प्रश्नावली 13.3 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 13: सांख्यिकी · 7 प्रश्न (वर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक)

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7

प्रश्न 1

निम्नलिखित बारंबारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए। इनकी तुलना कीजिए।

मासिक खपत (इकाइयों में)	उपभोक्ताओं की संख्या
65 − 85	4
85 − 105	5
105 − 125	13
125 − 145	20
145 − 165	14
165 − 185	8
185 − 205	4

सूत्र:

(1)माध्यक

= l + (\frac{\frac{n}{2} - c f}{f}) \times h

(2)

\overset{x}{ˉ} = a + h \times \frac{Σ f _{i} u _{i}}{Σ f _{i}}

(3)बहुलक

= l + (\frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}}) \times h

(i) माध्यक

वर्ग अंतराल	बारंबारता $f_{i}$	संचयी बारंबारता $c f$
65 − 85	4	4
85 − 105	5	9
105 − 125	13	22
125 − 145	20	42
145 − 165	14	56
165 − 185	8	64
185 − 205	4	68
योग	$n = 68$

n

68

\frac{n}{2}

\frac{68}{2}

34

34 से अधिक और उसकी निकटतम संचयी बारंबारता 42 है, जो वर्ग 125 − 145 की है।

माध्यक वर्ग=

125 - 145

निम्न सीमा

l

125

पिछले वर्ग की संचयी बारंबारता

c f

22

माध्यक वर्ग की बारंबारता

f

20

वर्ग माप

h

20

सूत्र (1) में मान रखने पर:

माध्यक=

l + (\frac{\frac{n}{2} - c f}{f}) \times h

125 + (\frac{34 - 22}{20}) \times 20

125 + \frac{12}{20} \times 20

125 + \frac{240}{20}

125 + 12

137

(ii) माध्य

विधि: पग-विचलन विधि

वर्ग चिह्न $x_{i}$ = (उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) ÷ 2

कल्पित माध्य $a = 135$ , वर्ग माप $h = 20$ लिया, तब $d_{i} = x_{i} - 135$ और $u_{i} = \frac{d _{i}}{h}$

वर्ग अंतराल	$f_{i}$	$x_{i}$	$d_{i}$ $= x_{i} - 135$	$u_{i}$ $= \frac{d _{i}}{20}$	$f_{i} u_{i}$
65 − 85	4	75	−60	−3	−12
85 − 105	5	95	−40	−2	−10
105 − 125	13	115	−20	−1	−13
125 − 145	20	135	0	0	0
145 − 165	14	155	20	1	14
165 − 185	8	175	40	2	16
185 − 205	4	195	60	3	12
योग	$Σ f_{i}$ $= 68$				$Σ f_{i} u_{i}$ $= 7$

सूत्र (2) में मान रखने पर:

\overset{x}{ˉ}

a + h \times \frac{Σ f _{i} u _{i}}{Σ f _{i}}

135 + 20 \times (\frac{7}{68})

135 + \frac{140}{68}

135 + 2.06

137.06

(लगभग)

(iii) बहुलक

वर्ग अंतराल	बारंबारता $f_{i}$
65 − 85	4
85 − 105	5
105 − 125	13
125 − 145	20
145 − 165	14
165 − 185	8
185 − 205	4

अधिकतम बारंबारता 20 है, जो वर्ग 125 − 145 की है।

बहुलक वर्ग=

125 - 145

निम्न सीमा

l

125

वर्ग माप

h

20

बहुलक वर्ग की बारंबारता

f_{1}

20

ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता

f_{0}

13

ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता

f_{2}

14

सूत्र (3) में मान रखने पर:

बहुलक=

l + (\frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}}) \times h

125 + (\frac{20 - 13}{2 \times 20 - 13 - 14}) \times 20

125 + \frac{7}{13} \times 20

125 + \frac{140}{13}

125 + 10.77

135.77

(लगभग)

(iv) तुलना

माध्यक = 137 इकाई, माध्य ≈ 137.06 इकाई, बहुलक ≈ 135.77 इकाई — तीनों लगभग बराबर हैं।

अर्थात् अधिकतर उपभोक्ता लगभग 135.8 इकाई बिजली खर्च करते हैं, आधे उपभोक्ता 137 इकाई से कम खर्च करते हैं और औसत खपत लगभग 137 इकाई है।

उत्तर:

(i) माध्यक = 137 इकाई

(ii) माध्य = 137.06 इकाई (लगभग)

(iii) बहुलक = 135.77 इकाई (लगभग)

(iv) तीनों माप लगभग बराबर हैं।

प्रश्न 2

यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए:

वर्ग अंतराल	बारंबारता
0 − 10	5
10 − 20	$x$
20 − 30	20
30 − 40	15
40 − 50	$y$
50 − 60	5
योग	60

सूत्र:

(1)माध्यक

= l + (\frac{\frac{n}{2} - c f}{f}) \times h

वर्ग अंतराल	बारंबारता $f_{i}$	संचयी बारंबारता $c f$
0 − 10	5	5
10 − 20	$x$	$5 + x$
20 − 30	20	$25 + x$
30 − 40	15	$40 + x$
40 − 50	$y$	$40 + x + y$
50 − 60	5	$45 + x + y$
योग	$n = 60$

कुल बारंबारता $n = 60$ है:

45 + x + y

60

x + y

60 - 45

x + y

15 \dots (2)

माध्यक 28.5 है, जो वर्ग 20 − 30 में है, इसलिए माध्यक वर्ग = 20 − 30:

l

20

\frac{n}{2}

30

c f

5 + x

f

20

h

10

सूत्र (1) में मान रखने पर:

28.5

20 + (\frac{30 - ( 5 + x )}{20}) \times 10

28.5

20 + \frac{25 - x}{2}

28.5 - 20

\frac{25 - x}{2}

8.5

\frac{25 - x}{2}

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर:

17

25 - x

x

25 - 17

x

8

समीकरण (2) में x = 8 रखने पर:

8 + y

15

y

15 - 8

y

7

जाँच:

x = 8, y = 7 रखने पर कुल बारंबारता $5 + 8 + 20 + 15 + 7 + 5 = 60$ ✔; $c f = 13$ और माध्यक $= 20 + \frac{30 - 13}{20} \times 10 = 20 + 8.5 = 28.5$ ✔

उत्तर:

(i) x = 8

(ii) y = 7

प्रश्न 3

एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है। माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है, जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, परंतु 60 वर्ष से कम हो।

आयु (वर्षों में)	पॉलिसी धारकों की संख्या
20 से कम	2
25 से कम	6
30 से कम	24
35 से कम	45
40 से कम	78
45 से कम	89
50 से कम	92
55 से कम	98
60 से कम	100

सूत्र:

(1)माध्यक

= l + (\frac{\frac{n}{2} - c f}{f}) \times h

दिया गया बंटन ‘से कम’ प्रकार का है। उपरि सीमाएँ 20, 25, …, 60 हैं, इसलिए वर्ग 20 − 25, 25 − 30, …, 55 − 60 बनते हैं। पॉलिसी 18 वर्ष या उससे अधिक आयु पर मिलती है, इसलिए पहला वर्ग 18 − 20 है (‘20 से कम’)। प्रत्येक वर्ग की बारंबारता = उसकी संचयी बारंबारता − पिछली संचयी बारंबारता:

वर्ग अंतराल	बारंबारता $f_{i}$	संचयी बारंबारता $c f$
18 − 20 (20 से कम)	2	2
20 − 25	6 − 2 = 4	6
25 − 30	24 − 6 = 18	24
30 − 35	45 − 24 = 21	45
35 − 40	78 − 45 = 33	78
40 − 45	89 − 78 = 11	89
45 − 50	92 − 89 = 3	92
50 − 55	98 − 92 = 6	98
55 − 60	100 − 98 = 2	100
योग	$n = 100$

n

100

\frac{n}{2}

\frac{100}{2}

50

50 से अधिक और उसकी निकटतम संचयी बारंबारता 78 है, जो वर्ग 35 − 40 की है।

माध्यक वर्ग=

35 - 40

निम्न सीमा

l

35

पिछले वर्ग की संचयी बारंबारता

c f

45

माध्यक वर्ग की बारंबारता

f

33

वर्ग माप

h

5

सूत्र (1) में मान रखने पर:

माध्यक=

l + (\frac{\frac{n}{2} - c f}{f}) \times h

35 + (\frac{50 - 45}{33}) \times 5

35 + \frac{5}{33} \times 5

35 + \frac{25}{33}

35 + 0.76

35.76

(लगभग)

(पहले वर्ग की निचली सीमा 15 या 18 कुछ भी हो, माध्यक पर कोई प्रभाव नहीं, क्योंकि माध्यक वर्ग 35 − 40 है।)

उत्तर: माध्यक आयु = 35.76 वर्ष (लगभग)

प्रश्न 4

एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती हैं तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है:

लंबाई (mm में)	पत्तियों की संख्या
118 − 126	3
127 − 135	5
136 − 144	9
145 − 153	12
154 − 162	5
163 − 171	4
172 − 180	2

पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए।
संकेत: माध्यक ज्ञात करने के लिए, आँकड़ों को सतत वर्ग अंतरालों में बदलना पड़ेगा, क्योंकि सूत्र में वर्ग अंतरालों को सतत माना गया है। तब ये वर्ग 117.5 − 126.5, 126.5 − 135.5, …, 171.5 − 180.5 में बदल जाते हैं।

सूत्र:

(1)माध्यक

= l + (\frac{\frac{n}{2} - c f}{f}) \times h

वर्ग सतत नहीं हैं। एक वर्ग की उपरि सीमा और अगले वर्ग की निचली सीमा का अंतर 1 है, इसलिए प्रत्येक निचली सीमा में से $\frac{1}{2} = 0.5$ घटाकर और प्रत्येक उपरि सीमा में 0.5 जोड़कर वर्गों को सतत बनाया:

दिया गया वर्ग	सतत वर्ग
118 − 126	117.5 − 126.5
127 − 135	126.5 − 135.5
136 − 144	135.5 − 144.5
145 − 153	144.5 − 153.5
154 − 162	153.5 − 162.5
163 − 171	162.5 − 171.5
172 − 180	171.5 − 180.5

वर्ग अंतराल	बारंबारता $f_{i}$	संचयी बारंबारता $c f$
117.5 − 126.5	3	3
126.5 − 135.5	5	8
135.5 − 144.5	9	17
144.5 − 153.5	12	29
153.5 − 162.5	5	34
162.5 − 171.5	4	38
171.5 − 180.5	2	40
योग	$n = 40$

n

40

\frac{n}{2}

\frac{40}{2}

20

20 से अधिक और उसकी निकटतम संचयी बारंबारता 29 है, जो वर्ग 144.5 − 153.5 की है।

माध्यक वर्ग=

144.5 - 153.5

निम्न सीमा

l

144.5

पिछले वर्ग की संचयी बारंबारता

c f

17

माध्यक वर्ग की बारंबारता

f

12

वर्ग माप

h

9

सूत्र (1) में मान रखने पर:

माध्यक=

l + (\frac{\frac{n}{2} - c f}{f}) \times h

144.5 + (\frac{20 - 17}{12}) \times 9

144.5 + \frac{3}{12} \times 9

144.5 + \frac{27}{12}

144.5 + 2.25

146.75

उत्तर: पत्तियों की माध्यक लंबाई = 146.75 mm

प्रश्न 5

निम्नलिखित सारणी 400 नियॉन लैंपों के जीवन कालों (life time) को प्रदर्शित करती है:

जीवन काल (घंटों में)	लैंपों की संख्या
1500 − 2000	14
2000 − 2500	56
2500 − 3000	60
3000 − 3500	86
3500 − 4000	74
4000 − 4500	62
4500 − 5000	48

एक लैंप का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए।

सूत्र:

(1)माध्यक

= l + (\frac{\frac{n}{2} - c f}{f}) \times h

वर्ग अंतराल	बारंबारता $f_{i}$	संचयी बारंबारता $c f$
1500 − 2000	14	14
2000 − 2500	56	70
2500 − 3000	60	130
3000 − 3500	86	216
3500 − 4000	74	290
4000 − 4500	62	352
4500 − 5000	48	400
योग	$n = 400$

n

400

\frac{n}{2}

\frac{400}{2}

200

200 से अधिक और उसकी निकटतम संचयी बारंबारता 216 है, जो वर्ग 3000 − 3500 की है।

माध्यक वर्ग=

3000 - 3500

निम्न सीमा

l

3000

पिछले वर्ग की संचयी बारंबारता

c f

130

माध्यक वर्ग की बारंबारता

f

86

वर्ग माप

h

500

सूत्र (1) में मान रखने पर:

माध्यक=

l + (\frac{\frac{n}{2} - c f}{f}) \times h

3000 + (\frac{200 - 130}{86}) \times 500

3000 + \frac{70}{86} \times 500

3000 + \frac{35000}{86}

3000 + 406.98

3406.98

(लगभग)

उत्तर: एक लैंप का माध्यक जीवन काल = 3406.98 घंटे (लगभग)

प्रश्न 6

एक स्थानीय टेलीफ़ोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए गए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ:

अक्षरों की संख्या	कुलनामों की संख्या
1 − 4	6
4 − 7	30
7 − 10	40
10 − 13	16
13 − 16	4
16 − 19	4

कुलनामों में माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुलनामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही, कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

सूत्र:

(1)माध्यक

= l + (\frac{\frac{n}{2} - c f}{f}) \times h

(2)

\overset{x}{ˉ} = \frac{Σ f _{i} x _{i}}{Σ f _{i}}

(3)बहुलक

= l + (\frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}}) \times h

(i) माध्यक

वर्ग अंतराल	बारंबारता $f_{i}$	संचयी बारंबारता $c f$
1 − 4	6	6
4 − 7	30	36
7 − 10	40	76
10 − 13	16	92
13 − 16	4	96
16 − 19	4	100
योग	$n = 100$

n

100

\frac{n}{2}

\frac{100}{2}

50

50 से अधिक और उसकी निकटतम संचयी बारंबारता 76 है, जो वर्ग 7 − 10 की है।

माध्यक वर्ग=

7 - 10

निम्न सीमा

l

7

पिछले वर्ग की संचयी बारंबारता

c f

36

माध्यक वर्ग की बारंबारता

f

40

वर्ग माप

h

3

सूत्र (1) में मान रखने पर:

माध्यक=

l + (\frac{\frac{n}{2} - c f}{f}) \times h

7 + (\frac{50 - 36}{40}) \times 3

7 + \frac{14}{40} \times 3

7 + \frac{42}{40}

7 + 1.05

8.05

(ii) माध्य

विधि: प्रत्यक्ष विधि

वर्ग चिह्न $x_{i}$ = (उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा) ÷ 2

वर्ग अंतराल	$f_{i}$	$x_{i}$	$f_{i} x_{i}$
1 − 4	6	2.5	15
4 − 7	30	5.5	165
7 − 10	40	8.5	340
10 − 13	16	11.5	184
13 − 16	4	14.5	58
16 − 19	4	17.5	70
योग	$Σ f_{i}$ $= 100$		$Σ f_{i} x_{i}$ $= 832$

सूत्र (2) में मान रखने पर:

\overset{x}{ˉ}

\frac{Σ f _{i} x _{i}}{Σ f _{i}}

\frac{832}{100}

8.32

(iii) बहुलक

वर्ग अंतराल	बारंबारता $f_{i}$
1 − 4	6
4 − 7	30
7 − 10	40
10 − 13	16
13 − 16	4
16 − 19	4

अधिकतम बारंबारता 40 है, जो वर्ग 7 − 10 की है।

बहुलक वर्ग=

7 - 10

निम्न सीमा

l

7

वर्ग माप

h

3

बहुलक वर्ग की बारंबारता

f_{1}

40

ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता

f_{0}

30

ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता

f_{2}

16

सूत्र (3) में मान रखने पर:

बहुलक=

l + (\frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}}) \times h

7 + (\frac{40 - 30}{2 \times 40 - 30 - 16}) \times 3

7 + \frac{10}{34} \times 3

7 + \frac{30}{34}

7 + 0.88

7.88

(लगभग)

उत्तर:

(i) माध्यक अक्षरों की संख्या = 8.05

(ii) माध्य अक्षरों की संख्या = 8.32

(iii) बहुलक = 7.88 (लगभग)

प्रश्न 7

नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है। विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए।

भार (किलोग्राम में)	विद्यार्थियों की संख्या
40 − 45	2
45 − 50	3
50 − 55	8
55 − 60	6
60 − 65	6
65 − 70	3
70 − 75	2

सूत्र:

(1)माध्यक

= l + (\frac{\frac{n}{2} - c f}{f}) \times h

वर्ग अंतराल	बारंबारता $f_{i}$	संचयी बारंबारता $c f$
40 − 45	2	2
45 − 50	3	5
50 − 55	8	13
55 − 60	6	19
60 − 65	6	25
65 − 70	3	28
70 − 75	2	30
योग	$n = 30$

n

30

\frac{n}{2}

\frac{30}{2}

15

15 से अधिक और उसकी निकटतम संचयी बारंबारता 19 है, जो वर्ग 55 − 60 की है।

माध्यक वर्ग=

55 - 60

निम्न सीमा

l

55

पिछले वर्ग की संचयी बारंबारता

c f

13

माध्यक वर्ग की बारंबारता

f

6

वर्ग माप

h

5

सूत्र (1) में मान रखने पर:

माध्यक=

l + (\frac{\frac{n}{2} - c f}{f}) \times h

55 + (\frac{15 - 13}{6}) \times 5

55 + \frac{2}{6} \times 5

55 + \frac{10}{6}

55 + 1.67

56.67

(लगभग)

उत्तर: विद्यार्थियों का माध्यक भार = 56.67 kg (लगभग)

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।