प्रश्नावली 5.4 (ऐच्छिक) के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 5: समांतर श्रेढ़ियाँ · 5 प्रश्न (ऐच्छिक, परीक्षा की दृष्टि से नहीं)

प्रश्न 1

AP: 121, 117, 113, … का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

$a = 121, d = 117 - 121 = - 4$

ऋणात्मक पद के लिए $a_{n} < 0$

a_{n}

121 + (n - 1) (- 4)

125 - 4 n

$125 - 4 n < 0$ ⇒ $4 n > 125$ ⇒ $n > 31 \frac{1}{4}$

अतः सबसे छोटा पूर्णांक $n = 32$

a_{32}

125 - 128

- 3

उत्तर: 32वाँ पद (−3) पहला ऋणात्मक पद है।

प्रश्न 2

एक AP के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस AP के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

(a + 2 d) + (a + 6 d)

6

2 a + 8 d

6

a + 4 d

3 \dots (1)

(a + 2 d) (a + 6 d)

8

(1) से $a = 3 - 4 d$ ; रखने पर

(3 - 2 d) (3 + 2 d)

8

9 - 4 d^{2}

8

d^{2}

\frac{1}{4}

d

\pm \frac{1}{2}

स्थिति 1:

d = \frac{1}{2}

a

3 - 2 = 1

S_{16}

\frac{16}{2} [2 + 15 \times \frac{1}{2}]

8 \times \frac{19}{2}

76

स्थिति 2:

d = - \frac{1}{2}

a

3 + 2 = 5

S_{16}

\frac{16}{2} [10 - \frac{15}{2}]

8 \times \frac{5}{2}

20

उत्तर: प्रथम 16 पदों का योग 76 (जब d = ½) या 20 (जब d = −½)

प्रश्न 3

एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर 25 cm की दूरी पर हैं। डंडों की लंबाई एकसमान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई 25 cm है। यदि सबसे ऊपरी और सबसे निचले डंडे के बीच की दूरी $2 \frac{1}{2}$ m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी?

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

ऊपर और नीचे के डंडों के बीच दूरी $2 \frac{1}{2} m = 250 cm$ और डंडे 25 cm की दूरी पर हैं।

डंडों की संख्या=

\frac{250}{25} + 1

11

लंबाइयाँ 45 cm से 25 cm तक एकसमान रूप से घटती हैं (AP), $a = 45, l = 25, n = 11$

S_{11}

\frac{11}{2} (45 + 25)

11 \times 35

385

उत्तर: 385 cm (3.85 m) लकड़ी चाहिए।

प्रश्न 4

एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

माना मकान की संख्या $x$ है।

$x$ से पहले के मकानों का योग:

1 + 2 + \dots + (x - 1)

\frac{( x - 1 ) x}{2}

सभी मकानों का योग:

1 + 2 + \dots + 49

\frac{49 \times 50}{2}

1225

$x$ के बाद के मकानों का योग = कुल योग − ( $1$ से $x$ तक का योग) = $1225 - \frac{x ( x + 1 )}{2}$

प्रश्नानुसार दोनों योग बराबर हैं:

\frac{( x - 1 ) x}{2}

1225 - \frac{x ( x + 1 )}{2}

भिन्न हटाने के लिए सभी पदों को 2 से गुणा करने पर

x^{2} - x

2450 - x^{2} - x

2 x^{2}

2450

x^{2}

1225

x

35

जाँच:

1 + 2 + \dots + 34

\frac{34 \times 35}{2}

595

36 + 37 + \dots + 49

1225 - 595 - 35

595

✔

उत्तर: x = 35

प्रश्न 5

एक फुटबॉल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है, जिसकी सीढ़ियाँ कंक्रीट की बनी हैं। इसमें 15 सीढ़ियाँ हैं और प्रत्येक सीढ़ी की लंबाई 50 m है तथा वह ठोस कंक्रीट की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में $\frac{1}{4}$ m की चढ़ाई है और $\frac{1}{2}$ m का फैलाव (चौड़ाई) है। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।

सूत्र (प्रथम n पदों का योग):

(1)

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

(2)

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

, जहाँ

l

= अंतिम पद

सूत्र (घनाभ का आयतन): लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई

सीढ़ी n की ऊँचाई $\frac{n}{4}$ m, चौड़ाई (पैर रखने का स्थान) $\frac{1}{2}$ m, लंबाई 50 m:

पहली सीढ़ी=

\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 = 6.25

दूसरी सीढ़ी=

\frac{2}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 = 12.5

तीसरी सीढ़ी=

\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 = 18.75

आयतन AP में हैं: $a = 6.25, d = 6.25, n = 15$

S_{15}

\frac{15}{2} [12.5 + 14 \times 6.25]

\frac{15}{2} \times 100

750

उत्तर: 750 m³ कंक्रीट लगेगी।

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।