प्रश्नावली 8.1 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 8: त्रिकोणमिति का परिचय · 11 प्रश्न (त्रिकोणमितीय अनुपात)

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7 प्र. 8 प्र. 9 प्र. 10 प्र. 11

प्रश्न 1

ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:(i) sin A, cos A(ii) sin C, cos C

ΔABC, ∠B = 90°, AB = 24 cm, BC = 7 cm

सूत्र (पाइथागोरस प्रमेय):

(कर्ण)^{2} = (लंब)^{2} + (आधार)^{2}

A C^{2}

A B^{2} + B C^{2}

2 4^{2} + 7^{2}

576 + 49

625

A C

25 cm

सूत्र (त्रिकोणमितीय अनुपात): समकोण त्रिभुज में कोण A के लिए:

(1)

sin A = \frac{लंब}{कर्ण}

(2)

cos A = \frac{आधार}{कर्ण}

(3)

tan A = \frac{लंब}{आधार}

(4)

cosec A = \frac{1}{sin A}, sec A = \frac{1}{cos A}, cot A = \frac{1}{tan A}

(i) कोण A के लिए (लंब BC, आधार AB)

sin A

\frac{BC}{A C}

\frac{7}{25}

cos A

\frac{A B}{A C}

\frac{24}{25}

(ii) कोण C के लिए (लंब AB, आधार BC)

sin C

\frac{A B}{A C}

\frac{24}{25}

cos C

\frac{BC}{A C}

\frac{7}{25}

जाँच:

$sin^{2} A + cos^{2} A = \frac{49}{625} + \frac{576}{625} = 1$ ✔

उत्तर:

(i) sin A = 7/25, cos A = 24/25

(ii) sin C = 24/25, cos C = 7/25

प्रश्न 2

आकृति में (ΔPQR, ∠Q = 90°, PQ = 12 cm, PR = 13 cm), tan P − cot R का मान ज्ञात कीजिए।

ΔPQR, ∠Q = 90°, PQ = 12 cm, PR = 13 cm

सूत्र (पाइथागोरस प्रमेय):

(कर्ण)^{2} = (लंब)^{2} + (आधार)^{2}

Q R^{2}

P R^{2} - P Q^{2}

1 3^{2} - 1 2^{2}

169 - 144

25

QR

5 cm

tan P

\frac{QR}{PQ}

\frac{5}{12}

cot R

\frac{QR}{PQ}

\frac{5}{12}

tan P - cot R

\frac{5}{12} - \frac{5}{12}

0

उत्तर: tan P − cot R = 0

प्रश्न 3

यदि sin A = 3/4 तो cos A और tan A का मान परिकलित कीजिए।

ΔABC, ∠B = 90°

$sin A = \frac{3}{4} = \frac{BC}{A C}$ , इसलिए BC = 3k, AC = 4k (k धनात्मक)

सूत्र (पाइथागोरस प्रमेय):

(कर्ण)^{2} = (लंब)^{2} + (आधार)^{2}

A B^{2}

A C^{2} - B C^{2}

16 k^{2} - 9 k^{2}

7 k^{2}

A B

7 k

cos A

\frac{A B}{A C}

\frac{7 k}{4 k}

\frac{7}{4}

tan A

\frac{BC}{A B}

\frac{3 k}{7 k}

\frac{3}{7}

जाँच:

$sin^{2} A + cos^{2} A = \frac{9}{16} + \frac{7}{16} = 1$ ✔

उत्तर:

(i) cos A = √7/4

(ii) tan A = 3/√7

प्रश्न 4

यदि 15 cot A = 8 दिया गया हो तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।

ΔABC, ∠B = 90°

15 cot A

8

cot A

\frac{8}{15}

$cot A = \frac{A B}{BC}$ , इसलिए AB = 8k, BC = 15k

सूत्र (पाइथागोरस प्रमेय):

(कर्ण)^{2} = (लंब)^{2} + (आधार)^{2}

A C^{2}

(8 k)^{2} + (15 k)^{2}

64 k^{2} + 225 k^{2}

289 k^{2}

A C

17 k

sin A

\frac{BC}{A C}

\frac{15}{17}

sec A

\frac{A C}{A B}

\frac{17}{8}

उत्तर:

(i) sin A = 15/17

(ii) sec A = 17/8

प्रश्न 5

यदि sec θ = 13/12, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।

ΔABC, ∠B = 90°, ∠A = θ

$sec θ = \frac{13}{12} = \frac{कर्ण}{आधार}$ , इसलिए AC = 13k, AB = 12k

सूत्र (पाइथागोरस प्रमेय):

(कर्ण)^{2} = (लंब)^{2} + (आधार)^{2}

B C^{2}

(13 k)^{2} - (12 k)^{2}

169 k^{2} - 144 k^{2}

25 k^{2}

BC

5 k

sin θ

\frac{5}{13}

cos θ

\frac{12}{13}

tan θ

\frac{5}{12}

cot θ

\frac{12}{5}

cosec θ

\frac{13}{5}

उत्तर:

(i) sin θ = 5/13

(ii) cos θ = 12/13

(iii) tan θ = 5/12

(iv) cot θ = 12/5

(v) cosec θ = 13/5

प्रश्न 6

यदि ∠A और ∠B न्यूनकोण हों, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए कि ∠A = ∠B.

दिया है

∠A और ∠B न्यूनकोण हैं तथा cos A = cos B

सिद्ध करना है

∠A = ∠B

दो समकोण त्रिभुज ACD और BCD लीजिए जिनमें CD ⊥ AB है (D पर समकोण)।

उपपत्ति:

cos A = AD/AC और cos B = BD/BC

(कोज्या की परिभाषा)

AD/AC = BD/BC, अर्थात् AD/BD = AC/BC = k (मान लीजिए)

(cos A = cos B (दिया है))

AD = k·BD और AC = k·BC

CD² = AC² − AD² = k²BC² − k²BD² = k²(BC² − BD²)

(पाइथागोरस प्रमेय)

CD² = BC² − BD²

(ΔBCD में पाइथागोरस प्रमेय)

दोनों से k² = 1, अर्थात् k = 1

(CD² ≠ 0)

AC = BC

(k = 1)

∠A = ∠B

(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)

अतः ∠A = ∠B (इति सिद्धम्)

प्रश्न 7

यदि cot θ = 7/8 तो(i) (1 + sin θ)(1 − sin θ) / ((1 + cos θ)(1 − cos θ))(ii) cot²θ का मान निकालिए।

∠A = θ, cot θ = 7/8

A C

(7 k)^{2} + (8 k)^{2}

113 k

sin θ

\frac{8}{113}

cos θ

\frac{7}{113}

(i)

\frac{( 1 + sin θ ) ( 1 - sin θ )}{( 1 + cos θ ) ( 1 - cos θ )}

\frac{1 - sin ^{2} θ}{1 - cos ^{2} θ}

\frac{1 - \frac{64}{113}}{1 - \frac{49}{113}}

\frac{49/113}{64/113}

\frac{49}{64}

(ii)

cot^{2} θ

(\frac{7}{8})^{2}

\frac{49}{64}

उत्तर:

(i) 49/64

(ii) 49/64

प्रश्न 8

यदि 3 cot A = 4, तो जाँच कीजिए कि (1 − tan²A)/(1 + tan²A) = cos²A − sin²A है या नहीं।

3 cot A

4

cot A

\frac{4}{3}

AB = 4k, BC = 3k, AC = 5k

$tan A = \frac{3}{4}, sin A = \frac{3}{5}, cos A = \frac{4}{5}$

बायाँ पक्ष=

\frac{1 - tan ^{2} A}{1 + tan ^{2} A}

\frac{1 - \frac{9}{16}}{1 + \frac{9}{16}}

\frac{7/16}{25/16}

\frac{7}{25}

दायाँ पक्ष=

cos^{2} A - sin^{2} A

\frac{16}{25} - \frac{9}{25}

\frac{7}{25}

बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष

उत्तर: हाँ, (1 − tan²A)/(1 + tan²A) = cos²A − sin²A (दोनों 7/25)

प्रश्न 9

त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = 1/√3 तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:(i) sin A cos C + cos A sin C(ii) cos A cos C − sin A sin C

ΔABC, ∠B = 90°, tan A = 1/√3

A C

(3 k)^{2} + k^{2}

4 k^{2}

2 k

$sin A = \frac{1}{2}, cos A = \frac{3}{2}, sin C = \frac{3}{2}, cos C = \frac{1}{2}$

(i)

sin A cos C + cos A sin C

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}

\frac{1}{4} + \frac{3}{4}

1

(ii)

cos A cos C - sin A sin C

\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}

0

उत्तर:

(i) 1

(ii) 0

प्रश्न 10

ΔPQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + QR = 25 cm और PQ = 5 cm है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।

ΔPQR, ∠Q = 90°

मान लीजिए QR = x cm, तब PR = (25 − x) cm

सूत्र (पाइथागोरस प्रमेय):

(कर्ण)^{2} = (लंब)^{2} + (आधार)^{2}

(25 - x)^{2}

5^{2} + x^{2}

625 - 50 x + x^{2}

25 + x^{2}

- 50 x

- 600

x

12

अतः QR = 12 cm और PR = 25 − 12 = 13 cm

sin P

\frac{QR}{PR}

\frac{12}{13}

cos P

\frac{PQ}{PR}

\frac{5}{13}

tan P

\frac{QR}{PQ}

\frac{12}{5}

जाँच:

$5^{2} + 1 2^{2} = 169 = 1 3^{2}$ और 13 + 12 = 25 ✔

उत्तर:

(i) sin P = 12/13

(ii) cos P = 5/13

(iii) tan P = 12/5

प्रश्न 11

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = 12/5(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।(v) किसी भी कोण θ के लिए sin θ = 4/3

(i) असत्य

उदाहरण: $tan 6 0^{\circ} = 3 > 1$ ।

(ii) सत्य

$sec A = \frac{कर्ण}{आधार} \geq 1$ ; कर्ण 12 और आधार 5 वाला समकोण त्रिभुज बन सकता है।

(iii) असत्य

cos A, कोण A की कोज्या (cosine) का संक्षिप्त रूप है, cosecant का संक्षिप्त रूप cosec A है।

(iv) असत्य

cot A एक ही संकेत है, cot और A का गुणनफल नहीं; A के बिना cot का कोई अर्थ नहीं।

(v) असत्य

$sin θ = \frac{लंब}{कर्ण} \leq 1$ , जबकि $\frac{4}{3} > 1$ ।

उत्तर:

(i) असत्य

(ii) सत्य

(iii) असत्य

(iv) असत्य

(v) असत्य

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।