प्रश्नावली 3.1 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म · 7 प्रश्न (ग्राफीय विधि, आलेख सहित)

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7

प्रश्न 1

निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।

(i)कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

(ii)5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹ 46 है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।

(i)

ज्ञात है

कुल विद्यार्थी 10; लड़कियों की संख्या, लड़कों की संख्या से 4 अधिक

ज्ञात करना है

लड़कों और लड़कियों की संख्या (ग्राफीय विधि से)

माना लड़कियों की संख्या $x$ और लड़कों की संख्या $y$ है।

प्रश्नानुसार,

x + y

10

…(1)

x - y

4

…(2)

ग्राफ खींचने के लिए प्रत्येक समीकरण से $y$ को $x$ के पदों में लिखकर मान ज्ञात करते हैं:

समीकरण (1) से

y = 10 - x

x = 3

रखने पर,

y

10 - 3

7

x = 5

रखने पर,

y

10 - 5

5

x = 7

रखने पर,

y

10 - 7

3

सारणी:

$x$	$3$	$5$	$7$
$y$	$7$	$5$	$3$

समीकरण (2) से

y = x - 4

x = 4

रखने पर,

y

4 - 4

0

x = 5

रखने पर,

y

5 - 4

1

x = 7

रखने पर,

y

7 - 4

3

सारणी:

$x$	$4$	$5$	$7$
$y$	$0$	$1$	$3$

दोनों रेखाएँ बिंदु P(7, 3) पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः $x = 7$ , $y = 3$ ।

जाँच:

x + y

7 + 3

10

x - y

7 - 3

4

अतः प्रतियोगिता में 7 लड़कियों और 3 लड़कों ने भाग लिया।

(ii)

ज्ञात है

5 पेंसिल + 7 कलम = ₹ 50; 7 पेंसिल + 5 कलम = ₹ 46

ज्ञात करना है

एक पेंसिल और एक कलम का मूल्य (ग्राफीय विधि से)

माना एक पेंसिल का मूल्य ₹ $x$ और एक कलम का मूल्य ₹ $y$ है।

प्रश्नानुसार,

5 x + 7 y

50

…(1)

7 x + 5 y

46

…(2)

समीकरण (1) से

y = \frac{50 - 5 x}{7}

x = - 4

रखने पर,

y

\frac{50 - 5 \times ( - 4 )}{7}

\frac{50 + 20}{7}

\frac{70}{7}

10

x = 3

रखने पर,

y

\frac{50 - 5 \times 3}{7}

\frac{50 - 15}{7}

\frac{35}{7}

5

x = 10

रखने पर,

y

\frac{50 - 5 \times 10}{7}

\frac{50 - 50}{7}

\frac{0}{7}

0

सारणी:

$x$	$- 4$	$3$	$10$
$y$	$10$	$5$	$0$

समीकरण (2) से

y = \frac{46 - 7 x}{5}

x = - 2

रखने पर,

y

\frac{46 - 7 \times ( - 2 )}{5}

\frac{46 + 14}{5}

\frac{60}{5}

12

x = 3

रखने पर,

y

\frac{46 - 7 \times 3}{5}

\frac{46 - 21}{5}

\frac{25}{5}

5

x = 8

रखने पर,

y

\frac{46 - 7 \times 8}{5}

\frac{46 - 56}{5}

\frac{- 10}{5}

- 2

सारणी:

$x$	$- 2$	$3$	$8$
$y$	$12$	$5$	$- 2$

दोनों रेखाएँ बिंदु P(3, 5) पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः $x = 3$ , $y = 5$ ।

जाँच:

5 x + 7 y

5 \times 3 + 7 \times 5

15 + 35

50

7 x + 5 y

7 \times 3 + 5 \times 5

21 + 25

46

अतः एक पेंसिल का मूल्य ₹ 3 और एक कलम का मूल्य ₹ 5 है।

उत्तर: (i) लड़कियाँ 7, लड़के 3 (ii) पेंसिल ₹ 3, कलम ₹ 5

प्रश्न 2

अनुपातों $\frac{a _{1}}{a _{2}}, \frac{b _{1}}{b _{2}}$ और $\frac{c _{1}}{c _{2}}$ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं:

(i)

5 x - 4 y + 8 = 0

7 x + 6 y - 9 = 0

(ii)

9 x + 3 y + 12 = 0

18 x + 6 y + 24 = 0

(iii)

6 x - 3 y + 10 = 0

2 x - y + 9 = 0

सूत्र (अनुपातों की तुलना): युग्म

a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0

और

a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0

के लिए:

\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}

⇒ रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (अद्वितीय हल, संगत)

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}

⇒ रेखाएँ संपाती हैं (अपरिमित रूप से अनेक हल, आश्रित/संगत)

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}

⇒ रेखाएँ समांतर हैं (कोई हल नहीं, असंगत)

(i)

ज्ञात है

5 x - 4 y + 8 = 0

और

7 x + 6 y - 9 = 0

ज्ञात करना है

रेखाएँ प्रतिच्छेदी, समांतर या संपाती

	$a$	$b$	$c$
पहला समीकरण	$a_{1} = 5$	$b_{1} = - 4$	$c_{1} = 8$
दूसरा समीकरण	$a_{2} = 7$	$b_{2} = 6$	$c_{2} = - 9$

\frac{a _{1}}{a _{2}}

\frac{5}{7}

\frac{b _{1}}{b _{2}}

\frac{- 4}{6}

- \frac{2}{3}

\frac{c _{1}}{c _{2}}

\frac{8}{- 9}

- \frac{8}{9}

यहाँ $\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ ।

अतः दी गई रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(ii)

ज्ञात है

9 x + 3 y + 12 = 0

और

18 x + 6 y + 24 = 0

ज्ञात करना है

रेखाएँ प्रतिच्छेदी, समांतर या संपाती

	$a$	$b$	$c$
पहला समीकरण	$a_{1} = 9$	$b_{1} = 3$	$c_{1} = 12$
दूसरा समीकरण	$a_{2} = 18$	$b_{2} = 6$	$c_{2} = 24$

\frac{a _{1}}{a _{2}}

\frac{9}{18}

\frac{1}{2}

\frac{b _{1}}{b _{2}}

\frac{3}{6}

\frac{1}{2}

\frac{c _{1}}{c _{2}}

\frac{12}{24}

\frac{1}{2}

यहाँ $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ ।

अतः दी गई रेखाएँ संपाती हैं।

(iii)

ज्ञात है

6 x - 3 y + 10 = 0

और

2 x - y + 9 = 0

ज्ञात करना है

रेखाएँ प्रतिच्छेदी, समांतर या संपाती

	$a$	$b$	$c$
पहला समीकरण	$a_{1} = 6$	$b_{1} = - 3$	$c_{1} = 10$
दूसरा समीकरण	$a_{2} = 2$	$b_{2} = - 1$	$c_{2} = 9$

\frac{a _{1}}{a _{2}}

\frac{6}{2}

3

\frac{b _{1}}{b _{2}}

\frac{- 3}{- 1}

3

\frac{c _{1}}{c _{2}}

\frac{10}{9}

यहाँ $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ ।

अतः दी गई रेखाएँ समांतर हैं।

उत्तर: (i) प्रतिच्छेदी, (ii) संपाती, (iii) समांतर

प्रश्न 3

अनुपातों $\frac{a _{1}}{a _{2}}, \frac{b _{1}}{b _{2}}$ और $\frac{c _{1}}{c _{2}}$ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत:

(i)

3 x + 2 y = 5

2 x - 3 y = 7

(ii)

2 x - 3 y = 8

4 x - 6 y = 9

(iii)

\frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y = 7

9 x - 10 y = 14

(iv)

5 x - 3 y = 11

- 10 x + 6 y = - 22

(v)

\frac{4}{3} x + 2 y = 8

2 x + 3 y = 12

सूत्र (अनुपातों की तुलना): युग्म

a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0

और

a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0

के लिए:

\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}

⇒ रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (अद्वितीय हल, संगत)

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}

⇒ रेखाएँ संपाती हैं (अपरिमित रूप से अनेक हल, आश्रित/संगत)

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}

⇒ रेखाएँ समांतर हैं (कोई हल नहीं, असंगत)

(i)

ज्ञात है

3 x + 2 y = 5

;

2 x - 3 y = 7

ज्ञात करना है

युग्म संगत है या असंगत

दोनों समीकरणों को $a x + b y + c = 0$ के रूप में लिखने पर:

3 x + 2 y - 5

0

2 x - 3 y - 7

0

	$a$	$b$	$c$
पहला समीकरण	$a_{1} = 3$	$b_{1} = 2$	$c_{1} = - 5$
दूसरा समीकरण	$a_{2} = 2$	$b_{2} = - 3$	$c_{2} = - 7$

\frac{a _{1}}{a _{2}}

\frac{3}{2}

\frac{b _{1}}{b _{2}}

\frac{2}{- 3}

- \frac{2}{3}

\frac{c _{1}}{c _{2}}

\frac{- 5}{- 7}

\frac{5}{7}

यहाँ $\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ ।

युग्म का अद्वितीय हल है, अतः युग्म संगत है।

(ii)

ज्ञात है

2 x - 3 y = 8

;

4 x - 6 y = 9

ज्ञात करना है

युग्म संगत है या असंगत

दोनों समीकरणों को $a x + b y + c = 0$ के रूप में लिखने पर:

2 x - 3 y - 8

0

4 x - 6 y - 9

0

	$a$	$b$	$c$
पहला समीकरण	$a_{1} = 2$	$b_{1} = - 3$	$c_{1} = - 8$
दूसरा समीकरण	$a_{2} = 4$	$b_{2} = - 6$	$c_{2} = - 9$

\frac{a _{1}}{a _{2}}

\frac{2}{4}

\frac{1}{2}

\frac{b _{1}}{b _{2}}

\frac{- 3}{- 6}

\frac{1}{2}

\frac{c _{1}}{c _{2}}

\frac{- 8}{- 9}

\frac{8}{9}

यहाँ $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ ।

युग्म का कोई हल नहीं है (रेखाएँ समांतर), अतः युग्म असंगत है।

(iii)

ज्ञात है

\frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y = 7

;

9 x - 10 y = 14

ज्ञात करना है

युग्म संगत है या असंगत

दोनों समीकरणों को $a x + b y + c = 0$ के रूप में लिखने पर:

\frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y - 7

0

9 x - 10 y - 14

0

	$a$	$b$	$c$
पहला समीकरण	$a_{1} = \frac{3}{2}$	$b_{1} = \frac{5}{3}$	$c_{1} = - 7$
दूसरा समीकरण	$a_{2} = 9$	$b_{2} = - 10$	$c_{2} = - 14$

\frac{a _{1}}{a _{2}}

\frac{\frac{3}{2}}{9}

\frac{3}{2} \times \frac{1}{9}

\frac{1}{6}

\frac{b _{1}}{b _{2}}

\frac{\frac{5}{3}}{- 10}

\frac{5}{3} \times (- \frac{1}{10})

- \frac{1}{6}

\frac{c _{1}}{c _{2}}

\frac{- 7}{- 14}

\frac{1}{2}

यहाँ $\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ ।

युग्म का अद्वितीय हल है, अतः युग्म संगत है।

(iv)

ज्ञात है

5 x - 3 y = 11

;

- 10 x + 6 y = - 22

ज्ञात करना है

युग्म संगत है या असंगत

दोनों समीकरणों को $a x + b y + c = 0$ के रूप में लिखने पर:

5 x - 3 y - 11

0

- 10 x + 6 y + 22

0

	$a$	$b$	$c$
पहला समीकरण	$a_{1} = 5$	$b_{1} = - 3$	$c_{1} = - 11$
दूसरा समीकरण	$a_{2} = - 10$	$b_{2} = 6$	$c_{2} = 22$

\frac{a _{1}}{a _{2}}

\frac{5}{- 10}

- \frac{1}{2}

\frac{b _{1}}{b _{2}}

\frac{- 3}{6}

- \frac{1}{2}

\frac{c _{1}}{c _{2}}

\frac{- 11}{22}

- \frac{1}{2}

यहाँ $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ ।

युग्म का अपरिमित रूप से अनेक हल हैं (रेखाएँ संपाती), अतः युग्म संगत (आश्रित) है।

(v)

ज्ञात है

\frac{4}{3} x + 2 y = 8

;

2 x + 3 y = 12

ज्ञात करना है

युग्म संगत है या असंगत

दोनों समीकरणों को $a x + b y + c = 0$ के रूप में लिखने पर:

\frac{4}{3} x + 2 y - 8

0

2 x + 3 y - 12

0

	$a$	$b$	$c$
पहला समीकरण	$a_{1} = \frac{4}{3}$	$b_{1} = 2$	$c_{1} = - 8$
दूसरा समीकरण	$a_{2} = 2$	$b_{2} = 3$	$c_{2} = - 12$

\frac{a _{1}}{a _{2}}

\frac{\frac{4}{3}}{2}

\frac{4}{3} \times \frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{b _{1}}{b _{2}}

\frac{2}{3}

\frac{c _{1}}{c _{2}}

\frac{- 8}{- 12}

\frac{2}{3}

यहाँ $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ ।

उत्तर: (i) संगत, (ii) असंगत, (iii) संगत, (iv) संगत (आश्रित), (v) संगत (आश्रित)

प्रश्न 4

निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।

(i)

x + y = 5

2 x + 2 y = 10

(ii)

x - y = 8

3 x - 3 y = 16

(iii)

2 x + y - 6 = 0

4 x - 2 y - 4 = 0

(iv)

2 x - 2 y - 2 = 0

4 x - 4 y - 5 = 0

सूत्र (अनुपातों की तुलना): युग्म

a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0

और

a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0

के लिए:

\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}

⇒ रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (अद्वितीय हल, संगत)

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}

⇒ रेखाएँ संपाती हैं (अपरिमित रूप से अनेक हल, आश्रित/संगत)

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}

⇒ रेखाएँ समांतर हैं (कोई हल नहीं, असंगत)

(i)

ज्ञात है

x + y = 5

2 x + 2 y = 10

ज्ञात करना है

युग्म संगत/असंगत; संगत हो तो ग्राफीय हल

x + y - 5

0

2 x + 2 y - 10

0

	$a$	$b$	$c$
पहला समीकरण	$a_{1} = 1$	$b_{1} = 1$	$c_{1} = - 5$
दूसरा समीकरण	$a_{2} = 2$	$b_{2} = 2$	$c_{2} = - 10$

\frac{a _{1}}{a _{2}}

\frac{1}{2}

\frac{b _{1}}{b _{2}}

\frac{1}{2}

\frac{c _{1}}{c _{2}}

\frac{- 5}{- 10}

\frac{1}{2}

यहाँ $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ , अतः रेखाएँ संपाती हैं और युग्म संगत (आश्रित) है।

x + y = 5

से

y = 5 - x

x = 0

रखने पर,

y

5 - 0

5

x = 2

रखने पर,

y

5 - 2

3

x = 5

रखने पर,

y

5 - 5

0

सारणी:

$x$	$0$	$2$	$5$
$y$	$5$	$3$	$0$

2 x + 2 y = 10

से

y = \frac{10 - 2 x}{2}

x = 1

रखने पर,

y

\frac{10 - 2 \times 1}{2}

\frac{10 - 2}{2}

\frac{8}{2}

4

x = 3

रखने पर,

y

\frac{10 - 2 \times 3}{2}

\frac{10 - 6}{2}

\frac{4}{2}

2

x = 4

रखने पर,

y

\frac{10 - 2 \times 4}{2}

\frac{10 - 8}{2}

\frac{2}{2}

1

सारणी:

$x$	$1$	$3$	$4$
$y$	$4$	$2$	$1$

दोनों रेखाएँ एक-दूसरे पर संपाती हैं (एक ही रेखा)।

अतः युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं; रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु $(x, 5 - x)$ एक हल है।

(ii)

ज्ञात है

x - y = 8

3 x - 3 y = 16

ज्ञात करना है

युग्म संगत/असंगत

x - y - 8

0

3 x - 3 y - 16

0

	$a$	$b$	$c$
पहला समीकरण	$a_{1} = 1$	$b_{1} = - 1$	$c_{1} = - 8$
दूसरा समीकरण	$a_{2} = 3$	$b_{2} = - 3$	$c_{2} = - 16$

\frac{a _{1}}{a _{2}}

\frac{1}{3}

\frac{b _{1}}{b _{2}}

\frac{- 1}{- 3}

\frac{1}{3}

\frac{c _{1}}{c _{2}}

\frac{- 8}{- 16}

\frac{1}{2}

यहाँ $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ ।

अतः रेखाएँ समांतर हैं, युग्म का कोई हल नहीं है; युग्म असंगत है।

(iii)

ज्ञात है

2 x + y - 6 = 0

4 x - 2 y - 4 = 0

ज्ञात करना है

युग्म संगत/असंगत; संगत हो तो ग्राफीय हल

	$a$	$b$	$c$
पहला समीकरण	$a_{1} = 2$	$b_{1} = 1$	$c_{1} = - 6$
दूसरा समीकरण	$a_{2} = 4$	$b_{2} = - 2$	$c_{2} = - 4$

\frac{a _{1}}{a _{2}}

\frac{2}{4}

\frac{1}{2}

\frac{b _{1}}{b _{2}}

\frac{1}{- 2}

- \frac{1}{2}

यहाँ $\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}$ , अतः रेखाएँ प्रतिच्छेदी हैं और युग्म संगत है (अद्वितीय हल)।

2 x + y - 6 = 0

से

y = 6 - 2 x

x = 0

रखने पर,

y

6 - 2 \times 0

6 - 0

6

x = 2

रखने पर,

y

6 - 2 \times 2

6 - 4

2

x = 3

रखने पर,

y

6 - 2 \times 3

6 - 6

0

सारणी:

$x$	$0$	$2$	$3$
$y$	$6$	$2$	$0$

4 x - 2 y - 4 = 0

से

y = 2 x - 2

x = 0

रखने पर,

y

2 \times 0 - 2

0 - 2

- 2

x = 1

रखने पर,

y

2 \times 1 - 2

2 - 2

0

x = 2

रखने पर,

y

2 \times 2 - 2

4 - 2

2

सारणी:

$x$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 2$	$0$	$2$

दोनों रेखाएँ बिंदु P(2, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

जाँच:

2 x + y - 6

2 \times 2 + 2 - 6

0

4 x - 2 y - 4

4 \times 2 - 2 \times 2 - 4

0

अतः हल $x = 2$ , $y = 2$ है।

(iv)

ज्ञात है

2 x - 2 y - 2 = 0

4 x - 4 y - 5 = 0

ज्ञात करना है

युग्म संगत/असंगत

	$a$	$b$	$c$
पहला समीकरण	$a_{1} = 2$	$b_{1} = - 2$	$c_{1} = - 2$
दूसरा समीकरण	$a_{2} = 4$	$b_{2} = - 4$	$c_{2} = - 5$

\frac{a _{1}}{a _{2}}

\frac{2}{4}

\frac{1}{2}

\frac{b _{1}}{b _{2}}

\frac{- 2}{- 4}

\frac{1}{2}

\frac{c _{1}}{c _{2}}

\frac{- 2}{- 5}

\frac{2}{5}

यहाँ $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ ।

अतः रेखाएँ समांतर हैं, कोई हल नहीं है; युग्म असंगत है।

उत्तर: (i) संगत, अपरिमित रूप से अनेक हल (ii) असंगत (iii) संगत,

x = 2, y = 2

(iv) असंगत

प्रश्न 5

एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

लंबाई = चौड़ाई + 4 m; अर्धपरिमाप = 36 m

ज्ञात करना है

बाग की विमाएँ (लंबाई और चौड़ाई)

माना बाग की लंबाई $x$ m और चौड़ाई $y$ m है।

सूत्र (आयत का अर्धपरिमाप): अर्धपरिमाप = लंबाई + चौड़ाई

प्रश्नानुसार,

x - y

4

…(1)

x + y

36

…(2)

समीकरण (1) से

y = x - 4

x = 4

रखने पर,

y

4 - 4

0

x = 12

रखने पर,

y

12 - 4

8

x = 20

रखने पर,

y

20 - 4

16

सारणी:

$x$	$4$	$12$	$20$
$y$	$0$	$8$	$16$

समीकरण (2) से

y = 36 - x

x = 0

रखने पर,

y

36 - 0

36

x = 20

रखने पर,

y

36 - 20

16

x = 36

रखने पर,

y

36 - 36

0

सारणी:

$x$	$0$	$20$	$36$
$y$	$36$	$16$	$0$

पैमाना: दोनों अक्षों पर 1 खाना = 2 m (अंक हर 4 m पर)।

दोनों रेखाएँ बिंदु P(20, 16) पर प्रतिच्छेद करती हैं। अतः $x = 20$ , $y = 16$ ।

जाँच:

x - y

20 - 16

4

x + y

20 + 16

36

उत्तर: बाग की लंबाई 20 m और चौड़ाई 16 m है।

प्रश्न 6

एक रैखिक समीकरण $2 x + 3 y - 8 = 0$ दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि

(i)प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।

(ii)समांतर रेखाएँ हों।

(iii)संपाती रेखाएँ हों।

ज्ञात है

2 x + 3 y - 8 = 0

(यहाँ

a_{1} = 2, b_{1} = 3, c_{1} = - 8

)

ज्ञात करना है

दूसरा रैखिक समीकरण, ताकि रेखाएँ (i) प्रतिच्छेदी (ii) समांतर (iii) संपाती हों

सूत्र (अनुपातों की तुलना): युग्म

a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0

और

a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0

के लिए:

\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}

⇒ रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (अद्वितीय हल, संगत)

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}

⇒ रेखाएँ संपाती हैं (अपरिमित रूप से अनेक हल, आश्रित/संगत)

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}

⇒ रेखाएँ समांतर हैं (कोई हल नहीं, असंगत)

(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ

शर्त $\frac{a _{1}}{a _{2}} \neq = \frac{b _{1}}{b _{2}}$ चाहिए। माना दूसरा समीकरण $3 x + 2 y - 7 = 0$ है।

\frac{a _{1}}{a _{2}}

\frac{2}{3}

\frac{b _{1}}{b _{2}}

\frac{3}{2}

यहाँ $\frac{2}{3} \neq = \frac{3}{2}$ , अतः $2 x + 3 y - 8 = 0$ और $3 x + 2 y - 7 = 0$ प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं।

(ii) समांतर रेखाएँ

शर्त $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ चाहिए। माना दूसरा समीकरण $4 x + 6 y - 12 = 0$ है।

\frac{a _{1}}{a _{2}}

\frac{2}{4}

\frac{1}{2}

\frac{b _{1}}{b _{2}}

\frac{3}{6}

\frac{1}{2}

\frac{c _{1}}{c _{2}}

\frac{- 8}{- 12}

\frac{2}{3}

यहाँ $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq = \frac{2}{3}$ , अतः $2 x + 3 y - 8 = 0$ और $4 x + 6 y - 12 = 0$ समांतर रेखाएँ हैं।

(iii) संपाती रेखाएँ

शर्त $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ चाहिए। दिए समीकरण को 2 से गुणा करने पर दूसरा समीकरण $4 x + 6 y - 16 = 0$ है।

\frac{a _{1}}{a _{2}}

\frac{2}{4}

\frac{1}{2}

\frac{b _{1}}{b _{2}}

\frac{3}{6}

\frac{1}{2}

\frac{c _{1}}{c _{2}}

\frac{- 8}{- 16}

\frac{1}{2}

यहाँ तीनों अनुपात बराबर हैं, अतः $2 x + 3 y - 8 = 0$ और $4 x + 6 y - 16 = 0$ संपाती रेखाएँ हैं।

टिप्पणी: ऐसे अनेक उत्तर संभव हैं; शर्त पूरी करने वाला कोई भी समीकरण सही है।

उत्तर: (i)

3 x + 2 y - 7 = 0

(ii)

4 x + 6 y - 12 = 0

(iii)

4 x + 6 y - 16 = 0

(उदाहरण)

प्रश्न 7

समीकरणों $x - y + 1 = 0$ और $3 x + 2 y - 12 = 0$ का ग्राफ खींचिए। x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।

ज्ञात है

x - y + 1 = 0

और

3 x + 2 y - 12 = 0

ज्ञात करना है

दोनों रेखाओं और x-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्ष; त्रिभुज छायांकित

x - y + 1

0

…(1)

3 x + 2 y - 12

0

…(2)

समीकरण (1) से

y = x + 1

x = - 1

रखने पर,

y

(- 1) + 1

- 1 + 1

0

x = 0

रखने पर,

y

0 + 1

1

x = 2

रखने पर,

y

2 + 1

3

सारणी:

$x$	$- 1$	$0$	$2$
$y$	$0$	$1$	$3$

समीकरण (2) से

y = \frac{12 - 3 x}{2}

x = 0

रखने पर,

y

\frac{12 - 3 \times 0}{2}

\frac{12 - 0}{2}

\frac{12}{2}

6

x = 2

रखने पर,

y

\frac{12 - 3 \times 2}{2}

\frac{12 - 6}{2}

\frac{6}{2}

3

x = 4

रखने पर,

y

\frac{12 - 3 \times 4}{2}

\frac{12 - 12}{2}

\frac{0}{2}

0

सारणी:

$x$	$0$	$2$	$4$
$y$	$6$	$3$	$0$

रेखा (1) x-अक्ष को A(−1, 0) पर तथा रेखा (2) x-अक्ष को B(4, 0) पर काटती है। दोनों रेखाएँ C(2, 3) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

प्रतिच्छेद बिंदु की जाँच (C(2, 3)):

x - y + 1

2 - 3 + 1

0

3 x + 2 y - 12

3 \times 2 + 2 \times 3 - 12

0

त्रिभुज ABC (पीले रंग में) छायांकित पटल है।

उत्तर: त्रिभुज के शीर्ष A(−1, 0), B(4, 0) और C(2, 3) हैं।

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।