प्रश्नावली 8.3 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 8: त्रिकोणमिति का परिचय · 4 प्रश्न (त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ)

प्रश्न 1

त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।

सूत्र (त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ):

(1)

sin^{2} A + cos^{2} A = 1

(2)

sec^{2} A - tan^{2} A = 1

(3)

cosec^{2} A - cot^{2} A = 1

sin A

cosec^{2} A

1 + cot^{2} A

\frac{1}{sin ^{2} A}

1 + cot^{2} A

sin A

\frac{1}{1 + cot ^{2} A}

tan A

tan A

\frac{1}{cot A}

sec A

sec^{2} A

1 + tan^{2} A

1 + \frac{1}{cot ^{2} A}

\frac{cot ^{2} A + 1}{cot ^{2} A}

sec A

\frac{1 + cot ^{2} A}{cot A}

उत्तर:

(i) sin A = 1/√(1 + cot²A)

(ii) sec A = √(1 + cot²A)/cot A

(iii) tan A = 1/cot A

प्रश्न 2

कोण A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।

सूत्र (त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ):

(1)

sin^{2} A + cos^{2} A = 1

(2)

sec^{2} A - tan^{2} A = 1

(3)

cosec^{2} A - cot^{2} A = 1

cos A

\frac{1}{sec A}

tan A

sec^{2} A - 1

sin A

tan A \cdot cos A

\frac{sec ^{2} A - 1}{sec A}

cot A

\frac{1}{tan A}

\frac{1}{sec ^{2} A - 1}

cosec A

\frac{1}{sin A}

\frac{sec A}{sec ^{2} A - 1}

उत्तर:

(i) cos A = 1/sec A

(ii) sin A = √(sec²A − 1)/sec A

(iii) tan A = √(sec²A − 1)

(iv) cot A = 1/√(sec²A − 1)

(v) cosec A = sec A/√(sec²A − 1)

प्रश्न 3

सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए:(i) 9 sec²A − 9 tan²A बराबर है: (A) 1 (B) 9 (C) 8 (D) 0(ii) (1 + tan θ + sec θ)(1 + cot θ − cosec θ) बराबर है: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) −1(iii) (sec A + tan A)(1 − sin A) बराबर है: (A) sec A (B) sin A (C) cosec A (D) cos A(iv) (1 + tan²A)/(1 + cot²A) बराबर है: (A) sec²A (B) −1 (C) cot²A (D) tan²A

सूत्र (त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ):

(1)

sin^{2} A + cos^{2} A = 1

(2)

sec^{2} A - tan^{2} A = 1

(3)

cosec^{2} A - cot^{2} A = 1

(i)

9 sec^{2} A - 9 tan^{2} A

9 (sec^{2} A - tan^{2} A)

9 \times 1

9

(ii)

1 + tan θ + sec θ

\frac{sin θ + cos θ + 1}{cos θ}

1 + cot θ - cosec θ

\frac{sin θ + cos θ - 1}{sin θ}

गुणनफल=

\frac{( sin θ + cos θ ) ^{2} - 1 ^{2}}{sin θ cos θ}

\frac{1 + 2 sin θ cos θ - 1}{sin θ cos θ}

2

(iii)

sec A + tan A

\frac{1 + sin A}{cos A}

गुणनफल=

\frac{1 - sin ^{2} A}{cos A}

\frac{cos ^{2} A}{cos A}

cos A

(iv)

\frac{1 + tan ^{2} A}{1 + cot ^{2} A}

\frac{sec ^{2} A}{cosec ^{2} A}

\frac{sin ^{2} A}{cos ^{2} A}

tan^{2} A

उत्तर:

(i) (B) 9

(ii) (C) 2

(iii) (D) cos A

(iv) (D) tan²A

प्रश्न 4

निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण है:(i) (cosec θ − cot θ)² = (1 − cos θ)/(1 + cos θ)(ii) cos A/(1 + sin A) + (1 + sin A)/cos A = 2 sec A(iii) tan θ/(1 − cot θ) + cot θ/(1 − tan θ) = 1 + sec θ cosec θ(iv) (1 + sec A)/sec A = sin²A/(1 − cos A)(v) (cos A − sin A + 1)/(cos A + sin A − 1) = cosec A + cot A, सर्वसमिका cosec²A = 1 + cot²A का प्रयोग करके(vi) √((1 + sin A)/(1 − sin A)) = sec A + tan A(vii) (sin θ − 2 sin³θ)/(2 cos³θ − cos θ) = tan θ(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan²A + cot²A(ix) (cosec A − sin A)(sec A − cos A) = 1/(tan A + cot A)(x) (1 + tan²A)/(1 + cot²A) = ((1 − tan A)/(1 − cot A))² = tan²A

सूत्र (त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ):

(1)

sin^{2} A + cos^{2} A = 1

(2)

sec^{2} A - tan^{2} A = 1

(3)

cosec^{2} A - cot^{2} A = 1

(i)

बायाँ पक्ष=

(cosec θ - cot θ)^{2}

(\frac{1}{sin θ} - \frac{cos θ}{sin θ})^{2}

\frac{( 1 - cos θ ) ^{2}}{sin ^{2} θ}

\frac{( 1 - cos θ ) ^{2}}{1 - cos ^{2} θ}

\frac{( 1 - cos θ ) ^{2}}{( 1 - cos θ ) ( 1 + cos θ )}

\frac{1 - cos θ}{1 + cos θ}

बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष (इति सिद्धम्)

(ii)

बायाँ पक्ष=

\frac{cos A}{1 + sin A} + \frac{1 + sin A}{cos A}

\frac{cos ^{2} A + ( 1 + sin A ) ^{2}}{( 1 + sin A ) cos A}

\frac{cos ^{2} A + 1 + 2 sin A + sin ^{2} A}{( 1 + sin A ) cos A}

\frac{2 + 2 sin A}{( 1 + sin A ) cos A}

\frac{2 ( 1 + sin A )}{( 1 + sin A ) cos A}

\frac{2}{cos A}

2 sec A

बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष (इति सिद्धम्)

(iii)

$tan θ = t$ लिखने पर $cot θ = \frac{1}{t}$

बायाँ पक्ष=

\frac{t}{1 - \frac{1}{t}} + \frac{\frac{1}{t}}{1 - t}

\frac{t ^{2}}{t - 1} - \frac{1}{t ( t - 1 )}

\frac{t ^{3} - 1}{t ( t - 1 )}

\frac{( t - 1 ) ( t ^{2} + t + 1 )}{t ( t - 1 )}

\frac{t ^{2} + t + 1}{t}

t + 1 + \frac{1}{t}

t + \frac{1}{t}

\frac{sin θ}{cos θ} + \frac{cos θ}{sin θ}

\frac{sin ^{2} θ + cos ^{2} θ}{sin θ cos θ}

sec θ cosec θ

अतः बायाँ पक्ष = $1 + sec θ cosec θ$ = दायाँ पक्ष

बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष (इति सिद्धम्)

(iv)

बायाँ पक्ष=

\frac{1 + sec A}{sec A}

\frac{1 + \frac{1}{c o s A}}{\frac{1}{c o s A}}

cos A + 1

दायाँ पक्ष=

\frac{sin ^{2} A}{1 - cos A}

\frac{1 - cos ^{2} A}{1 - cos A}

\frac{( 1 - cos A ) ( 1 + cos A )}{1 - cos A}

1 + cos A

बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष (इति सिद्धम्)

(v)

अंश और हर दोनों के सभी पदों को $sin A$ से भाग देने पर

बायाँ पक्ष=

\frac{cot A - 1 + cosec A}{cot A + 1 - cosec A}

अंश में $1 = cosec^{2} A - cot^{2} A$ रखने पर:

अंश=

(cosec A + cot A) - 1

(cosec A + cot A) - (cosec^{2} A - cot^{2} A)

(cosec A + cot A) [1 - (cosec A - cot A)]

(cosec A + cot A) (1 - cosec A + cot A)

हर = $cot A + 1 - cosec A$ , जो अंश के दूसरे गुणनखंड के बराबर है।

बायाँ पक्ष=

cosec A + cot A

बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष (इति सिद्धम्)

(vi)

बायाँ पक्ष=

\frac{1 + sin A}{1 - sin A}

\frac{( 1 + sin A ) ( 1 + sin A )}{( 1 - sin A ) ( 1 + sin A )}

\frac{( 1 + sin A ) ^{2}}{cos ^{2} A}

\frac{1 + sin A}{cos A}

sec A + tan A

बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष (इति सिद्धम्)

(vii)

बायाँ पक्ष=

\frac{sin θ - 2 sin ^{3} θ}{2 cos ^{3} θ - cos θ}

\frac{sin θ ( 1 - 2 sin ^{2} θ )}{cos θ ( 2 cos ^{2} θ - 1 )}

\frac{sin θ ( 1 - 2 ( 1 - cos ^{2} θ ))}{cos θ ( 2 cos ^{2} θ - 1 )}

\frac{sin θ ( 2 cos ^{2} θ - 1 )}{cos θ ( 2 cos ^{2} θ - 1 )}

tan θ

बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष (इति सिद्धम्)

(viii)

(sin A + cosec A)^{2}

sin^{2} A + cosec^{2} A + 2

(cos A + sec A)^{2}

cos^{2} A + sec^{2} A + 2

( $sin A \cdot cosec A = 1, cos A sec A = 1$ )

जोड़ने पर, $sin^{2} A + cos^{2} A = 1$ से:

बायाँ पक्ष=

1 + cosec^{2} A + sec^{2} A + 4

1 + (1 + cot^{2} A) + (1 + tan^{2} A) + 4

7 + tan^{2} A + cot^{2} A

बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष (इति सिद्धम्)

(ix)

बायाँ पक्ष=

(cosec A - sin A) (sec A - cos A)

\frac{1 - sin ^{2} A}{sin A} \cdot \frac{1 - cos ^{2} A}{cos A}

\frac{cos ^{2} A sin ^{2} A}{sin A cos A}

sin A cos A

दायाँ पक्ष=

\frac{1}{tan A + cot A}

\frac{1}{\frac{s i n ^{2} A + c o s ^{2} A}{s i n A c o s A}}

sin A cos A

बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष (इति सिद्धम्)

(x)

\frac{1 + tan ^{2} A}{1 + cot ^{2} A}

\frac{sec ^{2} A}{cosec ^{2} A}

tan^{2} A

(\frac{1 - tan A}{1 - cot A})^{2}

(\frac{1 - tan A}{1 - \frac{1}{t a n A}})^{2}

(\frac{( 1 - tan A ) tan A}{tan A - 1})^{2}

(- tan A)^{2}

tan^{2} A

तीनों बराबर हैं।

बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष (इति सिद्धम्)

उत्तर: सभी दस सर्वसमिकाएँ सिद्ध हुईं।

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।