प्रश्नावली 5.1 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 5: समांतर श्रेढ़ियाँ · 4 प्रश्न

प्रश्न 1

निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में संबद्ध संख्याओं की सूची समांतर श्रेढ़ी है और क्यों?(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर का किराया ₹15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर का किराया ₹8 है।(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पंप प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का $\frac{1}{4}$ भाग बाहर निकाल देता है।(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर की खुदाई की लागत ₹150 है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत ₹50 बढ़ती जाती है।(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹10000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।

सूत्र (सार्व अंतर):

d = a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2} = a_{4} - a_{3} = \dots

(सभी अंतर बराबर हों तभी समांतर श्रेढ़ी)

(i)

पहले किलोमीटर का किराया ₹15, फिर प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर का ₹8:

1 km

15

2 km

15 + 8 = 23

3 km

23 + 8 = 31

4 km

31 + 8 = 39

सूची: 15, 23, 31, 39, …

a_{2} - a_{1}

23 - 15

8

a_{3} - a_{2}

31 - 23

8

a_{4} - a_{3}

39 - 31

8

प्रत्येक पद पिछले पद में 8 जोड़कर मिलता है, अतः यह समांतर श्रेढ़ी है (d = 8)।

(ii)

माना प्रारंभ में बेलन में हवा $x$ है। हर बार शेष हवा का $\frac{1}{4}$ भाग निकलता है, यानी $\frac{3}{4}$ भाग बचता है:

सूची: $x, \frac{3 x}{4}, \frac{9 x}{16}, \frac{27 x}{64}, \dots$

a_{2} - a_{1}

\frac{3 x}{4} - x

- \frac{x}{4}

a_{3} - a_{2}

\frac{9 x}{16} - \frac{3 x}{4}

\frac{9 x - 12 x}{16}

- \frac{3 x}{16}

$a_{2} - a_{1} \neq = a_{3} - a_{2}$ , अतः यह समांतर श्रेढ़ी नहीं है।

(iii)

पहले मीटर की खुदाई ₹150, फिर प्रत्येक अगले मीटर पर ₹50 बढ़ता है:

सूची: 150, 200, 250, 300, …

a_{2} - a_{1}

200 - 150

50

a_{3} - a_{2}

250 - 200

50

a_{4} - a_{3}

300 - 250

50

सभी अंतर बराबर (50) हैं, अतः यह समांतर श्रेढ़ी है।

(iv)

सूत्र (चक्रवृद्धि मिश्रधन):

A = P (1 + \frac{r}{100})^{n}

प्रारंभ=

10000

1 वर्ष बाद=

10000 \times 1.08 = 10800

2 वर्ष बाद=

10800 \times 1.08 = 11664

सूची: 10000, 10800, 11664, …

a_{2} - a_{1}

10800 - 10000

800

a_{3} - a_{2}

11664 - 10800

864

$800 \neq = 864$ , अतः यह समांतर श्रेढ़ी नहीं है।

उत्तर:

(i) हाँ, AP है (d = 8)

(ii) नहीं, AP नहीं है

(iii) हाँ, AP है (d = 50)

(iv) नहीं, AP नहीं है

प्रश्न 2

निम्नलिखित स्थितियों में AP के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं:(i) a = 10, d = 10(ii) a = −2, d = 0(iii) a = 4, d = −3(iv) a = −1, $d = \frac{1}{2}$ (v) a = −1.25, d = −0.25

(i)

यहाँ $a = 10$ , $d = 10$

a_{1}

10

a_{2}

a_{1} + d = 10 + 10 = 20

a_{3}

a_{2} + d = 20 + 10 = 30

a_{4}

a_{3} + d = 30 + 10 = 40

(ii)

यहाँ $a = - 2$ , $d = 0$

a_{1}

- 2

a_{2}

a_{1} + d = - 2 + 0 = - 2

a_{3}

a_{2} + d = - 2 + 0 = - 2

a_{4}

a_{3} + d = - 2 + 0 = - 2

(iii)

यहाँ $a = 4$ , $d = - 3$

a_{1}

4

a_{2}

a_{1} + d = 4 + (- 3) = 1

a_{3}

a_{2} + d = 1 + (- 3) = - 2

a_{4}

a_{3} + d = - 2 + (- 3) = - 5

(iv)

यहाँ $a = - 1$ , $d = \frac{1}{2}$

a_{1}

- 1

a_{2}

a_{1} + d = - 1 + \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}

a_{3}

a_{2} + d = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0

a_{4}

a_{3} + d = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

(v)

यहाँ $a = - 1.25$ , $d = - 0.25$

a_{1}

- 1.25

a_{2}

a_{1} + d = - 1.25 + (- 0.25) = - 1.50

a_{3}

a_{2} + d = - 1.50 + (- 0.25) = - 1.75

a_{4}

a_{3} + d = - 1.75 + (- 0.25) = - 2.00

उत्तर:

(i)

10, 20, 30, 40

(ii)

- 2, - 2, - 2, - 2

(iii)

4, 1, - 2, - 5

(iv)

- 1, - \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}

(v)

- 1.25, - 1.50, - 1.75, - 2.00

प्रश्न 3

निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए:(i) 3, 1, −1, −3, …(ii) −5, −1, 3, 7, …(iii) $\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \dots$ (iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, …

सूत्र (सार्व अंतर):

d = a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2} = a_{4} - a_{3} = \dots

(सभी अंतर बराबर हों तभी समांतर श्रेढ़ी)

(i)

AP: $3, 1, - 1, - 3, \dots$

प्रथम पद

a

3

d

a_{2} - a_{1}

1 - 3

- 2

(ii)

AP: $- 5, - 1, 3, 7, \dots$

प्रथम पद

a

- 5

d

a_{2} - a_{1}

- 1 - (- 5)

4

(iii)

AP: $\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \dots$

प्रथम पद

a

\frac{1}{3}

d

a_{2} - a_{1}

\frac{5}{3} - \frac{1}{3}

\frac{4}{3}

(iv)

AP: $0.6, 1.7, 2.8, 3.9, \dots$

प्रथम पद

a

0.6

d

a_{2} - a_{1}

1.7 - 0.6

1.1

उत्तर:

(i)

a = 3, d = - 2

(ii)

a = - 5, d = 4

(iii)

a = \frac{1}{3}, d = \frac{4}{3}

(iv)

a = 0.6, d = 1.1

प्रश्न 4

निम्नलिखित में से कौन-कौन AP हैं? यदि कोई AP है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए:(i) 2, 4, 8, 16, …(ii) $2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, \dots$ (iii) −1.2, −3.2, −5.2, −7.2, …(iv) −10, −6, −2, 2, …(v) $3, 3 + 2, 3 + 22, 3 + 32, \dots$ (vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, …(vii) 0, −4, −8, −12, …(viii) $- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \dots$ (ix) 1, 3, 9, 27, … (x) a, 2a, 3a, 4a, … (xi) $a, a^{2}, a^{3}, a^{4}, \dots$ (xii) $2, 8, 18, 32, \dots$ (xiii) $3, 6, 9, 12, \dots$ (xiv) $1^{2}, 3^{2}, 5^{2}, 7^{2}, \dots$ (xv) $1^{2}, 5^{2}, 7^{2}, 73, \dots$

सूत्र (सार्व अंतर):

d = a_{2} - a_{1} = a_{3} - a_{2} = a_{4} - a_{3} = \dots

(सभी अंतर बराबर हों तभी समांतर श्रेढ़ी)

(i)

दी गई सूची: $2, 4, 8, 16, \dots$

a_{2} - a_{1}

4 - 2

2

a_{3} - a_{2}

8 - 4

4

अंतर बराबर नहीं हैं, अतः यह AP नहीं है।

(ii)

दी गई सूची: $2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, \dots$

a_{2} - a_{1}

\frac{5}{2} - 2

\frac{1}{2}

a_{3} - a_{2}

3 - \frac{5}{2}

\frac{1}{2}

a_{4} - a_{3}

\frac{7}{2} - 3

\frac{1}{2}

सभी अंतर बराबर हैं, अतः यह AP है और $d = \frac{1}{2}$ ।

a_{5}

\frac{7}{2} + \frac{1}{2} = 4

a_{6}

4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}

a_{7}

\frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 5

(iii)

दी गई सूची: $- 1.2, - 3.2, - 5.2, - 7.2, \dots$

a_{2} - a_{1}

- 3.2 - (- 1.2)

- 2

a_{3} - a_{2}

- 5.2 - (- 3.2)

- 2

a_{4} - a_{3}

- 7.2 - (- 5.2)

- 2

सभी अंतर बराबर हैं, अतः यह AP है और $d = - 2$ ।

a_{5}

- 7.2 - 2 = - 9.2

a_{6}

- 9.2 - 2 = - 11.2

a_{7}

- 11.2 - 2 = - 13.2

(iv)

दी गई सूची: $- 10, - 6, - 2, 2, \dots$

a_{2} - a_{1}

- 6 - (- 10)

4

a_{3} - a_{2}

- 2 - (- 6)

4

a_{4} - a_{3}

2 - (- 2)

4

सभी अंतर बराबर हैं, अतः यह AP है और $d = 4$ ।

a_{5}

2 + 4 = 6

a_{6}

6 + 4 = 10

a_{7}

10 + 4 = 14

(v)

दी गई सूची: $3, 3 + 2, 3 + 22, 3 + 32, \dots$

a_{2} - a_{1}

3 + 2 - 3

2

a_{3} - a_{2}

3 + 22 - (3 + 2)

2

a_{4} - a_{3}

3 + 32 - (3 + 22)

2

सभी अंतर बराबर हैं, अतः यह AP है और $d = 2$ ।

a_{5}

3 + 42

a_{6}

3 + 52

a_{7}

3 + 62

(vi)

दी गई सूची: $0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, \dots$

a_{2} - a_{1}

0.22 - 0.2

0.02

a_{3} - a_{2}

0.222 - 0.22

0.002

अंतर बराबर नहीं हैं, अतः यह AP नहीं है।

(vii)

दी गई सूची: $0, - 4, - 8, - 12, \dots$

a_{2} - a_{1}

- 4 - 0

- 4

a_{3} - a_{2}

- 8 - (- 4)

- 4

a_{4} - a_{3}

- 12 - (- 8)

- 4

सभी अंतर बराबर हैं, अतः यह AP है और $d = - 4$ ।

a_{5}

- 12 - 4 = - 16

a_{6}

- 16 - 4 = - 20

a_{7}

- 20 - 4 = - 24

(viii)

दी गई सूची: $- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \dots$

a_{2} - a_{1}

- \frac{1}{2} - (- \frac{1}{2})

0

a_{3} - a_{2}

0

0

a_{4} - a_{3}

0

0

सभी अंतर बराबर हैं, अतः यह AP है और $d = 0$ ।

a_{5}

- \frac{1}{2}

a_{6}

- \frac{1}{2}

a_{7}

- \frac{1}{2}

(ix)

दी गई सूची: $1, 3, 9, 27, \dots$

a_{2} - a_{1}

3 - 1

2

a_{3} - a_{2}

9 - 3

6

अंतर बराबर नहीं हैं, अतः यह AP नहीं है।

(x)

दी गई सूची: $a, 2 a, 3 a, 4 a, \dots$

a_{2} - a_{1}

2 a - a

a

a_{3} - a_{2}

3 a - 2 a

a

a_{4} - a_{3}

4 a - 3 a

a

सभी अंतर बराबर हैं, अतः यह AP है और $d = a$ ।

a_{5}

4 a + a = 5 a

a_{6}

5 a + a = 6 a

a_{7}

6 a + a = 7 a

(xi)

(यहाँ a ≠ 0, 1 मानकर) दोनों अंतर सामान्यतः बराबर नहीं होते:

दी गई सूची: $a, a^{2}, a^{3}, a^{4}, \dots$

a_{2} - a_{1}

a^{2} - a

a (a - 1)

a_{3} - a_{2}

a^{3} - a^{2}

a^{2} (a - 1)

अंतर बराबर नहीं हैं, अतः यह AP नहीं है।

(xii)

सरल करने पर $8 = 22$ , $18 = 32$ , $32 = 42$

दी गई सूची: $2, 8, 18, 32, \dots$

a_{2} - a_{1}

22 - 2

2

a_{3} - a_{2}

32 - 22

2

a_{4} - a_{3}

42 - 32

2

सभी अंतर बराबर हैं, अतः यह AP है और $d = 2$ ।

a_{5}

52 = 50

a_{6}

62 = 72

a_{7}

72 = 98

(xiii)

दी गई सूची: $3, 6, 9, 12, \dots$

a_{2} - a_{1}

6 - 3

3 (2 - 1)

a_{3} - a_{2}

3 - 6

3 (3 - 2)

अंतर बराबर नहीं हैं, अतः यह AP नहीं है।

(xiv)

सूची = 1, 9, 25, 49, …

दी गई सूची: $1^{2}, 3^{2}, 5^{2}, 7^{2}, \dots$

a_{2} - a_{1}

9 - 1

8

a_{3} - a_{2}

25 - 9

16

अंतर बराबर नहीं हैं, अतः यह AP नहीं है।

(xv)

सूची = 1, 25, 49, 73, …

दी गई सूची: $1^{2}, 5^{2}, 7^{2}, 73, \dots$

a_{2} - a_{1}

25 - 1

24

a_{3} - a_{2}

49 - 25

24

a_{4} - a_{3}

73 - 49

24

सभी अंतर बराबर हैं, अतः यह AP है और $d = 24$ ।

a_{5}

73 + 24 = 97

a_{6}

97 + 24 = 121

a_{7}

121 + 24 = 145

उत्तर:

(i) AP नहीं है

(ii) AP है;

d = \frac{1}{2}

, अगले पद

4, \frac{9}{2}, 5

(iii) AP है;

d = - 2

, अगले पद

- 9.2, - 11.2, - 13.2

(iv) AP है;

d = 4

, अगले पद

6, 10, 14

(v) AP है;

d = 2

, अगले पद

3 + 42, 3 + 52, 3 + 62

(vi) AP नहीं है

(vii) AP है;

d = - 4

, अगले पद

- 16, - 20, - 24

(viii) AP है;

d = 0

, अगले पद

- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}

(ix) AP नहीं है (x) AP है;

d = a

, अगले पद

5 a, 6 a, 7 a

(xi) AP नहीं है (xii) AP है;

d = 2

, अगले पद

50, 72, 98

(xiii) AP नहीं है (xiv) AP नहीं है (xv) AP है;

d = 24

, अगले पद

97, 121, 145

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।