प्रश्नावली 8.2 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 8: त्रिकोणमिति का परिचय · 4 प्रश्न (विशिष्ट कोणों के अनुपात)

प्रश्न 1

निम्नलिखित के मान निकालिए:(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°(ii) 2 tan²45° + cos²30° − sin²60°(iii) cos 45° / (sec 30° + cosec 30°)(iv) (sin 30° + tan 45° − cosec 60°) / (sec 30° + cos 60° + cot 45°)(v) (5 cos²60° + 4 sec²30° − tan²45°) / (sin²30° + cos²30°)

सूत्र (विशिष्ट कोणों के मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{1}{2}, tan 4 5^{\circ} = cot 4 5^{\circ} = 1

(3)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 6 0^{\circ} = 3, sec 3 0^{\circ} = \frac{2}{3}, cosec 6 0^{\circ} = \frac{2}{3}

(4)

sin 0^{\circ} = 0, cos 0^{\circ} = 1, tan 0^{\circ} = 0

(i)

sin 6 0^{\circ} cos 3 0^{\circ} + sin 3 0^{\circ} cos 6 0^{\circ}

\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

\frac{3}{4} + \frac{1}{4}

1

(ii)

2 tan^{2} 4 5^{\circ} + cos^{2} 3 0^{\circ} - sin^{2} 6 0^{\circ}

2 (1)^{2} + (\frac{3}{2})^{2} - (\frac{3}{2})^{2}

2 + \frac{3}{4} - \frac{3}{4}

2

(iii)

\frac{cos 4 5 ^{\circ}}{sec 3 0 ^{\circ} + cosec 3 0 ^{\circ}}

\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3} + 2}

\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2 + 2 3}{3}}

\frac{3}{2 2 ( 3 + 1 )}

\frac{3 ( 3 - 1 )}{2 2 ( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )}

\frac{3 - 3}{4 2}

\frac{( 3 - 3 ) 2}{8}

\frac{3 2 - 6}{8}

(iv)

\frac{sin 3 0 ^{\circ} + tan 4 5 ^{\circ} - cosec 6 0 ^{\circ}}{sec 3 0 ^{\circ} + cos 6 0 ^{\circ} + cot 4 5 ^{\circ}}

\frac{\frac{1}{2} + 1 - \frac{2}{3}}{\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1}

अंश और हर दोनों के सभी पदों को $23$ से गुणा करने पर

\frac{3 + 2 3 - 4}{4 + 3 + 2 3}

\frac{3 3 - 4}{3 3 + 4}

\frac{( 3 3 - 4 ) ^{2}}{( 3 3 ) ^{2} - 4 ^{2}}

\frac{27 - 24 3 + 16}{27 - 16}

\frac{43 - 24 3}{11}

(v)

\frac{5 cos ^{2} 6 0 ^{\circ} + 4 sec ^{2} 3 0 ^{\circ} - tan ^{2} 4 5 ^{\circ}}{sin ^{2} 3 0 ^{\circ} + cos ^{2} 3 0 ^{\circ}}

\frac{5 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{4}{3} - 1}{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}

\frac{5}{4} + \frac{16}{3} - 1

\frac{15 + 64 - 12}{12}

\frac{67}{12}

उत्तर:

(i) 1

(ii) 2

(iii) (3√2 − √6)/8

(iv) (43 − 24√3)/11

(v) 67/12

प्रश्न 2

सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए:(i) 2 tan 30° / (1 + tan²30°) = (A) sin 60° (B) cos 60° (C) tan 60° (D) sin 30°(ii) (1 − tan²45°)/(1 + tan²45°) = (A) tan 90° (B) 1 (C) sin 45° (D) 0(iii) sin 2A = 2 sin A तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है: (A) 0° (B) 30° (C) 45° (D) 60°(iv) 2 tan 30° / (1 − tan²30°) = (A) cos 60° (B) sin 60° (C) tan 60° (D) sin 30°

सूत्र (विशिष्ट कोणों के मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{1}{2}, tan 4 5^{\circ} = cot 4 5^{\circ} = 1

(3)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 6 0^{\circ} = 3, sec 3 0^{\circ} = \frac{2}{3}, cosec 6 0^{\circ} = \frac{2}{3}

(4)

sin 0^{\circ} = 0, cos 0^{\circ} = 1, tan 0^{\circ} = 0

(i)

\frac{2 tan 3 0 ^{\circ}}{1 + tan ^{2} 3 0 ^{\circ}}

\frac{\frac{2}{3}}{1 + \frac{1}{3}}

\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}

\frac{3}{2}

sin 6 0^{\circ}

(ii)

\frac{1 - tan ^{2} 4 5 ^{\circ}}{1 + tan ^{2} 4 5 ^{\circ}}

\frac{1 - 1}{1 + 1}

0

(iii)

A = 0° रखने पर: $sin 0^{\circ} = 0$ और $2 sin 0^{\circ} = 0$ , दोनों बराबर। A = 30° पर $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2} \neq = 1 = 2 sin 3 0^{\circ}$ ।

(iv)

\frac{2 tan 3 0 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 3 0 ^{\circ}}

\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}}

\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}

3

tan 6 0^{\circ}

उत्तर:

(i) (A) sin 60°

(ii) (D) 0

(iii) (A) 0°

(iv) (C) tan 60°

प्रश्न 3

यदि tan (A + B) = √3 और tan (A − B) = 1/√3; 0° < A + B ≤ 90°; A > B तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।

सूत्र (विशिष्ट कोणों के मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{1}{2}, tan 4 5^{\circ} = cot 4 5^{\circ} = 1

(3)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 6 0^{\circ} = 3, sec 3 0^{\circ} = \frac{2}{3}, cosec 6 0^{\circ} = \frac{2}{3}

(4)

sin 0^{\circ} = 0, cos 0^{\circ} = 1, tan 0^{\circ} = 0

tan (A + B)

3 = tan 6 0^{\circ}

A + B

6 0^{\circ} \dots (1)

tan (A - B)

\frac{1}{3} = tan 3 0^{\circ}

A - B

3 0^{\circ} \dots (2)

(1) और (2) को जोड़ने पर

2 A

9 0^{\circ}

A

4 5^{\circ}

(1) में रखने पर

B

6 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 1 5^{\circ}

जाँच:

$tan 6 0^{\circ} = 3$ ✔ और $tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$ ✔

उत्तर:

(i) A = 45°

(ii) B = 15°

प्रश्न 4

बताइए कि निम्नलिखित सत्य हैं या असत्य। कारण सहित उत्तर की पुष्टि कीजिए।(i) sin (A + B) = sin A + sin B(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।

(i) असत्य

A = 30°, B = 60° लेने पर: $sin 9 0^{\circ} = 1$ जबकि $sin 3 0^{\circ} + sin 6 0^{\circ} = \frac{1 + 3}{2} \neq = 1$ ।

(ii) सत्य

0° से 90° तक sin का मान 0 से 1 तक बढ़ता है: $0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 1$ ।

(iii) असत्य

cos का मान 1 से 0 तक घटता है: $1, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0$ ।

(iv) असत्य

केवल θ = 45° पर sin θ = cos θ; जैसे $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} \neq = \frac{3}{2} = cos 3 0^{\circ}$ ।

(v) सत्य

$cot 0^{\circ} = \frac{cos 0 ^{\circ}}{sin 0 ^{\circ}} = \frac{1}{0}$ , जो परिभाषित नहीं है।

उत्तर:

(i) असत्य

(ii) सत्य

(iii) असत्य

(iv) असत्य

(v) सत्य

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।