प्रश्नावली 4.3 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 4: द्विघात समीकरण · 5 प्रश्न (मूलों की प्रकृति)

प्रश्न 1

निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए:(i) $2 x^{2} - 3 x + 5 = 0$ (ii) $3 x^{2} - 43 x + 4 = 0$ (iii) $2 x^{2} - 6 x + 3 = 0$

सूत्र (विविक्तकर (D) और मूलों की प्रकृति):

a x^{2} + b x + c = 0

के लिए

(1)

D = b^{2} - 4 a c

(2)

D > 0

⇒ दो भिन्न वास्तविक मूल

(3)

D = 0

⇒ दो बराबर वास्तविक मूल

(4)

D < 0

⇒ कोई वास्तविक मूल नहीं

(5)मूल:

x = \frac{- b \pm D}{2 a}

(i)

2 x^{2} - 3 x + 5 = 0

तुलना करने पर $a = 2$ , $b = - 3$ , $c = 5$

D

b^{2} - 4 a c

(- 3)^{2} - 4 \times 2 \times 5

9 - 40

- 31

यहाँ $D = - 31 < 0$ , अतः समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(ii)

3 x^{2} - 43 x + 4 = 0

तुलना करने पर $a = 3$ , $b = - 43$ , $c = 4$

D

b^{2} - 4 a c

(- 43)^{2} - 4 \times 3 \times 4

16 \times 3 - 48

48 - 48

0

यहाँ $D = 0$ , अतः दो बराबर वास्तविक मूल हैं।

x

\frac{- b \pm D}{2 a}

\frac{- ( - 4 3 ) \pm 0}{2 \times 3}

\frac{4 3}{6}

\frac{2 3}{3}

\frac{2}{3}

अतः दोनों मूल $\frac{2}{3}$ और $\frac{2}{3}$ हैं।

(iii)

2 x^{2} - 6 x + 3 = 0

तुलना करने पर $a = 2$ , $b = - 6$ , $c = 3$

D

b^{2} - 4 a c

(- 6)^{2} - 4 \times 2 \times 3

36 - 24

12

यहाँ $D = 12 > 0$ , अतः दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

D

12

4 \times 3

23

x

\frac{- b \pm D}{2 a}

\frac{- ( - 6 ) \pm 2 3}{2 \times 2}

\frac{6 \pm 2 3}{4}

\frac{2 ( 3 \pm 3 )}{4}

\frac{3 \pm 3}{2}

x

\frac{3 + 3}{2}

x

\frac{3 - 3}{2}

अतः मूल $\frac{3 + 3}{2}$ और $\frac{3 - 3}{2}$ हैं।

उत्तर:

(i) कोई वास्तविक मूल नहीं

(ii) बराबर वास्तविक मूल;

\frac{2}{3}

\frac{2}{3}

(iii) भिन्न वास्तविक मूल;

\frac{3 + 3}{2}

\frac{3 - 3}{2}

प्रश्न 2

निम्न द्विघात समीकरणों में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों:(i) $2 x^{2} + k x + 3 = 0$ (ii) $k x (x - 2) + 6 = 0$

सूत्र (विविक्तकर (D) और मूलों की प्रकृति):

a x^{2} + b x + c = 0

के लिए

(1)

D = b^{2} - 4 a c

(2)

D > 0

⇒ दो भिन्न वास्तविक मूल

(3)

D = 0

⇒ दो बराबर वास्तविक मूल

(4)

D < 0

⇒ कोई वास्तविक मूल नहीं

(5)मूल:

x = \frac{- b \pm D}{2 a}

(i)

2 x^{2} + k x + 3 = 0

तुलना करने पर $a = 2$ , $b = k$ , $c = 3$

बराबर मूलों के लिए $D = 0$

b^{2} - 4 a c

0

k^{2} - 4 \times 2 \times 3

0

k^{2} - 24

0

k^{2}

24

k

\pm 24

k

\pm 26

अतः $k = 26$ या $k = - 26$ ।

(ii)

k x (x - 2) + 6 = 0

पहले मानक रूप में लिखने पर

k x (x - 2) + 6

0

k x^{2} - 2 k x + 6

0

तुलना करने पर $a = k$ , $b = - 2 k$ , $c = 6$

बराबर मूलों के लिए $D = 0$

b^{2} - 4 a c

0

(- 2 k)^{2} - 4 \times k \times 6

0

4 k^{2} - 24 k

0

4 k (k - 6)

0

4 k

0

k

0

k - 6

0

k

6

$k = 0$ रखने पर समीकरण $6 = 0$ हो जाता है, जो द्विघात समीकरण नहीं है ( $a \neq = 0$ होना चाहिए)।

अतः $k = 6$ ।

उत्तर:

(i)

k = \pm 26

(ii)

k = 6

प्रश्न 3

क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m² हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

आयताकार बाग़ की लंबाई = चौड़ाई की दुगुनी; क्षेत्रफल

800 m^{2}

ज्ञात करना है

क्या ऐसा बाग़ संभव है? यदि हाँ, तो लंबाई और चौड़ाई

माना चौड़ाई $x$ मीटर है, तो लंबाई $2 x$ मीटर होगी।

2 x \times x

800

2 x^{2}

800

2 x^{2} - 800

0

x^{2} - 400

0

तुलना करने पर $a = 1$ , $b = 0$ , $c = - 400$

D

b^{2} - 4 a c

0^{2} - 4 \times 1 \times (- 400)

1600

$D = 1600 > 0$ , इसलिए वास्तविक मूल हैं, अर्थात् ऐसा बाग़ संभव है।

x

\frac{- b \pm D}{2 a}

\frac{0 \pm 1600}{2 \times 1}

\frac{\pm 40}{2}

\pm 20

चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए $x = 20$ ।

चौड़ाई=

20 m

लंबाई=

2 \times 20 = 40 m

जाँच:

40 \times 20

800

✔

उत्तर: हाँ, संभव है। लंबाई 40 m और चौड़ाई 20 m

प्रश्न 4

क्या निम्न स्थिति संभव है? यदि है, तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।

ज्ञात है

दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष; 4 वर्ष पहले आयु का गुणनफल 48

ज्ञात करना है

क्या यह स्थिति संभव है? यदि हाँ, तो वर्तमान आयु

माना एक मित्र की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है, तो दूसरे की $20 - x$ वर्ष।

4 वर्ष पहले:

पहले मित्र की आयु=

x - 4

दूसरे मित्र की आयु=

20 - x - 4

16 - x

(x - 4) (16 - x)

48

16 x - x^{2} - 64 + 4 x

48

- x^{2} + 20 x - 64 - 48

0

- x^{2} + 20 x - 112

0

x^{2} - 20 x + 112

0

तुलना करने पर $a = 1$ , $b = - 20$ , $c = 112$

D

b^{2} - 4 a c

(- 20)^{2} - 4 \times 1 \times 112

400 - 448

- 48

$D = - 48 < 0$ , इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

उत्तर: नहीं, यह स्थिति संभव नहीं है।

प्रश्न 5

क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m² के एक पार्क को बनाना संभव है? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

आयताकार पार्क का परिमाप 80 m, क्षेत्रफल

400 m^{2}

ज्ञात करना है

क्या ऐसा पार्क संभव है? यदि हाँ, तो लंबाई और चौड़ाई

सूत्र (आयत):

(1)परिमाप = 2(लंबाई + चौड़ाई)

(2)क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

2(लंबाई + चौड़ाई)=

80

लंबाई + चौड़ाई=

40

माना लंबाई $x$ मीटर है, तो चौड़ाई $40 - x$ मीटर होगी।

x (40 - x)

400

40 x - x^{2}

400

- x^{2} + 40 x - 400

0

x^{2} - 40 x + 400

0

तुलना करने पर $a = 1$ , $b = - 40$ , $c = 400$

D

b^{2} - 4 a c

(- 40)^{2} - 4 \times 1 \times 400

1600 - 1600

0

$D = 0$ , इसलिए दो बराबर वास्तविक मूल हैं, अर्थात् ऐसा पार्क संभव है।

x

\frac{- b}{2 a}

\frac{- ( - 40 )}{2 \times 1}

20

लंबाई=

20 m

चौड़ाई=

40 - 20 = 20 m

जाँच:

2 (20 + 20)

80

20 \times 20

400

✔

उत्तर: हाँ, संभव है। लंबाई 20 m और चौड़ाई 20 m (पार्क वर्गाकार होगा)

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।