प्रश्नावली 3.2 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म · 3 प्रश्न (प्रतिस्थापन विधि)

प्रश्न 1

निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:

(i)

x + y = 14

x - y = 4

(ii)

s - t = 3

\frac{s}{3} + \frac{t}{2} = 6

(iii)

3 x - y = 3

9 x - 3 y = 9

(iv)

0.2 x + 0.3 y = 1.3

0.4 x + 0.5 y = 2.3

(v)

2 x + 3 y = 0

3 x - 8 y = 0

(vi)

\frac{3 x}{2} - \frac{5 y}{3} = - 2

\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{13}{6}

सूत्र (प्रतिस्थापन विधि): एक समीकरण से एक चर का मान दूसरे चर के पदों में ज्ञात करें, उसे दूसरे समीकरण में रखें, फिर दूसरा चर ज्ञात करें।

(i)

ज्ञात है

x + y = 14

और

x - y = 4

ज्ञात करना है

x

और

y

x + y

14

…(1)

x - y

4

…(2)

समीकरण (2) से,

x

y + 4

…(3)

समीकरण (1) में $x = y + 4$ रखने पर,

(y + 4) + y

14

2 y + 4

14

2 y

14 - 4

2 y

10

y

\frac{10}{2}

y

5

समीकरण (3) में $y = 5$ रखने पर,

x

5 + 4

9

जाँच:

x + y

9 + 5

14

x - y

9 - 5

4

अतः $x = 9, y = 5$

(ii)

ज्ञात है

s - t = 3

और

\frac{s}{3} + \frac{t}{2} = 6

ज्ञात करना है

s

और

t

s - t

3

…(1)

\frac{s}{3} + \frac{t}{2}

6

…(2)

समीकरण (2) के सभी पदों को 6 से गुणा करने पर,

2 s + 3 t

36

…(3)

समीकरण (1) से,

s

t + 3

…(4)

समीकरण (3) में $s = t + 3$ रखने पर,

2 (t + 3) + 3 t

36

2 t + 6 + 3 t

36

5 t + 6

36

5 t

36 - 6

5 t

30

t

\frac{30}{5}

t

6

समीकरण (4) में $t = 6$ रखने पर,

s

6 + 3

9

जाँच:

s - t

9 - 6

3

\frac{s}{3} + \frac{t}{2}

\frac{9}{3} + \frac{6}{2}

3 + 3

6

अतः $s = 9, t = 6$

(iii)

ज्ञात है

3 x - y = 3

और

9 x - 3 y = 9

ज्ञात करना है

x

और

y

3 x - y

3

…(1)

9 x - 3 y

9

…(2)

समीकरण (1) से,

y

3 x - 3

…(3)

समीकरण (2) में $y = 3 x - 3$ रखने पर,

9 x - 3 (3 x - 3)

9

9 x - 9 x + 9

9

9

9

यह कथन $x$ के सभी मानों के लिए सत्य है; इससे $x$ का कोई निश्चित मान प्राप्त नहीं होता।

अतः युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं: $y = 3 x - 3$ , जहाँ $x$ कोई भी वास्तविक संख्या है (जैसे $x = 1, y = 0$ ; $x = 2, y = 3$ )।

(iv)

ज्ञात है

0.2 x + 0.3 y = 1.3

और

0.4 x + 0.5 y = 2.3

ज्ञात करना है

x

और

y

0.2 x + 0.3 y

1.3

…(1)

0.4 x + 0.5 y

2.3

…(2)

दशमलव हटाने के लिए दोनों समीकरणों के सभी पदों को 10 से गुणा करने पर,

2 x + 3 y

13

…(3)

4 x + 5 y

23

…(4)

समीकरण (3) से,

x

\frac{13 - 3 y}{2}

…(5)

समीकरण (4) में $x = \frac{13 - 3 y}{2}$ रखने पर,

4 \times \frac{13 - 3 y}{2} + 5 y

23

2 (13 - 3 y) + 5 y

23

26 - 6 y + 5 y

23

26 - y

23

- y

23 - 26

- y

- 3

y

3

समीकरण (5) में $y = 3$ रखने पर,

x

\frac{13 - 3 \times 3}{2}

\frac{13 - 9}{2}

\frac{4}{2}

2

जाँच:

0.2 x + 0.3 y

0.2 \times 2 + 0.3 \times 3

0.4 + 0.9

1.3

0.4 x + 0.5 y

0.4 \times 2 + 0.5 \times 3

0.8 + 1.5

2.3

अतः $x = 2, y = 3$

(v)

ज्ञात है

2 x + 3 y = 0

और

3 x - 8 y = 0

ज्ञात करना है

x

और

y

2 x + 3 y

0

…(1)

3 x - 8 y

0

…(2)

समीकरण (1) से,

2 x

- 3 y

x

- \frac{3 y}{2}

…(3)

समीकरण (2) में $x$ का मान रखने पर,

3 \times (- \frac{3 y}{2}) - 8 y

0

- \frac{3 y}{2} - 22 y

0

सभी पदों को $2$ से गुणा करने पर,

- 3 y - 4 y

0

- 7 y

0

y

0

समीकरण (3) में $y = 0$ रखने पर,

x

- \frac{3 \times 0}{2}

0

(यहाँ $8 = 4 \times 2 = 22$ तथा $22 \times 2 = 4$ )

अतः $x = 0, y = 0$

(vi)

ज्ञात है

\frac{3 x}{2} - \frac{5 y}{3} = - 2

और

\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{13}{6}

ज्ञात करना है

x

और

y

\frac{3 x}{2} - \frac{5 y}{3}

- 2

…(1)

\frac{x}{3} + \frac{y}{2}

\frac{13}{6}

…(2)

दोनों समीकरणों के सभी पदों को 6 से गुणा करने पर,

9 x - 10 y

- 12

…(3)

2 x + 3 y

13

…(4)

समीकरण (4) से,

x

\frac{13 - 3 y}{2}

…(5)

समीकरण (3) में $x$ का मान रखने पर,

9 \times \frac{13 - 3 y}{2} - 10 y

- 12

सभी पदों को 2 से गुणा करने पर,

9 (13 - 3 y) - 20 y

- 24

117 - 27 y - 20 y

- 24

117 - 47 y

- 24

- 47 y

- 24 - 117

- 47 y

- 141

y

\frac{- 141}{- 47}

y

3

समीकरण (5) में $y = 3$ रखने पर,

x

\frac{13 - 3 \times 3}{2}

\frac{13 - 9}{2}

\frac{4}{2}

2

जाँच:

\frac{3 x}{2} - \frac{5 y}{3}

\frac{3 \times 2}{2} - \frac{5 \times 3}{3}

3 - 5

- 2

\frac{x}{3} + \frac{y}{2}

\frac{2}{3} + \frac{3}{2}

\frac{4 + 9}{6}

\frac{13}{6}

अतः $x = 2, y = 3$

उत्तर: (i)

x = 9, y = 5

(ii)

s = 9, t = 6

(iii) अपरिमित रूप से अनेक हल (

y = 3 x - 3

) (iv)

x = 2, y = 3

(v)

x = 0, y = 0

(vi)

x = 2, y = 3

प्रश्न 2

$2 x + 3 y = 11$ और $2 x - 4 y = - 24$ को हल कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $y = m x + 3$ हो।

ज्ञात है

2 x + 3 y = 11

2 x - 4 y = - 24

तथा

y = m x + 3

ज्ञात करना है

x, y

और

m

का मान

2 x + 3 y

11

…(1)

2 x - 4 y

- 24

…(2)

समीकरण (1) से,

x

\frac{11 - 3 y}{2}

…(3)

समीकरण (2) में $x$ का मान रखने पर,

2 \times \frac{11 - 3 y}{2} - 4 y

- 24

11 - 3 y - 4 y

- 24

11 - 7 y

- 24

- 7 y

- 24 - 11

- 7 y

- 35

y

\frac{- 35}{- 7}

y

5

समीकरण (3) में $y = 5$ रखने पर,

x

\frac{11 - 3 \times 5}{2}

\frac{11 - 15}{2}

\frac{- 4}{2}

- 2

अब $y = m x + 3$ में $x = - 2, y = 5$ रखने पर,

5

m (- 2) + 3

5

- 2 m + 3

2 m

3 - 5

2 m

- 2

m

\frac{- 2}{2}

m

- 1

जाँच:

2 x + 3 y

2 (- 2) + 3 (5)

- 4 + 15

11

2 x - 4 y

2 (- 2) - 4 (5)

- 4 - 20

- 24

उत्तर:

x = - 2, y = 5

तथा

m = - 1

प्रश्न 3

निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:
(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹ 3800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹ 1750 में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा ₹ 105 है तथा 15 km के लिए भाड़ा ₹ 155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह $\frac{9}{11}$ हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह $\frac{5}{6}$ हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या हैं?

(i)

ज्ञात है

दो संख्याओं का अंतर 26; एक संख्या दूसरी की तीन गुनी

ज्ञात करना है

दोनों संख्याएँ

माना बड़ी संख्या $x$ और छोटी संख्या $y$ है।

x - y

26

…(1)

x

3 y

…(2)

समीकरण (1) में $x = 3 y$ रखने पर,

3 y - y

26

2 y

26

y

\frac{26}{2}

y

13

समीकरण (2) में $y = 13$ रखने पर,

x

3 \times 13

39

जाँच:

x - y

39 - 13

26

अतः संख्याएँ 39 और 13 हैं।

(ii)

ज्ञात है

दो संपूरक कोण; बड़ा कोण, छोटे कोण से 18° अधिक

ज्ञात करना है

दोनों कोण

सूत्र (संपूरक कोण): दो कोणों का योग 180° हो, तो वे संपूरक कोण कहलाते हैं।

माना बड़ा कोण $x$ ° और छोटा कोण $y$ ° है।

x + y

180

…(1)

x - y

18

…(2)

समीकरण (2) से,

x

y + 18

…(3)

समीकरण (1) में $x$ का मान रखने पर,

(y + 18) + y

180

2 y + 18

180

2 y

180 - 18

2 y

162

y

\frac{162}{2}

y

81

समीकरण (3) में $y = 81$ रखने पर,

x

81 + 18

99

जाँच:

x + y

99 + 81

180

अतः कोण 99° और 81° हैं।

(iii)

ज्ञात है

7 बल्ले + 6 गेंदें = ₹ 3800; 3 बल्ले + 5 गेंदें = ₹ 1750

ज्ञात करना है

एक बल्ले और एक गेंद का मूल्य

माना एक बल्ले का मूल्य ₹ $x$ और एक गेंद का मूल्य ₹ $y$ है।

7 x + 6 y

3800

…(1)

3 x + 5 y

1750

…(2)

समीकरण (2) से,

x

\frac{1750 - 5 y}{3}

…(3)

समीकरण (1) में $x$ का मान रखने पर,

7 \times \frac{1750 - 5 y}{3} + 6 y

3800

सभी पदों को 3 से गुणा करने पर,

7 (1750 - 5 y) + 18 y

11400

12250 - 35 y + 18 y

11400

12250 - 17 y

11400

- 17 y

11400 - 12250

- 17 y

- 850

y

\frac{- 850}{- 17}

y

50

समीकरण (3) में $y = 50$ रखने पर,

x

\frac{1750 - 5 \times 50}{3}

\frac{1750 - 250}{3}

\frac{1500}{3}

500

जाँच:

7 x + 6 y

7 \times 500 + 6 \times 50

3500 + 300

3800

3 x + 5 y

3 \times 500 + 5 \times 50

1500 + 250

1750

अतः एक बल्ले का मूल्य ₹ 500 और एक गेंद का मूल्य ₹ 50 है।

(iv)

ज्ञात है

10 km का भाड़ा ₹ 105; 15 km का भाड़ा ₹ 155

ज्ञात करना है

नियत भाड़ा, प्रति km भाड़ा तथा 25 km का भाड़ा

माना नियत भाड़ा ₹ $x$ और प्रति km भाड़ा ₹ $y$ है।

x + 10 y

105

…(1)

x + 15 y

155

…(2)

समीकरण (1) से,

x

105 - 10 y

…(3)

समीकरण (2) में $x$ का मान रखने पर,

105 - 10 y + 15 y

155

105 + 5 y

155

5 y

155 - 105

5 y

50

y

\frac{50}{5}

y

10

समीकरण (3) में $y = 10$ रखने पर,

x

105 - 10 \times 10

105 - 100

5

25 km यात्रा का भाड़ा:

भाड़ा=

x + 25 y

5 + 25 \times 10

5 + 250

255

जाँच:

x + 15 y

5 + 15 \times 10

5 + 150

155

अतः नियत भाड़ा ₹ 5, प्रति km भाड़ा ₹ 10 तथा 25 km का भाड़ा ₹ 255 है।

(v)

ज्ञात है

अंश और हर में 2 जोड़ने पर भिन्न

\frac{9}{11}

; 3 जोड़ने पर

\frac{5}{6}

ज्ञात करना है

वह भिन्न

माना भिन्न $\frac{x}{y}$ है।

\frac{x + 2}{y + 2}

\frac{9}{11}

वज्र-गुणा (cross multiply) करने पर,

11 (x + 2)

9 (y + 2)

11 x + 22

9 y + 18

11 x - 9 y

- 4

…(1)

\frac{x + 3}{y + 3}

\frac{5}{6}

6 (x + 3)

5 (y + 3)

6 x + 18

5 y + 15

6 x - 5 y

- 3

…(2)

समीकरण (2) से,

x

\frac{5 y - 3}{6}

…(3)

समीकरण (1) में $x$ का मान रखने पर,

11 \times \frac{5 y - 3}{6} - 9 y

- 4

सभी पदों को 6 से गुणा करने पर,

11 (5 y - 3) - 54 y

- 24

55 y - 33 - 54 y

- 24

y - 33

- 24

y

- 24 + 33

y

9

समीकरण (3) में $y = 9$ रखने पर,

x

\frac{5 \times 9 - 3}{6}

\frac{45 - 3}{6}

\frac{42}{6}

7

जाँच:

\frac{7 + 2}{9 + 2}

\frac{9}{11}

\frac{7 + 3}{9 + 3}

\frac{10}{12}

\frac{5}{6}

अतः भिन्न $\frac{7}{9}$ है।

(vi)

ज्ञात है

5 वर्ष बाद जैकब की आयु = 3 × पुत्र की आयु; 5 वर्ष पूर्व जैकब की आयु = 7 × पुत्र की आयु

ज्ञात करना है

दोनों की वर्तमान आयु

माना जैकब की वर्तमान आयु $x$ वर्ष और पुत्र की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।

5 वर्ष बाद:

x + 5

3 (y + 5)

x + 5

3 y + 15

x - 3 y

10

…(1)

5 वर्ष पूर्व:

x - 5

7 (y - 5)

x - 5

7 y - 35

x - 7 y

- 30

…(2)

समीकरण (1) से,

x

3 y + 10

…(3)

समीकरण (2) में $x$ का मान रखने पर,

3 y + 10 - 7 y

- 30

- 4 y + 10

- 30

- 4 y

- 30 - 10

- 4 y

- 40

y

\frac{- 40}{- 4}

y

10

समीकरण (3) में $y = 10$ रखने पर,

x

3 \times 10 + 10

30 + 10

40

जाँच:

x + 5

45

3 (y + 5)

3 \times 15

45

x - 5

35

7 (y - 5)

7 \times 5

35

अतः जैकब की वर्तमान आयु 40 वर्ष और पुत्र की 10 वर्ष है।

उत्तर: (i) 39 और 13 (ii) 99° और 81° (iii) बल्ला ₹ 500, गेंद ₹ 50 (iv) नियत भाड़ा ₹ 5, प्रति km ₹ 10, 25 km का भाड़ा ₹ 255 (v)

\frac{7}{9}

(vi) जैकब 40 वर्ष, पुत्र 10 वर्ष

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।