कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 6.2 हल

प्रश्न 1

आकृति(i) और(ii) में, DE ∥ BC है।(i) में EC और(ii) में AD ज्ञात कीजिए।

सूत्र (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स)): यदि त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर काटे, तो वह उन भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है। ΔABC में DE ∥ BC हो तो

\frac{A D}{D B}

=

\frac{A E}{EC}

(i)

(i) DE ∥ BC

ΔABC में DE ∥ BC, इसलिए आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से

\frac{A D}{D B}

=

\frac{A E}{EC}

\frac{1.5}{3}

=

\frac{1}{EC}

1.5 \times EC

=

3 \times 1

EC

=

\frac{3}{1.5}

EC

=

2 cm

(ii)

(ii) DE ∥ BC

ΔABC में DE ∥ BC, इसलिए

\frac{A D}{D B}

=

\frac{A E}{EC}

\frac{A D}{7.2}

=

\frac{1.8}{5.4}

A D

=

\frac{1.8 \times 7.2}{5.4}

A D

=

\frac{7.2}{3}

A D

=

2.4 cm

उत्तर:

(i) EC = 2 cm

(ii) AD = 2.4 cm

प्रश्न 2

E और F क्रमशः एक त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर स्थित बिंदु हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF ∥ QR है:(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm

सूत्र (प्रमेय 6.2 (विलोम)): यदि कोई रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।

ΔPQR, E भुजा PQ पर और F भुजा PR पर

(i)

$PE = 3.9, EQ = 3, PF = 3.6, FR = 2.4$ (cm)

\frac{PE}{EQ}

=

\frac{3.9}{3}

=

1.3

\frac{PF}{FR}

=

\frac{3.6}{2.4}

=

1.5

$\frac{PE}{EQ} \neq = \frac{PF}{FR}$ , अतः EF, QR के समांतर नहीं है।

(ii)

$PE = 4, QE = 4.5, PF = 8, RF = 9$ (cm)

\frac{PE}{EQ}

=

\frac{4}{4.5}

=

\frac{8}{9}

\frac{PF}{FR}

=

\frac{8}{9}

$\frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR}$ , अतः प्रमेय 6.2 से EF ∥ QR

(iii)

$PQ = 1.28, PR = 2.56, PE = 0.18, PF = 0.36$ (cm)

EQ

=

1.28 - 0.18

=

1.10

FR

=

2.56 - 0.36

=

2.20

\frac{PE}{EQ}

=

\frac{0.18}{1.10}

=

\frac{9}{55}

\frac{PF}{FR}

=

\frac{0.36}{2.20}

=

\frac{9}{55}

$\frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR}$ , अतः EF ∥ QR

उत्तर:

(i) EF ∦ QR (समांतर नहीं)

(ii) EF ∥ QR

(iii) EF ∥ QR

प्रश्न 3

आकृति में, यदि LM ∥ CB और LN ∥ CD हो, तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{A M}{A B}$ = $\frac{A N}{A D}$ है।

सूत्र (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स)): यदि त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर काटे, तो वह उन भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है। ΔABC में DE ∥ BC हो तो

\frac{A D}{D B}

=

\frac{A E}{EC}

LM ∥ CB और LN ∥ CD

दिया है

LM ∥ CB और LN ∥ CD

सिद्ध करना है

\frac{A M}{A B}

=

\frac{A N}{A D}

उपपत्ति:

ΔABC में LM ∥ BC, इसलिए

\frac{A M}{MB}

=

\frac{A L}{L C}

…(1)

(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय)

ΔACD में LN ∥ CD, इसलिए

\frac{A N}{N D}

=

\frac{A L}{L C}

…(2)

(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय)

(1) और (2) से

\frac{A M}{MB}

=

\frac{A N}{N D}

…(3)

(3) का व्युत्क्रम लेकर दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर

\frac{MB}{A M} + 1 = \frac{N D}{A N} + 1

\frac{MB + A M}{A M} = \frac{N D + A N}{A N}

⇒

\frac{A B}{A M}

=

\frac{A D}{A N}

पुनः व्युत्क्रम लेने पर

\frac{A M}{A B}

=

\frac{A N}{A D}

इति सिद्धम्

प्रश्न 4

आकृति में DE ∥ AC और DF ∥ AE है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{BF}{FE}$ = $\frac{BE}{EC}$ है।

सूत्र (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स)): यदि त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर काटे, तो वह उन भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है। ΔABC में DE ∥ BC हो तो

\frac{A D}{D B}

=

\frac{A E}{EC}

DE ∥ AC और DF ∥ AE

दिया है

DE ∥ AC और DF ∥ AE

सिद्ध करना है

\frac{BF}{FE}

=

\frac{BE}{EC}

उपपत्ति:

ΔABC में DE ∥ AC, इसलिए

\frac{B D}{D A}

=

\frac{BE}{EC}

…(1)

(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय)

ΔABE में DF ∥ AE, इसलिए

\frac{B D}{D A}

=

\frac{BF}{FE}

…(2)

(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय)

(1) और (2) से

\frac{BF}{FE}

=

\frac{BE}{EC}

इति सिद्धम्

प्रश्न 5

आकृति में DE ∥ OQ और DF ∥ OR है। दर्शाइए कि EF ∥ QR है।

सूत्र (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स)): यदि त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर काटे, तो वह उन भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है। ΔABC में DE ∥ BC हो तो

\frac{A D}{D B}

=

\frac{A E}{EC}

सूत्र (प्रमेय 6.2 (विलोम)): यदि कोई रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।

DE ∥ OQ और DF ∥ OR

दिया है

DE ∥ OQ और DF ∥ OR

सिद्ध करना है

EF ∥ QR

उपपत्ति:

ΔPOQ में DE ∥ OQ, इसलिए

\frac{PE}{EQ}

=

\frac{P D}{D O}

…(1)

(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय)

ΔPOR में DF ∥ OR, इसलिए

\frac{PF}{FR}

=

\frac{P D}{D O}

…(2)

(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय)

(1) और (2) से

\frac{PE}{EQ}

=

\frac{PF}{FR}

अतः ΔPQR में रेखा EF भुजाओं PQ और PR को एक ही अनुपात में बाँटती है, इसलिए EF ∥ QR

(प्रमेय 6.2, विलोम)

इति सिद्धम्

प्रश्न 6

आकृति में A, B और C क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिंदु इस प्रकार हैं कि AB ∥ PQ और AC ∥ PR है। दर्शाइए कि BC ∥ QR है।

सूत्र (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स)): यदि त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर काटे, तो वह उन भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है। ΔABC में DE ∥ BC हो तो

\frac{A D}{D B}

=

\frac{A E}{EC}

सूत्र (प्रमेय 6.2 (विलोम)): यदि कोई रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।

AB ∥ PQ और AC ∥ PR

दिया है

A, B, C क्रमशः OP, OQ, OR पर; AB ∥ PQ और AC ∥ PR

सिद्ध करना है

BC ∥ QR

उपपत्ति:

ΔPOQ में AB ∥ PQ, इसलिए

\frac{O A}{A P}

=

\frac{OB}{BQ}

…(1)

(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय)

ΔPOR में AC ∥ PR, इसलिए

\frac{O A}{A P}

=

\frac{OC}{CR}

…(2)

(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय)

(1) और (2) से

\frac{OB}{BQ}

=

\frac{OC}{CR}

अतः ΔOQR में BC भुजाओं OQ और OR को एक ही अनुपात में बाँटती है, इसलिए BC ∥ QR

(प्रमेय 6.2, विलोम)

इति सिद्धम्

प्रश्न 7

प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं)।

सूत्र (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स)): यदि त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर काटे, तो वह उन भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है। ΔABC में DE ∥ BC हो तो

\frac{A D}{D B}

=

\frac{A E}{EC}

D, AB का मध्य-बिंदु; DE ∥ BC

दिया है

ΔABC में D, AB का मध्य-बिंदु है और DE ∥ BC

सिद्ध करना है

E, AC का मध्य-बिंदु है, अर्थात् AE = EC

उपपत्ति:

ΔABC में DE ∥ BC, इसलिए

\frac{A D}{D B}

=

\frac{A E}{EC}

…(1)

(प्रमेय 6.1)

D मध्य-बिंदु है, इसलिए AD = DB, अर्थात्

\frac{A D}{D B}

= 1

(दिया है)

(1) से

\frac{A E}{EC}

= 1 ⇒ AE = EC

अतः DE तीसरी भुजा AC को समद्विभाजित करती है। इति सिद्धम्

प्रश्न 8

प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं)।

सूत्र (प्रमेय 6.2 (विलोम)): यदि कोई रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।

D और E क्रमशः AB और AC के मध्य-बिंदु

दिया है

ΔABC में D और E क्रमशः AB और AC के मध्य-बिंदु हैं

सिद्ध करना है

DE ∥ BC

उपपत्ति:

D, AB का मध्य-बिंदु है, इसलिए AD = DB ⇒

\frac{A D}{D B}

= 1 …(1)

(दिया है)

E, AC का मध्य-बिंदु है, इसलिए AE = EC ⇒

\frac{A E}{EC}

= 1 …(2)

(दिया है)

(1) और (2) से

\frac{A D}{D B}

=

\frac{A E}{EC}

अतः DE भुजाओं AB और AC को एक ही अनुपात में बाँटती है, इसलिए DE ∥ BC

(प्रमेय 6.2)

इति सिद्धम्

प्रश्न 9

ABCD एक समलंब है जिसमें AB ∥ DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि $\frac{A O}{BO}$ = $\frac{CO}{D O}$ है।

सूत्र (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स)): यदि त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर काटे, तो वह उन भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है। ΔABC में DE ∥ BC हो तो

\frac{A D}{D B}

=

\frac{A E}{EC}

रचना: O से होकर EO ∥ AB (E भुजा AD पर)

दिया है

ABCD एक समलंब है जिसमें AB ∥ DC और विकर्ण O पर प्रतिच्छेद करते हैं

सिद्ध करना है

\frac{A O}{BO}

=

\frac{CO}{D O}

रचना: O से होकर EO ∥ AB खींचिए, जो AD को E पर मिलती है। तब EO ∥ DC भी है।

उपपत्ति:

ΔADC में EO ∥ DC, इसलिए

\frac{A E}{E D}

=

\frac{A O}{OC}

…(1)

(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय)

ΔDAB में EO ∥ AB, इसलिए

\frac{D E}{E A}

=

\frac{D O}{OB}

⇒

\frac{A E}{E D}

=

\frac{BO}{O D}

…(2)

(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय)

(1) और (2) से

\frac{A O}{OC}

=

\frac{BO}{O D}

एकांतर अनुपात लेने पर

\frac{A O}{BO}

=

\frac{CO}{D O}

इति सिद्धम्

प्रश्न 10

एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\frac{A O}{BO}$ = $\frac{CO}{D O}$ है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।

सूत्र (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स)): यदि त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर काटे, तो वह उन भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है। ΔABC में DE ∥ BC हो तो

\frac{A D}{D B}

=

\frac{A E}{EC}

सूत्र (प्रमेय 6.2 (विलोम)): यदि कोई रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।

रचना: O से होकर EO ∥ AB

दिया है

चतुर्भुज ABCD के विकर्ण O पर प्रतिच्छेद करते हैं और

\frac{A O}{BO}

=

\frac{CO}{D O}

सिद्ध करना है

ABCD एक समलंब है

रचना: O से होकर EO ∥ AB खींचिए, जो AD को E पर मिलती है।

उपपत्ति:

दिया है

\frac{A O}{BO}

=

\frac{CO}{D O}

⇒

\frac{A O}{CO}

=

\frac{BO}{D O}

…(1)

(एकांतर अनुपात)

ΔDAB में EO ∥ AB, इसलिए

\frac{D E}{E A}

=

\frac{D O}{OB}

⇒

\frac{A E}{E D}

=

\frac{BO}{D O}

…(2)

(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय)

(1) और (2) से

\frac{A E}{E D}

=

\frac{A O}{OC}

अतः ΔADC में EO भुजाओं AD और AC को एक ही अनुपात में बाँटती है, इसलिए EO ∥ DC

(प्रमेय 6.2)

EO ∥ AB और EO ∥ DC, इसलिए AB ∥ DC

चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर है, अतः ABCD एक समलंब है।

इति सिद्धम्

प्रश्नावली 6.2 के हल