प्रश्नावली 3.3 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म · 2 प्रश्न (विलोपन विधि)

प्रश्न 1

निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?

(i)

x + y = 5

2 x - 3 y = 4

(ii)

3 x + 4 y = 10

2 x - 2 y = 2

(iii)

3 x - 5 y - 4 = 0

9 x = 2 y + 7

(iv)

\frac{x}{2} + \frac{2 y}{3} = - 1

x - \frac{y}{3} = 3

सूत्र (विलोपन विधि): दोनों समीकरणों को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करके किसी एक चर के गुणांक समान करें, फिर जोड़कर या घटाकर उस चर को विलुप्त करें।

(i)

ज्ञात है

x + y = 5

और

2 x - 3 y = 4

ज्ञात करना है

x

और

y

(दोनों विधियों से)

x + y

5

…(1)

2 x - 3 y

4

…(2)

(क) विलोपन विधि:

समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर,

3 x + 3 y

15

…(3)

समीकरण (3) और (2) को जोड़ने पर (y विलुप्त),

(3 x + 2 x) + (3 y - 3 y)

15 + 4

5 x

19

x

\frac{19}{5}

समीकरण (1) में $x = \frac{19}{5}$ रखने पर,

\frac{19}{5} + y

5

y

5 - \frac{19}{5}

\frac{25 - 19}{5}

\frac{6}{5}

(ख) प्रतिस्थापन विधि:

समीकरण (1) से,

y

5 - x

…(4)

समीकरण (2) में रखने पर,

2 x - 3 (5 - x)

4

2 x - 15 + 3 x

4

5 x

4 + 15

5 x

19

x

\frac{19}{5}

समीकरण (4) में रखने पर,

y

5 - \frac{19}{5}

\frac{6}{5}

जाँच:

2 x - 3 y

2 \times \frac{19}{5} - 3 \times \frac{6}{5}

\frac{38 - 18}{5}

\frac{20}{5}

4

अतः $x = \frac{19}{5}, y = \frac{6}{5}$ । यहाँ विलोपन विधि अधिक सुविधाजनक है, क्योंकि y के गुणांक एक ही गुणा से बराबर हो जाते हैं।

(ii)

ज्ञात है

3 x + 4 y = 10

और

2 x - 2 y = 2

ज्ञात करना है

x

और

y

(दोनों विधियों से)

3 x + 4 y

10

…(1)

2 x - 2 y

2

…(2)

(क) विलोपन विधि:

समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर,

4 x - 4 y

4

…(3)

समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर,

(3 x + 4 x) + (4 y - 4 y)

10 + 4

7 x

14

x

\frac{14}{7}

x

2

समीकरण (2) में $x = 2$ रखने पर,

2 \times 2 - 2 y

2

4 - 2 y

2

- 2 y

2 - 4

- 2 y

- 2

y

1

(ख) प्रतिस्थापन विधि:

समीकरण (2) को 2 से भाग देने पर $x - y = 1$ , अर्थात्

x

y + 1

…(4)

समीकरण (1) में रखने पर,

3 (y + 1) + 4 y

10

3 y + 3 + 4 y

10

7 y

10 - 3

7 y

7

y

1

समीकरण (4) में रखने पर,

x

1 + 1

2

जाँच:

3 x + 4 y

3 \times 2 + 4 \times 1

6 + 4

10

अतः $x = 2, y = 1$ । यहाँ दोनों विधियाँ लगभग समान रूप से सरल हैं।

(iii)

ज्ञात है

3 x - 5 y - 4 = 0

और

9 x = 2 y + 7

ज्ञात करना है

x

और

y

(दोनों विधियों से)

दोनों समीकरणों को $a x + b y = c$ के रूप में लिखने पर,

3 x - 5 y

4

…(1)

9 x - 2 y

7

…(2)

(क) विलोपन विधि:

समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर,

9 x - 15 y

12

…(3)

समीकरण (3) में से (2) को घटाने पर (x विलुप्त),

(9 x - 9 x) + (- 15 y + 2 y)

12 - 7

- 13 y

5

y

- \frac{5}{13}

समीकरण (1) में $y = - \frac{5}{13}$ रखने पर,

3 x - 5 \times (- \frac{5}{13})

4

3 x + \frac{25}{13}

4

सभी पदों को 13 से गुणा करने पर,

39 x + 25

52

39 x

52 - 25

39 x

27

x

\frac{27}{39}

x

\frac{9}{13}

(ख) प्रतिस्थापन विधि:

समीकरण (1) से,

x

\frac{4 + 5 y}{3}

…(4)

समीकरण (2) में रखने पर,

9 \times \frac{4 + 5 y}{3} - 2 y

7

3 (4 + 5 y) - 2 y

7

12 + 15 y - 2 y

7

13 y

7 - 12

13 y

- 5

y

- \frac{5}{13}

समीकरण (4) में रखने पर,

x

\frac{4 + 5 \times ( - \frac{5}{13} )}{3}

\frac{4 - \frac{25}{13}}{3}

\frac{\frac{27}{13}}{3}

\frac{9}{13}

जाँच:

9 x - 2 y

9 \times \frac{9}{13} - 2 \times (- \frac{5}{13})

\frac{81 + 10}{13}

\frac{91}{13}

7

अतः $x = \frac{9}{13}, y = - \frac{5}{13}$ । यहाँ विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है, क्योंकि प्रतिस्थापन में भिन्न वाले पद आते हैं।

(iv)

ज्ञात है

\frac{x}{2} + \frac{2 y}{3} = - 1

और

x - \frac{y}{3} = 3

ज्ञात करना है

x

और

y

(दोनों विधियों से)

पहले समीकरण के सभी पदों को 6 से तथा दूसरे के सभी पदों को 3 से गुणा करने पर,

3 x + 4 y

- 6

…(1)

3 x - y

9

…(2)

(क) विलोपन विधि:

समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर (x विलुप्त),

(3 x - 3 x) + (4 y + y)

- 6 - 9

5 y

- 15

y

- 3

समीकरण (2) में $y = - 3$ रखने पर,

3 x - (- 3)

9

3 x + 3

9

3 x

6

x

2

(ख) प्रतिस्थापन विधि:

समीकरण (2) से,

y

3 x - 9

…(3)

समीकरण (1) में रखने पर,

3 x + 4 (3 x - 9)

- 6

3 x + 12 x - 36

- 6

15 x

- 6 + 36

15 x

30

x

2

समीकरण (3) में रखने पर,

y

3 \times 2 - 9

6 - 9

- 3

जाँच:

\frac{x}{2} + \frac{2 y}{3}

\frac{2}{2} + \frac{2 \times ( - 3 )}{3}

1 - 2

- 1

x - \frac{y}{3}

2 - \frac{- 3}{3}

2 + 1

3

अतः $x = 2, y = - 3$ । यहाँ विलोपन विधि अधिक उपयुक्त है, क्योंकि x के गुणांक पहले से समान हैं।

उत्तर: (i)

x = \frac{19}{5}, y = \frac{6}{5}

(ii)

x = 2, y = 1

(iii)

x = \frac{9}{13}, y = - \frac{5}{13}

(iv)

x = 2, y = - 3

प्रश्न 2

निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए:
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह $\frac{1}{2}$ हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) मीना ₹ 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजांची से ₹ 50 तथा ₹ 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹ 50 और ₹ 100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए।
(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹ 27 अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के ₹ 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।

(i)

ज्ञात है

अंश में 1 जोड़ने और हर से 1 घटाने पर भिन्न 1; हर में 1 जोड़ने पर

\frac{1}{2}

ज्ञात करना है

वह भिन्न

माना भिन्न $\frac{x}{y}$ है।

\frac{x + 1}{y - 1}

1

x + 1

y - 1

x - y

- 2

…(1)

\frac{x}{y + 1}

\frac{1}{2}

2 x

y + 1

2 x - y

1

…(2)

समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर (y विलुप्त),

(2 x - x) + (- y + y)

1 - (- 2)

x

3

समीकरण (1) में $x = 3$ रखने पर,

3 - y

- 2

- y

- 2 - 3

- y

- 5

y

5

जाँच:

\frac{3 + 1}{5 - 1}

\frac{4}{4}

1

\frac{3}{5 + 1}

\frac{3}{6}

\frac{1}{2}

अतः भिन्न $\frac{3}{5}$ है।

(ii)

ज्ञात है

5 वर्ष पूर्व नूरी की आयु = 3 × सोनू की आयु; 10 वर्ष पश्चात् नूरी की आयु = 2 × सोनू की आयु

ज्ञात करना है

दोनों की वर्तमान आयु

माना नूरी की वर्तमान आयु $x$ वर्ष और सोनू की $y$ वर्ष है।

5 वर्ष पूर्व:

x - 5

3 (y - 5)

x - 5

3 y - 15

x - 3 y

- 10

…(1)

10 वर्ष पश्चात्:

x + 10

2 (y + 10)

x + 10

2 y + 20

x - 2 y

10

…(2)

समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर (x विलुप्त),

(x - x) + (- 2 y + 3 y)

10 - (- 10)

y

20

समीकरण (2) में $y = 20$ रखने पर,

x - 2 \times 20

10

x - 40

10

x

50

जाँच:

x - 5

45

3 (y - 5)

3 \times 15

45

x + 10

60

2 (y + 10)

2 \times 30

60

अतः नूरी की आयु 50 वर्ष और सोनू की आयु 20 वर्ष है।

(iii)

ज्ञात है

दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9; संख्या का 9 गुना = पलटी संख्या का 2 गुना

ज्ञात करना है

वह संख्या

माना दहाई का अंक $x$ और इकाई का अंक $y$ है। तब संख्या $10 x + y$ और अंक पलटने पर बनी संख्या $10 y + x$ है।

x + y

9

…(1)

9 (10 x + y)

2 (10 y + x)

90 x + 9 y

20 y + 2 x

90 x - 2 x + 9 y - 20 y

0

88 x - 11 y

0

11 से भाग देने पर,

8 x - y

0

…(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर (y विलुप्त),

(x + 8 x) + (y - y)

9 + 0

9 x

9

x

1

समीकरण (1) में $x = 1$ रखने पर,

1 + y

9

y

8

संख्या=

10 x + y

10 \times 1 + 8

18

जाँच:

9 \times 18

162

2 \times 81

162

अतः संख्या 18 है।

(iv)

ज्ञात है

कुल नोट 25; कुल राशि ₹ 2000; नोट ₹ 50 और ₹ 100 के

ज्ञात करना है

₹ 50 और ₹ 100 के नोटों की संख्या

माना ₹ 50 के $x$ नोट और ₹ 100 के $y$ नोट हैं।

x + y

25

…(1)

50 x + 100 y

2000

50 से भाग देने पर,

x + 2 y

40

…(2)

समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर (x विलुप्त),

(x - x) + (2 y - y)

40 - 25

y

15

समीकरण (1) में $y = 15$ रखने पर,

x + 15

25

x

10

जाँच:

50 x + 100 y

50 \times 10 + 100 \times 15

500 + 1500

2000

अतः मीना को ₹ 50 के 10 नोट और ₹ 100 के 15 नोट मिले।

(v)

ज्ञात है

पहले 3 दिन का नियत किराया + प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया; 7 दिन = ₹ 27; 5 दिन = ₹ 21

ज्ञात करना है

नियत किराया और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया

माना पहले तीन दिनों का नियत किराया ₹ $x$ और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ₹ $y$ है।

सरिता: 7 दिन = 3 दिन + 4 अतिरिक्त दिन

x + 4 y

27

…(1)

सूसी: 5 दिन = 3 दिन + 2 अतिरिक्त दिन

x + 2 y

21

…(2)

समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर (x विलुप्त),

(x - x) + (4 y - 2 y)

27 - 21

2 y

6

y

3

समीकरण (2) में $y = 3$ रखने पर,

x + 2 \times 3

21

x + 6

21

x

15

जाँच:

x + 4 y

15 + 4 \times 3

15 + 12

27

अतः नियत किराया ₹ 15 और प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ₹ 3 है।

उत्तर: (i)

\frac{3}{5}

(ii) नूरी 50 वर्ष, सोनू 20 वर्ष (iii) 18 (iv) ₹ 50 के 10 नोट, ₹ 100 के 15 नोट (v) नियत किराया ₹ 15, अतिरिक्त दिन ₹ 3

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।