प्रश्नावली 4.2 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 4: द्विघात समीकरण · 6 प्रश्न (गुणनखंड विधि)

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6

प्रश्न 1

गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:(i) $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ (ii) $2 x^{2} + x - 6 = 0$ (iii) $2 x^{2} + 7 x + 52 = 0$ (iv) $2 x^{2} - x + \frac{1}{8} = 0$ (v) $100 x^{2} - 20 x + 1 = 0$

सूत्र (गुणनखंड विधि (मध्य पद विभाजन)):

(1)

a x^{2} + b x + c

में ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करें जिनका गुणनफल

a \times c

और योग

b

हो।

(2)मध्य पद को इन दो संख्याओं में बाँटकर समूह बनाएँ और गुणनखंड करें।

(3)प्रत्येक गुणनखंड को शून्य रखकर मूल ज्ञात करें।

(i)

x^{2} - 3 x - 10 = 0

यहाँ $a \times c = 1 \times (- 10) = - 10$ ; गुणनफल −10 और योग −3 वाली संख्याएँ: −5 और 2

x^{2} - 3 x - 10

x^{2} - 5 x + 2 x - 10

x (x - 5) + 2 (x - 5)

(x - 5) (x + 2)

$(x - 5) (x + 2) = 0$ से

x - 5

0

x

5

x + 2

0

x

- 2

अतः मूल 5 और −2 हैं।

(ii)

2 x^{2} + x - 6 = 0

यहाँ $a \times c = 2 \times (- 6) = - 12$ ; गुणनफल −12 और योग 1 वाली संख्याएँ: 4 और −3

2 x^{2} + x - 6

2 x^{2} + 4 x - 3 x - 6

2 x (x + 2) - 3 (x + 2)

(x + 2) (2 x - 3)

$(x + 2) (2 x - 3) = 0$ से

x + 2

0

x

- 2

2 x - 3

0

2 x

3

x

\frac{3}{2}

अतः मूल −2 और $\frac{3}{2}$ हैं।

(iii)

2 x^{2} + 7 x + 52 = 0

यहाँ $a \times c = 2 \times 52 = 10$ ; गुणनफल 10 और योग 7 वाली संख्याएँ: 5 और 2

माना $p (x) = 2 x^{2} + 7 x + 52$

p (x)

2 x^{2} + 5 x + 2 x + 52

x (2 x + 5) + 2 (2 x + 5)

(2 x + 5) (x + 2)

(ध्यान दें: $2 x = 2 \cdot 2 x$ और $52 = 2 \cdot 5$ )

$(2 x + 5) (x + 2) = 0$ से

2 x + 5

0

2 x

- 5

x

- \frac{5}{2}

- \frac{5 2}{2}

x + 2

0

x

- 2

अतः मूल $- \frac{5}{2}$ और $- 2$ हैं।

(iv)

2 x^{2} - x + \frac{1}{8} = 0

भिन्न हटाने के लिए सभी पदों को 8 से गुणा करने पर

8 \times 2 x^{2} - 8 \times x + 8 \times \frac{1}{8}

0

16 x^{2} - 8 x + 1

0

यहाँ $a \times c = 16 \times 1 = 16$ ; गुणनफल 16 और योग −8 वाली संख्याएँ: −4 और −4

16 x^{2} - 8 x + 1

16 x^{2} - 4 x - 4 x + 1

4 x (4 x - 1) - 1 (4 x - 1)

(4 x - 1) (4 x - 1)

$(4 x - 1) (4 x - 1) = 0$ से

4 x - 1

0

4 x

1

x

\frac{1}{4}

अतः दोनों मूल $\frac{1}{4}$ और $\frac{1}{4}$ (बराबर) हैं।

(v)

100 x^{2} - 20 x + 1 = 0

यहाँ $a \times c = 100 \times 1 = 100$ ; गुणनफल 100 और योग −20 वाली संख्याएँ: −10 और −10

माना $p (x) = 100 x^{2} - 20 x + 1$

p (x)

100 x^{2} - 10 x - 10 x + 1

10 x (10 x - 1) - 1 (10 x - 1)

(10 x - 1) (10 x - 1)

$(10 x - 1) (10 x - 1) = 0$ से

10 x - 1

0

10 x

1

x

\frac{1}{10}

अतः दोनों मूल $\frac{1}{10}$ और $\frac{1}{10}$ हैं।

उत्तर:

(i) 5, −2

(ii) −2,

\frac{3}{2}

(iii)

- \frac{5}{2}

- 2

(iv)

\frac{1}{4}

\frac{1}{4}

(v)

\frac{1}{10}

\frac{1}{10}

प्रश्न 2

उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए:(i) जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने-कितने कंचे थे।(ii) एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य (₹ में) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत ₹750 थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।

(i)

ज्ञात है

कुल कंचे 45; दोनों ने 5-5 कंचे खोए; अब कंचों का गुणनफल 124

ज्ञात करना है

प्रारंभ में दोनों के कंचे

माना जॉन के पास $x$ कंचे थे, तो जीवंती के पास $45 - x$ कंचे थे।

5-5 कंचे खोने के बाद:

जॉन के कंचे=

x - 5

जीवंती के कंचे=

45 - x - 5

40 - x

(x - 5) (40 - x)

124

40 x - x^{2} - 200 + 5 x

124

- x^{2} + 45 x - 200 - 124

0

- x^{2} + 45 x - 324

0

x^{2} - 45 x + 324

0

गुणनफल 324 और योग −45 वाली संख्याएँ: −36 और −9

x^{2} - 45 x + 324

x^{2} - 36 x - 9 x + 324

x (x - 36) - 9 (x - 36)

(x - 36) (x - 9)

x - 36

0

x

36

x - 9

0

x

9

यदि $x = 36$ तो जीवंती के कंचे $45 - 36 = 9$ ; यदि $x = 9$ तो जीवंती के कंचे $45 - 9 = 36$ ।

जाँच:

(36 - 5) (9 - 5)

31 \times 4

124

✔

अतः प्रारंभ में एक के पास 36 और दूसरे के पास 9 कंचे थे।

(ii)

ज्ञात है

प्रत्येक खिलौने का लागत मूल्य = 55 − उस दिन बने खिलौनों की संख्या; कुल लागत ₹750

ज्ञात करना है

उस दिन बने खिलौनों की संख्या

माना उस दिन $x$ खिलौने बने।

एक खिलौने का लागत मूल्य (₹)=

55 - x

सूत्र (कुल लागत): कुल लागत = खिलौनों की संख्या × एक खिलौने का लागत मूल्य

x (55 - x)

750

55 x - x^{2}

750

- x^{2} + 55 x - 750

0

x^{2} - 55 x + 750

0

गुणनफल 750 और योग −55 वाली संख्याएँ: −30 और −25

x^{2} - 55 x + 750

x^{2} - 30 x - 25 x + 750

x (x - 30) - 25 (x - 30)

(x - 30) (x - 25)

x - 30

0

x

30

x - 25

0

x

25

जाँच:

25 \times (55 - 25)

25 \times 30

750

30 \times (55 - 30)

30 \times 25

750

✔

अतः उस दिन 25 या 30 खिलौने बने।

उत्तर:

(i) जॉन के 36 और जीवंती के 9 कंचे (या जॉन के 9 और जीवंती के 36)

(ii) 25 या 30 खिलौने

प्रश्न 3

ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।

ज्ञात है

दो संख्याओं का योग 27, गुणनफल 182

ज्ञात करना है

दोनों संख्याएँ

माना पहली संख्या $x$ है, तो दूसरी संख्या $27 - x$ होगी।

x (27 - x)

182

27 x - x^{2}

182

- x^{2} + 27 x - 182

0

x^{2} - 27 x + 182

0

गुणनफल 182 और योग −27 वाली संख्याएँ: −14 और −13

x^{2} - 27 x + 182

x^{2} - 14 x - 13 x + 182

x (x - 14) - 13 (x - 14)

(x - 14) (x - 13)

x - 14

0

x

14

x - 13

0

x

13

यदि $x = 14$ तो दूसरी संख्या $27 - 14 = 13$ ; यदि $x = 13$ तो दूसरी संख्या 14।

जाँच:

13 + 14

27

13 \times 14

182

✔

उत्तर: दोनों संख्याएँ 13 और 14 हैं।

प्रश्न 4

ऐसे दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए, जिनके वर्गों का योग 365 हो।

ज्ञात है

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों के वर्गों का योग 365

ज्ञात करना है

दोनों पूर्णांक

माना पहला पूर्णांक $x$ है, तो अगला पूर्णांक $x + 1$ होगा।

x^{2} + (x + 1)^{2}

365

x^{2} + x^{2} + 2 x + 1

365

2 x^{2} + 2 x + 1 - 365

0

2 x^{2} + 2 x - 364

0

दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर

x^{2} + x - 182

0

गुणनफल −182 और योग 1 वाली संख्याएँ: 14 और −13

x^{2} + x - 182

x^{2} + 14 x - 13 x - 182

x (x + 14) - 13 (x + 14)

(x + 14) (x - 13)

x + 14

0

x

- 14

x - 13

0

x

13

पूर्णांक धनात्मक है, इसलिए $x = - 14$ संभव नहीं। अतः $x = 13$ और अगला पूर्णांक $13 + 1 = 14$ ।

जाँच:

1 3^{2} + 1 4^{2}

169 + 196

365

✔

उत्तर: दोनों पूर्णांक 13 और 14 हैं।

प्रश्न 5

एक समकोण त्रिभुज का शीर्षलंब इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

समकोण त्रिभुज का कर्ण 13 cm; शीर्षलंब आधार से 7 cm कम

ज्ञात करना है

दोनों भुजाएँ (आधार और शीर्षलंब)

माना आधार $x$ cm है, तो शीर्षलंब $x - 7$ cm होगा।

सूत्र (पाइथागोरस प्रमेय):

(कर्ण)^{2} = (आधार)^{2} + (शीर्षलंब)^{2}

1 3^{2}

x^{2} + (x - 7)^{2}

169

x^{2} + x^{2} - 14 x + 49

169

2 x^{2} - 14 x + 49

2 x^{2} - 14 x + 49 - 169

0

2 x^{2} - 14 x - 120

0

दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर

x^{2} - 7 x - 60

0

गुणनफल −60 और योग −7 वाली संख्याएँ: −12 और 5

x^{2} - 7 x - 60

x^{2} - 12 x + 5 x - 60

x (x - 12) + 5 (x - 12)

(x - 12) (x + 5)

x - 12

0

x

12

x + 5

0

x

- 5

भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए $x = 12$ ।

आधार=

12 cm

शीर्षलंब=

12 - 7 = 5 cm

जाँच:

1 2^{2} + 5^{2}

144 + 25

169

1 3^{2}

✔

उत्तर: आधार 12 cm और शीर्षलंब 5 cm

प्रश्न 6

एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए गए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

प्रत्येक बर्तन का लागत मूल्य = बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक; कुल लागत ₹90

ज्ञात करना है

बर्तनों की संख्या और प्रत्येक का लागत मूल्य

माना उस दिन $x$ बर्तन बने।

एक बर्तन का लागत मूल्य (₹)=

2 x + 3

x (2 x + 3)

90

2 x^{2} + 3 x

90

2 x^{2} + 3 x - 90

0

यहाँ $a \times c = 2 \times (- 90) = - 180$ ; गुणनफल −180 और योग 3 वाली संख्याएँ: 15 और −12

2 x^{2} + 3 x - 90

2 x^{2} + 15 x - 12 x - 90

x (2 x + 15) - 6 (2 x + 15)

(2 x + 15) (x - 6)

2 x + 15

0

2 x

- 15

x

- \frac{15}{2}

x - 6

0

x

6

बर्तनों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए $x = 6$ ।

एक बर्तन का लागत मूल्य=

2 \times 6 + 3

15

जाँच:

6 \times 15

90

✔

उत्तर: बर्तनों की संख्या 6 और प्रत्येक बर्तन का लागत मूल्य ₹15

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।