प्रश्नावली 4.1 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 4: द्विघात समीकरण · 2 प्रश्न

प्रश्न 1

जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं:(i) $(x + 1)^{2} = 2 (x - 3)$ (ii) $x^{2} - 2 x = (- 2) (3 - x)$ (iii) $(x - 2) (x + 1) = (x - 1) (x + 3)$ (iv) $(x - 3) (2 x + 1) = x (x + 5)$ (v) $(2 x - 1) (x - 3) = (x + 5) (x - 1)$ (vi) $x^{2} + 3 x + 1 = (x - 2)^{2}$ (vii) $(x + 2)^{3} = 2 x (x^{2} - 1)$ (viii) $x^{3} - 4 x^{2} - x + 1 = (x - 2)^{3}$

सूत्र (द्विघात समीकरण का मानक रूप):

a x^{2} + b x + c = 0

, जहाँ

a, b, c

वास्तविक संख्याएँ हैं और

a \neq = 0

।

सूत्र (सर्वसमिकाएँ):

(1)

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(2)

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(3)

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(4)

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

प्रत्येक समीकरण को सरल करके देखेंगे कि क्या वह $a x^{2} + b x + c = 0$ (जहाँ $a \neq = 0$ ) के रूप में आता है।

(i)

बायाँ पक्ष:

(x + 1)^{2}

x^{2} + 2 x + 1

दायाँ पक्ष:

2 (x - 3)

2 x - 6

दोनों पक्ष बराबर रखकर सभी पदों को बाईं ओर ले जाने पर

x^{2} + 2 x + 1

2 x - 6

x^{2} + 2 x + 1 - 2 x + 6

0

x^{2} + 7

0

यह $a x^{2} + b x + c = 0$ के रूप में है, जहाँ $a = 1 \neq = 0$ , $b = 0$ , $c = 7$ । अतः यह द्विघात समीकरण है।

(ii)

बायाँ पक्ष:

x^{2} - 2 x

x^{2} - 2 x

दायाँ पक्ष:

(- 2) (3 - x)

- 6 + 2 x

दोनों पक्ष बराबर रखकर सभी पदों को बाईं ओर ले जाने पर

x^{2} - 2 x

- 6 + 2 x

x^{2} - 2 x + 6 - 2 x

0

x^{2} - 4 x + 6

0

यहाँ $a = 1 \neq = 0$ , $b = - 4$ , $c = 6$ । अतः यह द्विघात समीकरण है।

(iii)

बायाँ पक्ष:

(x - 2) (x + 1)

x^{2} + x - 2 x - 2

x^{2} - x - 2

दायाँ पक्ष:

(x - 1) (x + 3)

x^{2} + 3 x - x - 3

x^{2} + 2 x - 3

दोनों पक्ष बराबर रखकर सभी पदों को बाईं ओर ले जाने पर

x^{2} - x - 2

x^{2} + 2 x - 3

x^{2} - x - 2 - x^{2} - 2 x + 3

0

- 3 x + 1

0

$x^{2}$ वाले पद कट गए; सबसे बड़ी घात 1 है, यह रैखिक समीकरण है। अतः यह द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv)

बायाँ पक्ष:

(x - 3) (2 x + 1)

2 x^{2} + x - 6 x - 3

2 x^{2} - 5 x - 3

दायाँ पक्ष:

x (x + 5)

x^{2} + 5 x

दोनों पक्ष बराबर रखकर सभी पदों को बाईं ओर ले जाने पर

2 x^{2} - 5 x - 3

x^{2} + 5 x

2 x^{2} - 5 x - 3 - x^{2} - 5 x

0

x^{2} - 10 x - 3

0

यहाँ $a = 1 \neq = 0$ , $b = - 10$ , $c = - 3$ । अतः यह द्विघात समीकरण है।

(v)

बायाँ पक्ष:

(2 x - 1) (x - 3)

2 x^{2} - 6 x - x + 3

2 x^{2} - 7 x + 3

दायाँ पक्ष:

(x + 5) (x - 1)

x^{2} - x + 5 x - 5

x^{2} + 4 x - 5

दोनों पक्ष बराबर रखकर सभी पदों को बाईं ओर ले जाने पर

2 x^{2} - 7 x + 3

x^{2} + 4 x - 5

2 x^{2} - 7 x + 3 - x^{2} - 4 x + 5

0

x^{2} - 11 x + 8

0

यहाँ $a = 1 \neq = 0$ , $b = - 11$ , $c = 8$ । अतः यह द्विघात समीकरण है।

(vi)

बायाँ पक्ष:

x^{2} + 3 x + 1

x^{2} + 3 x + 1

दायाँ पक्ष:

(x - 2)^{2}

x^{2} - 4 x + 4

दोनों पक्ष बराबर रखकर सभी पदों को बाईं ओर ले जाने पर

x^{2} + 3 x + 1

x^{2} - 4 x + 4

x^{2} + 3 x + 1 - x^{2} + 4 x - 4

0

7 x - 3

0

$x^{2}$ वाले पद कट गए; सबसे बड़ी घात 1 है। अतः यह द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii)

बायाँ पक्ष:

(x + 2)^{3}

x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^{2} + 2^{3}

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8

दायाँ पक्ष:

2 x (x^{2} - 1)

2 x^{3} - 2 x

दोनों पक्ष बराबर रखकर सभी पदों को बाईं ओर ले जाने पर

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8

2 x^{3} - 2 x

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 - 2 x^{3} + 2 x

0

- x^{3} + 6 x^{2} + 14 x + 8

0

सबसे बड़ी घात 3 है (त्रिघात समीकरण)। अतः यह द्विघात समीकरण नहीं है।

(viii)

बायाँ पक्ष:

x^{3} - 4 x^{2} - x + 1

x^{3} - 4 x^{2} - x + 1

दायाँ पक्ष:

(x - 2)^{3}

x^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^{2} - 2^{3}

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

दोनों पक्ष बराबर रखने पर $x^{3}$ दोनों ओर है; उसे दोनों पक्षों से घटाकर सभी पदों को बाईं ओर ले जाने पर

- 4 x^{2} - x + 1

- 6 x^{2} + 12 x - 8

- 4 x^{2} + 6 x^{2}

12 x + x - 8 - 1

2 x^{2} - 13 x + 9

0

$x^{3}$ वाले पद दोनों ओर से कट गए; $a = 2 \neq = 0$ , $b = - 13$ , $c = 9$ । अतः यह द्विघात समीकरण है।

उत्तर:

(i) हाँ, द्विघात है

(ii) हाँ, द्विघात है

(iii) नहीं

(iv) हाँ, द्विघात है

(v) हाँ, द्विघात है

(vi) नहीं

(vii) नहीं

(viii) हाँ, द्विघात है

प्रश्न 2

निम्न स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए:(i) एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।(iii) रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से 3 वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगा। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।

(i)

ज्ञात है

आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल

528 m^{2}

; लंबाई = चौड़ाई के दुगुने से एक अधिक

ज्ञात करना है

द्विघात समीकरण

माना भूखंड की चौड़ाई $x$ मीटर है।

लंबाई=

2 x + 1

सूत्र (आयत का क्षेत्रफल): क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

(2 x + 1) \times x

528

2 x^{2} + x

528

2 x^{2} + x - 528

0

अतः अभीष्ट समीकरण $2 x^{2} + x - 528 = 0$ है, जहाँ $x$ भूखंड की चौड़ाई (मीटर में) है।

(ii)

ज्ञात है

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306

ज्ञात करना है

द्विघात समीकरण

माना पहला पूर्णांक $x$ है, तो अगला (क्रमागत) पूर्णांक $x + 1$ होगा।

x (x + 1)

306

x^{2} + x

306

x^{2} + x - 306

0

अतः अभीष्ट समीकरण $x^{2} + x - 306 = 0$ है, जहाँ $x$ छोटा पूर्णांक है।

(iii)

ज्ञात है

माँ की आयु रोहन से 26 वर्ष अधिक; 3 वर्ष बाद दोनों की आयु का गुणनफल 360

ज्ञात करना है

द्विघात समीकरण

माना रोहन की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।

माँ की वर्तमान आयु=

x + 26

3 वर्ष बाद:

रोहन की आयु=

x + 3

माँ की आयु=

x + 26 + 3

x + 29

(x + 3) (x + 29)

360

x^{2} + 29 x + 3 x + 87

360

x^{2} + 32 x + 87 - 360

0

x^{2} + 32 x - 273

0

अतः अभीष्ट समीकरण $x^{2} + 32 x - 273 = 0$ है, जहाँ $x$ रोहन की वर्तमान आयु (वर्षों में) है।

(iv)

ज्ञात है

दूरी 480 km; चाल 8 km/h कम होने पर 3 घंटे अधिक लगते

ज्ञात करना है

द्विघात समीकरण

माना रेलगाड़ी की चाल $x$ km/h है।

सूत्र (समय): समय = दूरी ÷ चाल

सामान्य समय=

\frac{480}{x}

कम चाल

(x - 8)

पर समय=

\frac{480}{x - 8}

प्रश्नानुसार, कम चाल पर 3 घंटे अधिक लगते हैं:

\frac{480}{x - 8} - \frac{480}{x}

3

भिन्न हटाने के लिए सभी पदों को $x (x - 8)$ से गुणा करने पर

480 x - 480 (x - 8)

3 x (x - 8)

480 x - 480 x + 3840

3 x^{2} - 24 x

3840

3 x^{2} - 24 x

3 x^{2} - 24 x - 3840

0

दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर

x^{2} - 8 x - 1280

0

अतः अभीष्ट समीकरण $x^{2} - 8 x - 1280 = 0$ है, जहाँ $x$ रेलगाड़ी की चाल (km/h) है।

उत्तर:

(i)

2 x^{2} + x - 528 = 0

(ii)

x^{2} + x - 306 = 0

(iii)

x^{2} + 32 x - 273 = 0

(iv)

x^{2} - 8 x - 1280 = 0

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।