प्रश्नावली 6.3 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 6: त्रिभुज · 16 प्रश्न (समरूपता की कसौटियाँ)

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7 प्र. 8 प्र. 9 प्र. 10 प्र. 11 प्र. 12 प्र. 13 प्र. 14 प्र. 15 प्र. 16

प्रश्न 1

बताइए कि आकृति में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।

सूत्र (समरूपता की कसौटियाँ):

(1)AAA / AA: दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों

(2)SSS: संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों

(3)SAS: एक कोण बराबर हो और उस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों

(i)

$∠ A$ = $∠ P$ = 60°, $∠ B$ = $∠ Q$ = 80°, $∠ C$ = $∠ R$ = 40°

AAA कसौटी से ΔABC ~ ΔPQR

(ii)

\frac{A B}{QR}

\frac{2}{4}

\frac{1}{2}

\frac{BC}{RP}

\frac{2.5}{5}

\frac{1}{2}

\frac{C A}{PQ}

\frac{3}{6}

\frac{1}{2}

तीनों अनुपात बराबर हैं, अतः SSS कसौटी से ΔABC ~ ΔQRP

(iii)

ΔLMP में MP = 2, LP = 3, LM = 2.7; ΔDEF में DE = 4, DF = 6, EF = 5

\frac{MP}{D E}

\frac{2}{4}

\frac{1}{2}

\frac{L P}{D F}

\frac{3}{6}

\frac{1}{2}

\frac{L M}{EF}

\frac{2.7}{5}

0.54

तीनों अनुपात बराबर नहीं हैं, अतः ये त्रिभुज समरूप नहीं हैं।

(iv)

ΔMNL में $∠ M$ = 70°, MN = 2.5, ML = 5; ΔQPR में $∠ Q$ = 70°, QP = 5, QR = 10

\frac{MN}{QP}

\frac{2.5}{5}

\frac{1}{2}

\frac{M L}{QR}

\frac{5}{10}

\frac{1}{2}

बराबर कोण (70°) को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हैं, अतः SAS कसौटी से ΔMNL ~ ΔQPR

(v)

ΔABC में AB = 2.5, BC = 3 और $∠ A$ = 80°; ΔDEF में DF = 5, EF = 6 और $∠ F$ = 80°

$∠ A$ भुजाओं AB और AC के बीच का कोण है, पर दी गई भुजाएँ AB और BC हैं। अर्थात् 80° का कोण दी गई दोनों भुजाओं के बीच (अंतर्गत) नहीं है।

SAS कसौटी लागू नहीं होती, अतः ये त्रिभुज समरूप नहीं कहे जा सकते।

(vi)

ΔDEF में $∠ D$ = 70°, $∠ E$ = 80°, इसलिए $∠ F$ = 180° − 70° − 80° = 30°

ΔPQR में $∠ Q$ = 80°, $∠ R$ = 30°, इसलिए $∠ P$ = 180° − 80° − 30° = 70°

$∠ D$ = $∠ P$ , $∠ E$ = $∠ Q$ , $∠ F$ = $∠ R$ , अतः AAA कसौटी से ΔDEF ~ ΔPQR

उत्तर:

(i) ΔABC ~ ΔPQR (AAA)

(ii) ΔABC ~ ΔQRP (SSS)

(iii) समरूप नहीं

(iv) ΔMNL ~ ΔQPR (SAS)

(v) समरूप नहीं

(vi) ΔDEF ~ ΔPQR (AAA)

प्रश्न 2

आकृति में ΔODC ~ ΔOBA, $∠ BOC$ = 125° और $∠ C D O$ = 70° है। $∠ D OC$ , $∠ D CO$ और $∠ O A B$ ज्ञात कीजिए।

ΔODC ~ ΔOBA

ज्ञात है

ΔODC ~ ΔOBA,

∠ BOC

= 125°,

∠ C D O

= 70°

ज्ञात करना है

∠ D OC

∠ D CO

∠ O A B

DOB एक सरल रेखा है, इसलिए $∠ D OC$ + $∠ BOC$ = 180° (रैखिक युग्म)

∠ D OC

18 0^{\circ} - 12 5^{\circ}

∠ D OC

5 5^{\circ}

ΔODC में कोणों का योग 180° है:

∠ D CO

18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} - 5 5^{\circ}

∠ D CO

5 5^{\circ}

ΔODC ~ ΔOBA, इसलिए संगत कोण बराबर हैं:

∠ O A B

∠ OC D

∠ O A B

5 5^{\circ}

उत्तर:

∠ D OC

= 55°,

∠ D CO

= 55°,

∠ O A B

= 55°

प्रश्न 3

समलंब ABCD, जिसमें AB ∥ DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि $\frac{O A}{OC}$ = $\frac{OB}{O D}$ है।

सूत्र (समरूपता की कसौटियाँ):

(1)AAA / AA: दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों

(2)SSS: संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों

(3)SAS: एक कोण बराबर हो और उस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों

समलंब ABCD, AB ∥ DC

दिया है

समलंब ABCD में AB ∥ DC और विकर्ण AC, BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं

सिद्ध करना है

\frac{O A}{OC}

\frac{OB}{O D}

उपपत्ति:

ΔOAB और ΔOCD में:

∠ O A B

∠ OC D

(AB ∥ DC, एकांतर कोण)

∠ A OB

∠ CO D

(शीर्षाभिमुख कोण)

अतः ΔOAB ~ ΔOCD

(AA समरूपता कसौटी)

इसलिए

\frac{O A}{OC}

\frac{OB}{O D}

(समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती)

इति सिद्धम्

प्रश्न 4

आकृति में $\frac{QR}{QS}$ = $\frac{QT}{PR}$ तथा $∠1$ = $∠2$ है। दर्शाइए कि ΔPQS ~ ΔTQR है।

सूत्र (समरूपता की कसौटियाँ):

(1)AAA / AA: दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों

(2)SSS: संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों

(3)SAS: एक कोण बराबर हो और उस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों

P रेखा QT पर, S भुजा QR पर

दिया है

\frac{QR}{QS}

\frac{QT}{PR}

और

∠1

∠2

(अर्थात्

∠ PQR

∠ PRQ

)

सिद्ध करना है

ΔPQS ~ ΔTQR

उपपत्ति:

ΔPQR में

∠ PQR

∠ PRQ

, इसलिए PQ = PR …(1)

(बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर)

दिया है

\frac{QR}{QS}

\frac{QT}{PR}

; (1) से PR = PQ रखने पर

\frac{QR}{QS}

\frac{QT}{PQ}

व्युत्क्रम लेने पर

\frac{QS}{QR}

\frac{QP}{QT}

…(2)

ΔPQS और ΔTQR में:

∠ Q

दोनों में उभयनिष्ठ है और (2) से इस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हैं

अतः ΔPQS ~ ΔTQR

(SAS समरूपता कसौटी)

इति सिद्धम्

प्रश्न 5

ΔPQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि $∠ P$ = $∠ RTS$ है। दर्शाइए कि ΔRPQ ~ ΔRTS है।

सूत्र (समरूपता की कसौटियाँ):

(1)AAA / AA: दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों

(2)SSS: संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों

(3)SAS: एक कोण बराबर हो और उस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों

S भुजा PR पर, T भुजा QR पर; ∠P = ∠RTS

दिया है

ΔPQR की भुजाओं PR और QR पर S और T इस प्रकार हैं कि

∠ P

∠ RTS

सिद्ध करना है

ΔRPQ ~ ΔRTS

उपपत्ति:

ΔRPQ और ΔRTS में:

∠ RPQ

∠ RTS

(दिया है)

∠ PRQ

∠ TRS

(उभयनिष्ठ कोण R)

अतः ΔRPQ ~ ΔRTS

(AA समरूपता कसौटी)

इति सिद्धम्

प्रश्न 6

आकृति में यदि ΔABE ≅ ΔACD है, तो दर्शाइए कि ΔADE ~ ΔABC है।

सूत्र (समरूपता की कसौटियाँ):

(1)AAA / AA: दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों

(2)SSS: संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों

(3)SAS: एक कोण बराबर हो और उस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों

ΔABE ≅ ΔACD

दिया है

ΔABE ≅ ΔACD

सिद्ध करना है

ΔADE ~ ΔABC

उपपत्ति:

ΔABE ≅ ΔACD, इसलिए AB = AC और AE = AD

(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग (CPCT))

अतः

\frac{A D}{A B}

\frac{A E}{A C}

…(1)

ΔADE और ΔABC में

∠ D A E

∠ B A C

(उभयनिष्ठ) और (1) से इस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हैं

अतः ΔADE ~ ΔABC

(SAS समरूपता कसौटी)

इति सिद्धम्

प्रश्न 7

आकृति में ΔABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि:(i) ΔAEP ~ ΔCDP(ii) ΔABD ~ ΔCBE(iii) ΔAEP ~ ΔADB(iv) ΔPDC ~ ΔBEC

सूत्र (समरूपता की कसौटियाँ):

(1)AAA / AA: दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों

(2)SSS: संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों

(3)SAS: एक कोण बराबर हो और उस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों

AD ⊥ BC, CE ⊥ AB, P प्रतिच्छेद बिंदु

दिया है

ΔABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर P पर प्रतिच्छेद करते हैं

सिद्ध करना है

नीचे के चारों समरूपता कथन

(i) ΔAEP ~ ΔCDP

उपपत्ति:

∠ A EP

∠ C D P

= 90°

(CE ⊥ AB, AD ⊥ BC)

∠ A PE

∠ CP D

(शीर्षाभिमुख कोण)

अतः ΔAEP ~ ΔCDP

(AA)

(ii) ΔABD ~ ΔCBE

उपपत्ति:

∠ A D B

∠ CEB

= 90°

∠ A B D

∠ CBE

(उभयनिष्ठ कोण B)

अतः ΔABD ~ ΔCBE

(AA)

(iii) ΔAEP ~ ΔADB

उपपत्ति:

∠ A EP

∠ A D B

= 90°

∠ P A E

∠ B A D

(उभयनिष्ठ कोण A)

अतः ΔAEP ~ ΔADB

(AA)

(iv) ΔPDC ~ ΔBEC

उपपत्ति:

∠ P D C

∠ BEC

= 90°

∠ PC D

∠ BCE

(उभयनिष्ठ कोण C)

अतः ΔPDC ~ ΔBEC

(AA)

इति सिद्धम्

प्रश्न 8

समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि ΔABE ~ ΔCFB है।

सूत्र (समरूपता की कसौटियाँ):

(1)AAA / AA: दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों

(2)SSS: संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों

(3)SAS: एक कोण बराबर हो और उस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों

समांतर चतुर्भुज ABCD, AD बढ़ाने पर E

दिया है

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है; E भुजा AD को बढ़ाने पर स्थित है और BE, CD को F पर काटती है

सिद्ध करना है

ΔABE ~ ΔCFB

उपपत्ति:

ΔABE और ΔCFB में:

∠ B A E

∠ FCB

(समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर (∠A = ∠C))

∠ A EB

∠ CBF

(AE ∥ BC, BE तिर्यक रेखा; एकांतर कोण)

अतः ΔABE ~ ΔCFB

(AA समरूपता कसौटी)

इति सिद्धम्

प्रश्न 9

आकृति में ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि:(i) ΔABC ~ ΔAMP(ii) $\frac{C A}{P A}$ = $\frac{BC}{MP}$

सूत्र (समरूपता की कसौटियाँ):

(1)AAA / AA: दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों

(2)SSS: संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों

(3)SAS: एक कोण बराबर हो और उस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों

∠B = ∠M = 90°

दिया है

ΔABC और ΔAMP क्रमशः B और M पर समकोण हैं

सिद्ध करना है

(i) ΔABC ~ ΔAMP (ii)

\frac{C A}{P A}

\frac{BC}{MP}

(i)

उपपत्ति:

∠ A BC

∠ A MP

= 90°

(दिया है)

∠ B A C

∠ M A P

(उभयनिष्ठ कोण A)

अतः ΔABC ~ ΔAMP

(AA)

(ii)

उपपत्ति:

ΔABC ~ ΔAMP, इसलिए

\frac{A B}{A M}

\frac{BC}{MP}

\frac{C A}{P A}

(संगत भुजाएँ समानुपाती)

अतः

\frac{C A}{P A}

\frac{BC}{MP}

इति सिद्धम्

प्रश्न 10

CD और GH क्रमशः $∠ A CB$ और $∠ EGF$ के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमशः ΔABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ΔABC ~ ΔFEG है, तो दर्शाइए कि:(i) $\frac{C D}{G H}$ = $\frac{A C}{FG}$ (ii) ΔDCB ~ ΔHGE(iii) ΔDCA ~ ΔHGF

सूत्र (समरूपता की कसौटियाँ):

(1)AAA / AA: दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों

(2)SSS: संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों

(3)SAS: एक कोण बराबर हो और उस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों

दिया है

ΔABC ~ ΔFEG; CD और GH क्रमशः

∠ A CB

और

∠ EGF

के समद्विभाजक हैं (D भुजा AB पर, H भुजा FE पर)

सिद्ध करना है

(i)

\frac{C D}{G H}

\frac{A C}{FG}

(ii) ΔDCB ~ ΔHGE (iii) ΔDCA ~ ΔHGF

ΔABC ~ ΔFEG, इसलिए $∠ A$ = $∠ F$ , $∠ B$ = $∠ E$ , $∠ A CB$ = $∠ FGE$

दोनों के आधे लेने पर $∠ A C D$ = $∠ FG H$ और $∠ D CB$ = $∠ H GE$ …(1)

(ii)

उपपत्ति:

ΔDCB और ΔHGE में

∠ B

∠ E

(समरूप त्रिभुजों के संगत कोण)

∠ D CB

∠ H GE

((1) से)

अतः ΔDCB ~ ΔHGE

(AA)

(iii)

उपपत्ति:

ΔDCA और ΔHGF में

∠ A

∠ F

(संगत कोण)

∠ A C D

∠ FG H

((1) से)

अतः ΔDCA ~ ΔHGF

(AA)

(i)

उपपत्ति:

(iii) से ΔDCA ~ ΔHGF, इसलिए

\frac{C D}{G H}

\frac{A C}{FG}

(संगत भुजाएँ समानुपाती)

इति सिद्धम्

प्रश्न 11

आकृति में AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिंदु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ~ ΔECF है।

सूत्र (समरूपता की कसौटियाँ):

(1)AAA / AA: दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों

(2)SSS: संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों

(3)SAS: एक कोण बराबर हो और उस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों

AB = AC, AD ⊥ BC, EF ⊥ AC

दिया है

समद्विबाहु ΔABC में AB = AC; E, CB को बढ़ाने पर स्थित है; AD ⊥ BC और EF ⊥ AC

सिद्ध करना है

ΔABD ~ ΔECF

उपपत्ति:

AB = AC, इसलिए

∠ A BC

∠ A CB

, अर्थात्

∠ A B D

∠ ECF

(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)

∠ A D B

∠ EFC

= 90°

(दिया है)

अतः ΔABD ~ ΔECF

(AA समरूपता कसौटी)

इति सिद्धम्

प्रश्न 12

एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है।

सूत्र (समरूपता की कसौटियाँ):

(1)AAA / AA: दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों

(2)SSS: संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों

(3)SAS: एक कोण बराबर हो और उस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों

दिया है

\frac{A B}{PQ}

\frac{BC}{QR}

\frac{A D}{PM}

जहाँ AD और PM माध्यिकाएँ हैं

सिद्ध करना है

ΔABC ~ ΔPQR

उपपत्ति:

AD और PM माध्यिकाएँ हैं, इसलिए

B D = \frac{1}{2} BC

और

QM = \frac{1}{2} QR

(माध्यिका की परिभाषा)

\frac{BC}{QR}

\frac{2 B D}{2 QM}

\frac{B D}{QM}

; अतः

\frac{A B}{PQ}

\frac{B D}{QM}

\frac{A D}{PM}

अतः ΔABD ~ ΔPQM, इसलिए

∠ B

∠ Q

(SSS कसौटी; संगत कोण)

ΔABC और ΔPQR में

∠ B

∠ Q

और

\frac{A B}{PQ}

\frac{BC}{QR}

(दिया है)

अतः ΔABC ~ ΔPQR

(SAS समरूपता कसौटी)

इति सिद्धम्

प्रश्न 13

D एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु इस प्रकार स्थित है कि $∠ A D C$ = $∠ B A C$ है। दर्शाइए कि $C A^{2} = CB \cdot C D$ है।

सूत्र (समरूपता की कसौटियाँ):

(1)AAA / AA: दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों

(2)SSS: संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों

(3)SAS: एक कोण बराबर हो और उस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों

∠ADC = ∠BAC

दिया है

ΔABC की भुजा BC पर D ऐसा है कि

∠ A D C

∠ B A C

सिद्ध करना है

C A^{2} = CB \cdot C D

उपपत्ति:

ΔADC और ΔBAC में:

∠ A D C

∠ B A C

(दिया है)

∠ A C D

∠ BC A

(उभयनिष्ठ कोण C)

अतः ΔADC ~ ΔBAC

(AA समरूपता कसौटी)

इसलिए

\frac{C A}{CB}

\frac{C D}{C A}

(संगत भुजाएँ समानुपाती)

वज्रगुणन से

C A^{2} = CB \cdot C D

इति सिद्धम्

प्रश्न 14

एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है।

सूत्र (समरूपता की कसौटियाँ):

(1)AAA / AA: दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों

(2)SSS: संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों

(3)SAS: एक कोण बराबर हो और उस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों

AD को E तक बढ़ाया, AD = DE

दिया है

\frac{A B}{PQ}

\frac{A C}{PR}

\frac{A D}{PM}

जहाँ AD और PM माध्यिकाएँ हैं

सिद्ध करना है

ΔABC ~ ΔPQR

रचना: AD को E तक इस प्रकार बढ़ाइए कि AD = DE, तथा PM को N तक इस प्रकार बढ़ाइए कि PM = MN। BE, CE, QN, RN मिलाइए।

उपपत्ति:

ABEC के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं, अतः ABEC समांतर चतुर्भुज है ⇒ BE = AC। इसी प्रकार PQNR समांतर चतुर्भुज ⇒ QN = PR

अतः

\frac{A B}{PQ}

\frac{BE}{QN}

\frac{2 A D}{2 PM}

\frac{A E}{PN}

(दिया है और रचना)

ΔABE ~ ΔPQN ⇒

∠ B A E

∠ QPN

…(1)

(SSS कसौटी)

इसी प्रकार

\frac{A C}{PR}

\frac{CE}{RN}

\frac{A E}{PN}

⇒ ΔACE ~ ΔPRN ⇒

∠ C A E

∠ RPN

…(2)

(CE = AB, RN = PQ; SSS)

(1) और (2) को जोड़ने पर

∠ B A C

∠ QPR

ΔABC और ΔPQR में

∠ A

∠ P

और

\frac{A B}{PQ}

\frac{A C}{PR}

अतः ΔABC ~ ΔPQR

(SAS समरूपता कसौटी)

इति सिद्धम्

प्रश्न 15

लंबाई 6 m वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

सूत्र (समरूपता की कसौटियाँ):

(1)AAA / AA: दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों

(2)SSS: संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों

(3)SAS: एक कोण बराबर हो और उस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों

खंभा AB और मीनार DE; सूर्य की किरणें AC ∥ DF

ज्ञात है

खंभा AB = 6 m, छाया BC = 4 m; मीनार की छाया EF = 28 m

ज्ञात करना है

मीनार की ऊँचाई DE = h

एक ही समय पर सूर्य की किरणें समान कोण बनाती हैं, इसलिए $∠ A CB$ = $∠ D FE$ ; साथ ही $∠ B$ = $∠ E$ = 90°।

अतः AA कसौटी से ΔABC ~ ΔDEF, इसलिए

\frac{A B}{D E}

\frac{BC}{EF}

\frac{6}{h}

\frac{4}{28}

4 h

6 \times 28

h

\frac{168}{4}

h

42 m

उत्तर: मीनार की ऊँचाई 42 m है।

प्रश्न 16

यदि AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि ΔABC ~ ΔPQR है, तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{A B}{PQ}$ = $\frac{A D}{PM}$ है।

सूत्र (समरूपता की कसौटियाँ):

(1)AAA / AA: दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों

(2)SSS: संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों

(3)SAS: एक कोण बराबर हो और उस कोण को बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों

दिया है

ΔABC ~ ΔPQR; AD और PM क्रमशः इनकी माध्यिकाएँ हैं

सिद्ध करना है

\frac{A B}{PQ}

\frac{A D}{PM}

उपपत्ति:

ΔABC ~ ΔPQR, इसलिए

\frac{A B}{PQ}

\frac{BC}{QR}

और

∠ B

∠ Q

…(1)

(समरूप त्रिभुज)

B D = \frac{1}{2} BC, QM = \frac{1}{2} QR

, इसलिए

\frac{BC}{QR}

\frac{B D}{QM}

(माध्यिका)

(1) से

\frac{A B}{PQ}

\frac{B D}{QM}

और

∠ B

∠ Q

अतः ΔABD ~ ΔPQM

(SAS समरूपता कसौटी)

इसलिए

\frac{A B}{PQ}

\frac{A D}{PM}

(संगत भुजाएँ समानुपाती)

इति सिद्धम्

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।