प्रश्नावली 5.3 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 5: समांतर श्रेढ़ियाँ · 20 प्रश्न (n पदों का योग)

प्रश्न 1

निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए:(i) 2, 7, 12, …, 10 पदों तक(ii) −37, −33, −29, …, 12 पदों तक(iii) 0.6, 1.7, 2.8, …, 100 पदों तक(iv) $\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \dots$ , 11 पदों तक

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

(i)

$a = 2, d = 5, n = 10$

S_{10}

\frac{10}{2} [2 \times 2 + (10 - 1) \times 5]

5 [4 + 45]

5 \times 49

245

(ii)

$a = - 37, d = 4, n = 12$

S_{12}

\frac{12}{2} [2 (- 37) + 11 \times 4]

6 [- 74 + 44]

6 \times (- 30)

- 180

(iii)

$a = 0.6, d = 1.1, n = 100$

S_{100}

\frac{100}{2} [2 \times 0.6 + 99 \times 1.1]

50 [1.2 + 108.9]

50 \times 110.1

5505

(iv)

$a = \frac{1}{15}, d = \frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{5 - 4}{60} = \frac{1}{60}, n = 11$

S_{11}

\frac{11}{2} [\frac{2}{15} + \frac{10}{60}]

\frac{11}{2} [\frac{2}{15} + \frac{1}{6}]

\frac{11}{2} \times \frac{4 + 5}{30}

\frac{11}{2} \times \frac{9}{30}

\frac{33}{20}

उत्तर:

(i) 245

(ii) −180

(iii) 5505

(iv)

\frac{33}{20}

प्रश्न 2

नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए:(i) $7 + 10 \frac{1}{2} + 14 + \dots + 84$ (ii) 34 + 32 + 30 + … + 10(iii) −5 + (−8) + (−11) + … + (−230)

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

(i)

$a = 7, d = 10 \frac{1}{2} - 7 = \frac{7}{2}, l = 84$

7 + (n - 1) \times \frac{7}{2}

84

भिन्न हटाने के लिए सभी पदों को 2 से गुणा करने पर

14 + 7 (n - 1)

168

7 (n - 1)

154

n - 1

22

n

23

S_{23}

\frac{23}{2} (7 + 84)

\frac{23 \times 91}{2}

\frac{2093}{2}

1046 \frac{1}{2}

(ii)

$a = 34, d = - 2, l = 10$

34 + (n - 1) (- 2)

10

2 (n - 1)

24

n

13

S_{13}

\frac{13}{2} (34 + 10)

13 \times 22

286

(iii)

$a = - 5, d = - 3, l = - 230$

- 5 + (n - 1) (- 3)

- 230

- 3 (n - 1)

- 225

n - 1

75

n

76

S_{76}

\frac{76}{2} [- 5 + (- 230)]

38 \times (- 235)

- 8930

उत्तर:

(i)

1046 \frac{1}{2}

(ii) 286

(iii) −8930

प्रश्न 3

एक AP में:(i) a = 5, d = 3 और $a_{n} = 50$ दिया है। n और $S_{n}$ ज्ञात कीजिए।(ii) a = 7 और $a_{13} = 35$ दिया है। d और $S_{13}$ ज्ञात कीजिए।(iii) $a_{12} = 37$ और d = 3 दिया है। a और $S_{12}$ ज्ञात कीजिए।(iv) $a_{3} = 15$ और $S_{10} = 125$ दिया है। d और $a_{10}$ ज्ञात कीजिए।(v) d = 5 और $S_{9} = 75$ दिया है। a और $a_{9}$ ज्ञात कीजिए।(vi) a = 2, d = 8 और $S_{n} = 90$ दिया है। n और $a_{n}$ ज्ञात कीजिए।(vii) a = 8, $a_{n} = 62$ और $S_{n} = 210$ दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।(viii) $a_{n} = 4$ , d = 2 और $S_{n} = - 14$ दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।(ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए। (x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

(i)

$a = 5, d = 3, a_{n} = 50$

5 + 3 (n - 1)

50

3 (n - 1)

45

n

16

S_{16}

\frac{16}{2} (5 + 50)

8 \times 55

440

(ii)

$a = 7, a_{13} = 35$

7 + 12 d

35

12 d

28

d

\frac{7}{3}

S_{13}

\frac{13}{2} (7 + 35)

13 \times 21

273

(iii)

$a_{12} = 37, d = 3$

a + 11 \times 3

37

a

4

S_{12}

\frac{12}{2} (4 + 37)

6 \times 41

246

(iv)

$a_{3} = 15, S_{10} = 125$

a + 2 d

15 \dots (1)

\frac{10}{2} (2 a + 9 d)

125

2 a + 9 d

25 \dots (2)

(1) को 2 से गुणा करने पर

2 a + 4 d

30 \dots (3)

(2) में से (3) घटाने पर

5 d

- 5

d

- 1

a

15 - 2 (- 1) = 17

a_{10}

17 + 9 (- 1)

8

(v)

$d = 5, S_{9} = 75$

\frac{9}{2} (2 a + 8 \times 5)

75

भिन्न हटाने के लिए दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर

9 (2 a + 40)

150

18 a + 360

150

18 a

- 210

a

- \frac{35}{3}

a_{9}

- \frac{35}{3} + 8 \times 5

\frac{- 35 + 120}{3}

\frac{85}{3}

(vi)

$a = 2, d = 8, S_{n} = 90$

\frac{n}{2} [4 + 8 (n - 1)]

90

n (4 n - 2)

90

4 n^{2} - 2 n - 90

0

2 n^{2} - n - 45

0

2 n^{2} - n - 45

2 n^{2} - 10 n + 9 n - 45

2 n (n - 5) + 9 (n - 5)

(n - 5) (2 n + 9)

$n = 5$ या $n = - \frac{9}{2}$ ; पदों की संख्या धन पूर्णांक होती है, अतः $n = 5$

a_{5}

2 + 4 \times 8

34

(vii)

$a = 8, a_{n} = 62, S_{n} = 210$

\frac{n}{2} (8 + 62)

210

35 n

210

n

6

8 + 5 d

62

5 d

54

d

\frac{54}{5}

(viii)

$a_{n} = 4, d = 2, S_{n} = - 14$

a + (n - 1) \times 2

4

a

6 - 2 n \dots (1)

\frac{n}{2} (a + 4)

- 14

\frac{n}{2} (6 - 2 n + 4)

- 14

n (5 - n)

- 14

n^{2} - 5 n - 14

0

n^{2} - 5 n - 14

n^{2} - 7 n + 2 n - 14

(n - 7) (n + 2)

$n = 7$ (क्योंकि $n = - 2$ संभव नहीं)

a

6 - 2 \times 7 = - 8

(ix)

$a = 3, n = 8, S = 192$

\frac{8}{2} (6 + 7 d)

192

6 + 7 d

48

7 d

42

d

6

(x)

$l = 28, S = 144, n = 9$

\frac{9}{2} (a + 28)

144

a + 28

32

a

4

उत्तर:

(i)

n = 16, S_{n} = 440

(ii)

d = \frac{7}{3}, S_{13} = 273

(iii)

a = 4, S_{12} = 246

(iv)

d = - 1, a_{10} = 8

(v)

a = - \frac{35}{3}, a_{9} = \frac{85}{3}

(vi)

n = 5, a_{n} = 34

(vii)

n = 6, d = \frac{54}{5}

(viii)

n = 7, a = - 8

(ix)

d = 6

(x)

a = 4

प्रश्न 4

AP: 9, 17, 25, … के कितने पद लेने चाहिए, ताकि उनका योग 636 हो?

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

$a = 9, d = 8, S_{n} = 636$

\frac{n}{2} [18 + 8 (n - 1)]

636

n (4 n + 5)

636

4 n^{2} + 5 n - 636

0

D

5^{2} - 4 \times 4 \times (- 636)

25 + 10176

10201

D

101

n

\frac{- 5 \pm 101}{8}

$n = \frac{96}{8} = 12$ या $n = - \frac{106}{8}$ (ऋणात्मक, अस्वीकार्य)

उत्तर: 12 पद लेने होंगे।

प्रश्न 5

किसी AP का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

$a = 5, l = 45, S_{n} = 400$

\frac{n}{2} (5 + 45)

400

25 n

400

n

16

5 + 15 d

45

15 d

40

d

\frac{8}{3}

उत्तर: पदों की संख्या 16, सार्व अंतर

\frac{8}{3}

प्रश्न 6

किसी AP के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

$a = 17, l = 350, d = 9$

17 + 9 (n - 1)

350

9 (n - 1)

333

n - 1

37

n

38

S_{38}

\frac{38}{2} (17 + 350)

19 \times 367

6973

उत्तर: 38 पद, योग 6973

प्रश्न 7

उस AP के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22वाँ पद 149 है।

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

$d = 7, a_{22} = 149$

a + 21 \times 7

149

a

149 - 147 = 2

S_{22}

\frac{22}{2} (2 + 149)

11 \times 151

1661

उत्तर: 1661

प्रश्न 8

उस AP के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

$a_{2} = 14, a_{3} = 18$

d

18 - 14 = 4

a

14 - 4 = 10

S_{51}

\frac{51}{2} [2 \times 10 + 50 \times 4]

\frac{51}{2} \times 220

51 \times 110

5610

उत्तर: 5610

प्रश्न 9

यदि किसी AP के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

$S_{7} = 49, S_{17} = 289$

\frac{7}{2} (2 a + 6 d)

49

a + 3 d

7 \dots (1)

\frac{17}{2} (2 a + 16 d)

289

a + 8 d

17 \dots (2)

(2) में से (1) घटाने पर

5 d

10

d

2

a

7 - 6 = 1

S_{n}

\frac{n}{2} [2 + 2 (n - 1)]

\frac{n}{2} \times 2 n

n^{2}

उत्तर:

S_{n} = n^{2}

प्रश्न 10

दिखाइए कि $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ से एक AP बनती है, यदि $a_{n}$ नीचे दिए अनुसार परिभाषित है:(i) $a_{n} = 3 + 4 n$ (ii) $a_{n} = 9 - 5 n$ साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

(i)

a_{n} = 3 + 4 n

a_{1}

3 + 4 = 7

a_{2}

3 + 8 = 11

a_{3}

3 + 12 = 15

a_{n + 1} - a_{n}

3 + 4 (n + 1) - (3 + 4 n)

4

अंतर अचर (4) है, अतः यह AP है।

a_{15}

3 + 60

63

S_{15}

\frac{15}{2} (7 + 63)

15 \times 35

525

(ii)

a_{n} = 9 - 5 n

a_{1}

9 - 5 = 4

a_{2}

9 - 10 = - 1

a_{3}

9 - 15 = - 6

a_{n + 1} - a_{n}

9 - 5 (n + 1) - (9 - 5 n)

- 5

अंतर अचर (−5) है, अतः यह AP है।

a_{15}

9 - 75

- 66

S_{15}

\frac{15}{2} [4 + (- 66)]

\frac{15}{2} \times (- 62)

- 465

उत्तर:

(i) AP, d = 4,

S_{15} = 525

(ii) AP, d = −5,

S_{15} = - 465

प्रश्न 11

यदि किसी AP के प्रथम n पदों का योग $4 n - n^{2}$ है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् $S_{1}$ ) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार तीसरे, 10वें और n वें पद ज्ञात कीजिए।

सूत्र (n वाँ पद योग से):

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

$S_{n} = 4 n - n^{2}$

S_{1}

4 - 1

3

अतः प्रथम पद $a_{1} = 3$

S_{2}

8 - 4

4

a_{2}

S_{2} - S_{1}

4 - 3

1

S_{3}

12 - 9

3

a_{3}

S_{3} - S_{2}

3 - 4

- 1

S_{10}

40 - 100

- 60

S_{9}

36 - 81

- 45

a_{10}

S_{10} - S_{9}

- 60 - (- 45)

- 15

a_{n}

S_{n} - S_{n - 1}

(4 n - n^{2}) - [4 (n - 1) - (n - 1)^{2}]

4 n - n^{2} - 4 n + 4 + n^{2} - 2 n + 1

5 - 2 n

उत्तर: प्रथम पद 3; प्रथम दो पदों का योग 4; दूसरा पद 1; तीसरा पद −1; 10वाँ पद −15; n वाँ पद

5 - 2 n

प्रश्न 12

ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए, जो 6 से विभाज्य हैं।

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

AP: 6, 12, 18, …, जिसमें $a = 6, d = 6, n = 40$

S_{40}

\frac{40}{2} [12 + 39 \times 6]

20 \times 246

4920

उत्तर: 4920

प्रश्न 13

8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

AP: 8, 16, 24, …, जिसमें $a = 8, d = 8, n = 15$

S_{15}

\frac{15}{2} [16 + 14 \times 8]

\frac{15}{2} \times 128

15 \times 64

960

उत्तर: 960

प्रश्न 14

0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ: 1, 3, 5, …, 49 जिसमें $a = 1, d = 2, l = 49$

1 + (n - 1) \times 2

49

n

25

S_{25}

\frac{25}{2} (1 + 49)

25 \times 25

625

उत्तर: 625

प्रश्न 15

निर्माण कार्य से संबंधित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है: पहले दिन के लिए ₹200, दूसरे दिन के लिए ₹250, तीसरे दिन के लिए ₹300 इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है?

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

जुर्माना: 200, 250, 300, … (AP) जिसमें $a = 200, d = 50, n = 30$

S_{30}

\frac{30}{2} [400 + 29 \times 50]

15 [400 + 1450]

15 \times 1850

27750

उत्तर: ₹27750

प्रश्न 16

किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

माना पहला पुरस्कार ₹ $a$ है; $d = - 20, n = 7, S_{7} = 700$

\frac{7}{2} [2 a + 6 (- 20)]

700

2 a - 120

200

2 a

320

a

160

उत्तर: पुरस्कार ₹160, ₹140, ₹120, ₹100, ₹80, ₹60, ₹40

प्रश्न 17

एक स्कूल के विद्यार्थियों को वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा गया। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

प्रत्येक कक्षा के 3 अनुभाग हैं, इसलिए कक्षा I, II, III, … XII द्वारा लगाए पेड़: 3, 6, 9, …, 36 (AP) जिसमें $a = 3, d = 3, n = 12$

S_{12}

\frac{12}{2} (3 + 36)

6 \times 39

234

उत्तर: कुल 234 पेड़ लगाए जाएँगे।

प्रश्न 18

एक सर्पिल (spiral) को क्रमागत अर्धवृत्तों से बनाया गया है, जिनके केंद्र बारी-बारी से A और B हैं, तथा केंद्र A से प्रारंभ करते हुए त्रिज्याएँ 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, … हैं। ऐसे 13 क्रमागत अर्धवृत्तों से बने सर्पिल की कुल लंबाई क्या है? ( $π = \frac{22}{7}$ लीजिए)

सूत्र (अर्धवृत्त की लंबाई):

π r

अर्धवृत्तों की त्रिज्याएँ 0.5, 1.0, 1.5, … cm; इसलिए लंबाइयाँ $π \times 0.5, π \times 1, π \times 1.5, \dots$ (AP)

13 अर्धवृत्तों की त्रिज्याएँ: 0.5, 1.0, …, 6.5 ( $a = 0.5, l = 6.5, n = 13$ )

कुल लंबाई=

π (0.5 + 1.0 + \dots + 6.5)

π \times \frac{13}{2} (0.5 + 6.5)

\frac{22}{7} \times \frac{13}{2} \times 7

143

उत्तर: सर्पिल की कुल लंबाई 143 cm

प्रश्न 19

200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है: सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली में 18 लट्ठे, इत्यादि। ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे हैं?

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

पंक्तियों में लट्ठे: 20, 19, 18, … (AP) जिसमें $a = 20, d = - 1, S_{n} = 200$

\frac{n}{2} [40 + (n - 1) (- 1)]

200

n (41 - n)

400

n^{2} - 41 n + 400

0

n^{2} - 41 n + 400

n^{2} - 16 n - 25 n + 400

n (n - 16) - 25 (n - 16)

(n - 16) (n - 25)

$n = 16$ या $n = 25$ ; $n = 25$ पर $a_{25} = 20 - 24 = - 4$ (ऋणात्मक लट्ठे संभव नहीं), अतः $n = 16$

a_{16}

20 + 15 (- 1)

5

उत्तर: 16 पंक्तियाँ, सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्ठे

प्रश्न 20

एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 m की दूरी पर है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं। प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, अगला आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

बाल्टी से आलुओं की दूरियाँ: 5, 8, 11, … m (10 आलू)। हर आलू के लिए जाना और लौटना, इसलिए दौड़ी गई दूरियाँ: 10, 16, 22, … (AP) जिसमें $a = 10, d = 6, n = 10$

S_{10}

\frac{10}{2} [20 + 9 \times 6]

5 \times 74

370

उत्तर: कुल 370 m दौड़ना पड़ेगा।

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।