प्रश्नावली 5.2 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 5: समांतर श्रेढ़ियाँ · 20 प्रश्न (n वाँ पद)

प्रश्न 1

निम्नलिखित सारणी में रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ AP का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और n वाँ पद $a_{n}$ है:(i) a = 7, d = 3, n = 8, $a_{n}$ = ?(ii) a = −18, d = ?, n = 10, $a_{n}$ = 0(iii) a = ?, d = −3, n = 18, $a_{n}$ = −5(iv) a = −18.9, d = 2.5, n = ?, $a_{n}$ = 3.6(v) a = 3.5, d = 0, n = 105, $a_{n}$ = ?

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

(i)

$a = 7, d = 3, n = 8$

a_{8}

a + (8 - 1) d

7 + 7 \times 3

7 + 21

28

(ii)

$a = - 18, n = 10, a_{n} = 0$

a + (10 - 1) d

0

- 18 + 9 d

0

9 d

18

d

2

(iii)

$d = - 3, n = 18, a_{n} = - 5$

a + (18 - 1) (- 3)

- 5

a - 51

- 5

a

- 5 + 51

a

46

(iv)

$a = - 18.9, d = 2.5, a_{n} = 3.6$

- 18.9 + (n - 1) \times 2.5

3.6

(n - 1) \times 2.5

3.6 + 18.9

(n - 1) \times 2.5

22.5

n - 1

\frac{22.5}{2.5}

n - 1

9

n

10

(v)

$a = 3.5, d = 0, n = 105$

a_{105}

3.5 + (105 - 1) \times 0

3.5 + 0

3.5

उत्तर:

(i)

a_{n} = 28

(ii)

d = 2

(iii)

a = 46

(iv)

n = 10

(v)

a_{n} = 3.5

प्रश्न 2

निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:(i) AP: 10, 7, 4, … का 30वाँ पद है: (A) 97 (B) 77 (C) −77 (D) −87(ii) AP: $- 3, - \frac{1}{2}, 2, \dots$ का 11वाँ पद है: (A) 28 (B) 22 (C) −38 (D) $- 48 \frac{1}{2}$

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

(i)

$a = 10, d = 7 - 10 = - 3, n = 30$

a_{30}

10 + (30 - 1) (- 3)

10 - 87

- 77

(ii)

$a = - 3, d = - \frac{1}{2} - (- 3) = \frac{5}{2}, n = 11$

a_{11}

- 3 + (11 - 1) \times \frac{5}{2}

- 3 + 25

22

उत्तर:

(i) (C) −77

(ii) (B) 22

प्रश्न 3

निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए:(i) 2, □, 26(ii) □, 13, □, 3(iii) 5, □, □, $9 \frac{1}{2}$ (iv) −4, □, □, □, □, 6(v) □, 38, □, □, □, −22

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

(i)

$a = 2, a_{3} = 26$

a + 2 d

26

2 + 2 d

26

2 d

24

d

12

a_{2}

2 + 12

14

(ii)

$a_{2} = 13, a_{4} = 3$

a + d

13 \dots (1)

a + 3 d

3 \dots (2)

(2) में से (1) घटाने पर

2 d

- 10

d

- 5

a

13 - (- 5) = 18

a_{3}

13 + (- 5) = 8

(iii)

$a = 5, a_{4} = 9 \frac{1}{2} = \frac{19}{2}$

5 + 3 d

\frac{19}{2}

3 d

\frac{19}{2} - 5 = \frac{9}{2}

d

\frac{3}{2}

a_{2}

5 + \frac{3}{2} = \frac{13}{2} = 6 \frac{1}{2}

a_{3}

\frac{13}{2} + \frac{3}{2} = 8

(iv)

$a = - 4, a_{6} = 6$

- 4 + 5 d

6

5 d

10

d

2

a_{2}

- 4 + 2 = - 2

a_{3}

- 2 + 2 = 0

a_{4}

0 + 2 = 2

a_{5}

2 + 2 = 4

(v)

$a_{2} = 38, a_{6} = - 22$

a + d

38 \dots (1)

a + 5 d

- 22 \dots (2)

(2) में से (1) घटाने पर

4 d

- 60

d

- 15

a

38 - (- 15) = 53

a_{3}

38 - 15 = 23

a_{4}

23 - 15 = 8

a_{5}

8 - 15 = - 7

उत्तर:

(i) 2, 14, 26

(ii) 18, 13, 8, 3

(iii) 5, $6 \frac{1}{2}$ , 8,

9 \frac{1}{2}

(iv) −4, −2, 0, 2, 4, 6

(v) 53, 38, 23, 8, −7, −22

प्रश्न 4

AP: 3, 8, 13, 18, … का कौन-सा पद 78 है?

ज्ञात है

AP: 3, 8, 13, 18, …

ज्ञात करना है

कौन-सा पद 78 है

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

$a = 3, d = 8 - 3 = 5, a_{n} = 78$

3 + (n - 1) \times 5

78

(n - 1) \times 5

75

n - 1

15

n

16

उत्तर: 16वाँ पद 78 है।

प्रश्न 5

निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं?(i) 7, 13, 19, …, 205(ii) $18, 15 \frac{1}{2}, 13, \dots, - 47$

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

(i)

$a = 7, d = 13 - 7 = 6, a_{n} = 205$

7 + (n - 1) \times 6

205

(n - 1) \times 6

198

n - 1

33

n

34

(ii)

$a = 18, d = 15 \frac{1}{2} - 18 = - \frac{5}{2}, a_{n} = - 47$

18 + (n - 1) (- \frac{5}{2})

- 47

भिन्न हटाने के लिए सभी पदों को 2 से गुणा करने पर

36 - 5 (n - 1)

- 94

- 5 (n - 1)

- 130

n - 1

26

n

27

उत्तर:

(i) 34 पद

(ii) 27 पद

प्रश्न 6

जाँच कीजिए कि क्या −150, AP: 11, 8, 5, 2, … का एक पद है।

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

$a = 11, d = 8 - 11 = - 3$

माना −150 इस AP का n वाँ पद है:

11 + (n - 1) (- 3)

- 150

- 3 (n - 1)

- 161

n - 1

\frac{161}{3}

n

\frac{164}{3}

n एक धन पूर्णांक नहीं है, इसलिए −150 इस AP का पद नहीं है।

उत्तर: नहीं, −150 इस AP का पद नहीं है।

प्रश्न 7

एक AP का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

ज्ञात है

a_{11} = 38, a_{16} = 73

ज्ञात करना है

a_{31}

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

a + 10 d

38 \dots (1)

a + 15 d

73 \dots (2)

(2) में से (1) घटाने पर

5 d

35

d

7

(1) में रखने पर

a + 70

38

a

- 32

a_{31}

a + 30 d

- 32 + 30 \times 7

- 32 + 210

178

उत्तर: 31वाँ पद 178 है।

प्रश्न 8

एक AP में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

50 पद;

a_{3} = 12, a_{50} = 106

ज्ञात करना है

a_{29}

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

a + 2 d

12 \dots (1)

a + 49 d

106 \dots (2)

(2) में से (1) घटाने पर

47 d

94

d

2

(1) में रखने पर

a + 4

12

a

8

a_{29}

a + 28 d

8 + 28 \times 2

8 + 56

64

उत्तर: 29वाँ पद 64 है।

प्रश्न 9

यदि किसी AP के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और −8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?

ज्ञात है

a_{3} = 4, a_{9} = - 8

ज्ञात करना है

कौन-सा पद शून्य है

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

a + 2 d

4 \dots (1)

a + 8 d

- 8 \dots (2)

(2) में से (1) घटाने पर

6 d

- 12

d

- 2

(1) में रखने पर

a - 4

4

a

8

माना n वाँ पद शून्य है:

8 + (n - 1) (- 2)

0

2 (n - 1)

8

n - 1

4

n

5

उत्तर: 5वाँ पद शून्य है।

प्रश्न 10

किसी AP का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

a_{17} - a_{10} = 7

ज्ञात करना है

सार्व अंतर d

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

(a + 16 d) - (a + 9 d)

7

7 d

7

d

1

उत्तर: सार्व अंतर d = 1

प्रश्न 11

AP: 3, 15, 27, 39, … का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?

ज्ञात है

AP: 3, 15, 27, 39, …

ज्ञात करना है

कौन-सा पद 54वें पद से 132 अधिक है

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

$a = 3, d = 15 - 3 = 12$

a_{54}

3 + 53 \times 12

3 + 636

639

अभीष्ट पद=

639 + 132

771

3 + (n - 1) \times 12

771

(n - 1) \times 12

768

n - 1

64

n

65

उत्तर: 65वाँ पद, 54वें पद से 132 अधिक है।

प्रश्न 12

दो समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

माना दोनों AP के प्रथम पद $a$ और $b$ हैं तथा सार्व अंतर (दोनों का) $d$ है।

a_{100} - b_{100}

(a + 99 d) - (b + 99 d)

a - b

a - b

100

a_{1000} - b_{1000}

(a + 999 d) - (b + 999 d)

a - b

100

उत्तर: 1000वें पदों का अंतर भी 100 होगा।

प्रश्न 13

तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

7 से विभाज्य सबसे छोटी तीन अंकीय संख्या 105 और सबसे बड़ी 994 है।

AP: 105, 112, 119, …, 994 जिसमें $a = 105, d = 7, a_{n} = 994$

105 + (n - 1) \times 7

994

(n - 1) \times 7

889

n - 1

127

n

128

उत्तर: 128 तीन अंकीय संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं।

प्रश्न 14

10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

10 और 250 के बीच 4 का पहला गुणज 12 और अंतिम 248 है।

AP: 12, 16, 20, …, 248 जिसमें $a = 12, d = 4, a_{n} = 248$

12 + (n - 1) \times 4

248

(n - 1) \times 4

236

n - 1

59

n

60

उत्तर: 10 और 250 के बीच 4 के 60 गुणज हैं।

प्रश्न 15

n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढ़ियों 63, 65, 67, … और 3, 10, 17, … के n वें पद बराबर होंगे?

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

पहली AP: $a = 63, d = 2$ ; दूसरी AP: $a = 3, d = 7$

63 + (n - 1) \times 2

3 + (n - 1) \times 7

63 - 3

7 (n - 1) - 2 (n - 1)

60

5 (n - 1)

n - 1

12

n

13

जाँच:

a_{13}

(पहली)=

63 + 24

87

a_{13}

(दूसरी)=

3 + 84

87

✔

उत्तर: n = 13

प्रश्न 16

वह AP ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।

ज्ञात है

a_{3} = 16, a_{7} - a_{5} = 12

ज्ञात करना है

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

(a + 6 d) - (a + 4 d)

12

2 d

12

d

6

a + 2 d

16

a + 12

16

a

4

उत्तर: AP: 4, 10, 16, 22, 28, …

प्रश्न 17

AP: 3, 8, 13, …, 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

अंतिम पद से गिनने के लिए AP को उल्टा लिखेंगे: 253, 248, 243, …, 3

$a = 253, d = 248 - 253 = - 5, n = 20$

a_{20}

253 + (20 - 1) (- 5)

253 - 95

158

उत्तर: अंतिम पद से 20वाँ पद 158 है।

प्रश्न 18

किसी AP के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस AP के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

a_{4} + a_{8} = 24, a_{6} + a_{10} = 44

ज्ञात करना है

प्रथम तीन पद

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

(a + 3 d) + (a + 7 d)

24

2 a + 10 d

24

a + 5 d

12 \dots (1)

(a + 5 d) + (a + 9 d)

44

2 a + 14 d

44

a + 7 d

22 \dots (2)

(2) में से (1) घटाने पर

2 d

10

d

5

(1) में रखने पर

a + 25

12

a

- 13

a_{2}

- 13 + 5 = - 8

a_{3}

- 8 + 5 = - 3

उत्तर: प्रथम तीन पद −13, −8, −3

प्रश्न 19

सुब्बा राव ने 1995 में ₹5000 के मासिक वेतन पर कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष ₹200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹7000 हो गया?

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

वार्षिक वेतन: 5000, 5200, 5400, … (AP) जिसमें $a = 5000, d = 200, a_{n} = 7000$

5000 + (n - 1) \times 200

7000

(n - 1) \times 200

2000

n - 1

10

n

11

11वाँ वर्ष = 1995 + 10 = 2005

उत्तर: सन् 2005 में उसका वेतन ₹7000 हो गया।

प्रश्न 20

रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹1.75 बढ़ाती गई। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

, जहाँ

a

= प्रथम पद,

d

= सार्व अंतर

साप्ताहिक बचत: 5, 6.75, 8.50, … (AP) जिसमें $a = 5, d = 1.75, a_{n} = 20.75$

5 + (n - 1) \times 1.75

20.75

(n - 1) \times 1.75

15.75

n - 1

\frac{15.75}{1.75}

n - 1

9

n

10

उत्तर: n = 10

← प्रश्नावली 5.1 प्रश्नावली 5.3 →

यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।