}$ $= 30$			$Σ f_{i} d_{i}$ $= 12$

सूत्र (1) में मान रखने पर:

\overset{x}{ˉ}

a + \frac{Σ f _{i} d _{i}}{Σ f _{i}}

75.5 + (\frac{12}{30})

75.5 + 0.4

75.9

जाँच:

प्रत्यक्ष विधि से $Σ f_{i} x_{i} = 2277$ और $\frac{2277}{30} = 75.9$ ✔

उत्तर: महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या = 75.9

प्रश्न 5

किसी फुटकर बाज़ार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थीं। पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था:

आमों की संख्या	पेटियों की संख्या
50 − 52	15
53 − 55	110
56 − 58	135
59 − 61	115
62 − 64	25

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है?

वर्ग अंतराल सतत नहीं हैं, पर माध्य के लिए केवल वर्ग चिह्न चाहिए (जैसे $\frac{50 + 52}{2} = 51$ ), इसलिए वर्गों को बदलने की आवश्यकता नहीं है।

विधि: कल्पित माध्य विधि

सूत्र:

(1)

\overset{x}{ˉ} = a + \frac{Σ f _{i} d _{i}}{Σ f _{i}}

वर्ग चिह्न $x_{i}$ = (उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) ÷ 2

कल्पित माध्य $a = 57$ लिया (बीच का वर्ग चिह्न), तब $d_{i} = x_{i} - 57$

वर्ग अंतराल	$f_{i}$	$x_{i}$	$d_{i}$ $= x_{i} - 57$	$f_{i} d_{i}$
50 − 52	15	51	−6	−90
53 − 55	110	54	−3	−330
56 − 58	135	57	0	0
59 − 61	115	60	3	345
62 − 64	25	63	6	150
योग	$Σ f_{i}$ $= 400$			$Σ f_{i} d_{i}$ $= 75$

सूत्र (1) में मान रखने पर:

\overset{x}{ˉ}

a + \frac{Σ f _{i} d _{i}}{Σ f _{i}}

57 + (\frac{75}{400})

57 + 0.1875

57.1875

$f_{i}$ के मान बड़े (110, 135, 115) हैं, इसलिए कल्पित माध्य विधि चुनी, जिससे गुणा छोटी संख्याओं से हो।

जाँच:

प्रत्यक्ष विधि से $Σ f_{i} x_{i} = 22875$ और $\frac{22875}{400} = 57.1875$ ✔

उत्तर:

(i) एक पेटी में आमों की माध्य संख्या = 57.19 (लगभग)

(ii) विधि: कल्पित माध्य विधि, क्योंकि fᵢ के मान बड़े हैं।

प्रश्न 6

निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है:

दैनिक व्यय (रुपयों में)	परिवारों की संख्या
100 − 150	4
150 − 200	5
200 − 250	12
250 − 300	2
300 − 350	2

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।

विधि: पग-विचलन विधि

सूत्र:

(1)

\overset{x}{ˉ} = a + h \times \frac{Σ f _{i} u _{i}}{Σ f _{i}}

वर्ग चिह्न $x_{i}$ = (उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) ÷ 2

कल्पित माध्य $a = 225$ , वर्ग माप $h = 50$ लिया, तब $d_{i} = x_{i} - 225$ और $u_{i} = \frac{d _{i}}{h}$

वर्ग अंतराल	$f_{i}$	$x_{i}$	$d_{i}$ $= x_{i} - 225$	$u_{i}$ $= \frac{d _{i}}{50}$	$f_{i} u_{i}$
100 − 150	4	125	−100	−2	−8
150 − 200	5	175	−50	−1	−5
200 − 250	12	225	0	0	0
250 − 300	2	275	50	1	2
300 − 350	2	325	100	2	4
योग	$Σ f_{i}$ $= 25$				$Σ f_{i} u_{i}$ $= - 7$

सूत्र (1) में मान रखने पर:

\overset{x}{ˉ}

a + h \times \frac{Σ f _{i} u _{i}}{Σ f _{i}}

225 + 50 \times (\frac{- 7}{25})

225 - \frac{350}{25}

225 - 14

211

जाँच:

प्रत्यक्ष विधि से $Σ f_{i} x_{i} = 5275$ और $\frac{5275}{25} = 211$ ✔

उत्तर: भोजन पर हुआ माध्य दैनिक व्यय ₹211

प्रश्न 7

वायु में सल्फर डाई-ऑक्साइड (SO₂) की सांद्रता (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के 30 मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है:

SO₂ की सांद्रता	बारंबारता
0.00 − 0.04	4
0.04 − 0.08	9
0.08 − 0.12	9
0.12 − 0.16	2
0.16 − 0.20	4
0.20 − 0.24	2

वायु में SO₂ की सांद्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।

विधि: पग-विचलन विधि

सूत्र:

(1)

\overset{x}{ˉ} = a + h \times \frac{Σ f _{i} u _{i}}{Σ f _{i}}

वर्ग चिह्न $x_{i}$ = (उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) ÷ 2

कल्पित माध्य $a = 0.1$ , वर्ग माप $h = 0.04$ लिया, तब $d_{i} = x_{i} - 0.1$ और $u_{i} = \frac{d _{i}}{h}$

वर्ग अंतराल	$f_{i}$	$x_{i}$	$d_{i}$ $= x_{i} - 0.1$	$u_{i}$ $= \frac{d _{i}}{0.04}$	$f_{i} u_{i}$
0.00 − 0.04	4	0.02	−0.08	−2	−8
0.04 − 0.08	9	0.06	−0.04	−1	−9
0.08 − 0.12	9	0.1	0	0	0
0.12 − 0.16	2	0.14	0.04	1	2
0.16 − 0.20	4	0.18	0.08	2	8
0.20 − 0.24	2	0.22	0.12	3	6
योग	$Σ f_{i}$ $= 30$				$Σ f_{i} u_{i}$ $= - 1$

सूत्र (1) में मान रखने पर:

\overset{x}{ˉ}

a + h \times \frac{Σ f _{i} u _{i}}{Σ f _{i}}

0.1 + 0.04 \times (\frac{- 1}{30})

0.1 - 0.0013

0.0987

(लगभग)

जाँच:

प्रत्यक्ष विधि से $Σ f_{i} x_{i} = 2.96$ और $\frac{2.96}{30} = 0.0987$ (लगभग) ✔

उत्तर: वायु में SO₂ की माध्य सांद्रता ≈ 0.099 ppm (भाग प्रति मिलियन)

प्रश्न 8

किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड (record) की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए:

दिनों की संख्या	विद्यार्थियों की संख्या
0 − 6	11
6 − 10	10
10 − 14	7
14 − 20	4
20 − 28	4
28 − 38	3
38 − 40	1

वर्ग माप असमान हैं (6, 4, 4, 6, 8, 10, 2), इसलिए पग-विचलन विधि सुविधाजनक नहीं; कल्पित माध्य विधि लेते हैं।

विधि: कल्पित माध्य विधि

सूत्र:

(1)

\overset{x}{ˉ} = a + \frac{Σ f _{i} d _{i}}{Σ f _{i}}

वर्ग चिह्न $x_{i}$ = (उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) ÷ 2

कल्पित माध्य $a = 17$ लिया (बीच का वर्ग चिह्न), तब $d_{i} = x_{i} - 17$

वर्ग अंतराल	$f_{i}$	$x_{i}$	$d_{i}$ $= x_{i} - 17$	$f_{i} d_{i}$
0 − 6	11	3	−14	−154
6 − 10	10	8	−9	−90
10 − 14	7	12	−5	−35
14 − 20	4	17	0	0
20 − 28	4	24	7	28
28 − 38	3	33	16	48
38 − 40	1	39	22	22
योग	$Σ f_{i}$ $= 40$			$Σ f_{i} d_{i}$ $= - 181$

सूत्र (1) में मान रखने पर:

\overset{x}{ˉ}

a + \frac{Σ f _{i} d _{i}}{Σ f _{i}}

17 + (\frac{- 181}{40})

17 - 4.525

12.475

जाँच:

प्रत्यक्ष विधि से $Σ f_{i} x_{i} = 499$ और $\frac{499}{40} = 12.475$ ✔

उत्तर: एक विद्यार्थी के अनुपस्थित रहने के दिनों का माध्य = 12.475 ≈ 12.48 दिन

प्रश्न 9

निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए:

साक्षरता दर (% में)	नगरों की संख्या
45 − 55	3
55 − 65	10
65 − 75	11
75 − 85	8
85 − 95	3

विधि: पग-विचलन विधि

सूत्र:

(1)

\overset{x}{ˉ} = a + h \times \frac{Σ f _{i} u _{i}}{Σ f _{i}}

वर्ग चिह्न $x_{i}$ = (उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) ÷ 2

कल्पित माध्य $a = 70$ , वर्ग माप $h = 10$ लिया, तब $d_{i} = x_{i} - 70$ और $u_{i} = \frac{d _{i}}{h}$

वर्ग अंतराल	$f_{i}$	$x_{i}$	$d_{i}$ $= x_{i} - 70$	$u_{i}$ $= \frac{d _{i}}{10}$	$f_{i} u_{i}$
45 − 55	3	50	−20	−2	−6
55 − 65	10	60	−10	−1	−10
65 − 75	11	70	0	0	0
75 − 85	8	80	10	1	8
85 − 95	3	90	20	2	6
योग	$Σ f_{i}$ $= 35$				$Σ f_{i} u_{i}$ $= - 2$

सूत्र (1) में मान रखने पर:

\overset{x}{ˉ}

a + h \times \frac{Σ f _{i} u _{i}}{Σ f _{i}}

70 + 10 \times (\frac{- 2}{35})

70 - \frac{20}{35}

70 - 0.57

69.43

(लगभग)

जाँच:

प्रत्यक्ष विधि से $Σ f_{i} x_{i} = 2430$ और $\frac{2430}{35} = 69.43$ (लगभग) ✔

उत्तर: माध्य साक्षरता दर = 69.43% (लगभग)

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।