प्रश्नावली 11.4 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 11: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन · 10 प्रश्न

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7 प्र. 8 प्र. 9 प्र. 10

प्रश्न 1

उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है :(i) 7 cm(ii) 0.63 m

जब तक अन्यथा न कहा जाए,

π = \frac{22}{7}

लीजिए।

ज्ञात है

गोले की त्रिज्या

r

: (i) 7 cm (ii) 0.63 m

ज्ञात करना है

प्रत्येक गोले का आयतन

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: गोला, केंद्र O; त्रिज्या r लाल

सूत्र (गोले का आयतन): आयतन

= \frac{4}{3} π r^{3}

(i)

r = 7 cm

आयतन=

\frac{4}{3} π r^{3}

\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 7 cm^{3}

\frac{4 \times 22 \times 7 \times 7 \times 7}{3 \times 7} cm^{3}

\frac{4 \times 22 \times 7 \times 7}{3} cm^{3}

\frac{4312}{3} cm^{3}

1437 \frac{1}{3} cm^{3}

(ii)

r = 0.63 m

आयतन=

\frac{4}{3} π r^{3}

\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.63 \times 0.63 \times 0.63 m^{3}

\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100} m^{3}

\frac{4 \times 22 \times 63 \times 63 \times 63}{3 \times 7 \times 100 \times 100 \times 100} m^{3}

\frac{11 \times 3 \times 63 \times 63}{25 \times 50 \times 100} m^{3}

\frac{130977}{125000} m^{3}

1.047816 m^{3}

उत्तर:

(i) आयतन

= 1437 \frac{1}{3} cm^{3}

(ii) आयतन

= 1.047816 m^{3}

प्रश्न 2

उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है :(i) 28 cm(ii) 0.21 m

ज्ञात है

ठोस गोलाकार गेंद का व्यास

d

: (i) 28 cm (ii) 0.21 m

ज्ञात करना है

गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: गेंद (गोला); व्यास d नारंगी

हटाए गए पानी का आयतन = गेंद का आयतन

सूत्र (गोले का आयतन): आयतन

= \frac{4}{3} π r^{3}

(i)

d = 28 cm

r

\frac{d}{2}

\frac{28}{2} cm

14 cm

आयतन=

\frac{4}{3} π r^{3}

\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 cm^{3}

\frac{4 \times 22 \times 14 \times 14 \times 14}{3 \times 7} cm^{3}

\frac{4 \times 22 \times 2 \times 14 \times 14}{3} cm^{3}

\frac{34496}{3} cm^{3}

11498 \frac{2}{3} cm^{3}

(ii)

d = 0.21 m

r

\frac{d}{2}

\frac{0.21}{2} m

0.105 m

आयतन=

\frac{4}{3} π r^{3}

\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.105 \times 0.105 \times 0.105 m^{3}

\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{200} \times \frac{21}{200} \times \frac{21}{200} m^{3}

\frac{4 \times 22 \times 21 \times 21 \times 21}{3 \times 7 \times 200 \times 200 \times 200} m^{3}

\frac{11 \times 21 \times 21}{25 \times 200 \times 200} m^{3}

\frac{4851}{1000000} m^{3}

0.004851 m^{3}

उत्तर:

(i)

11498 \frac{2}{3} cm^{3}

(ii)

0.004851 m^{3}

प्रश्न 3

धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 cm है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति $cm^{3}$ है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

धातु की गेंद का व्यास

d = 4.2 cm

धातु का घनत्व = 8.9 ग्राम प्रति

cm^{3}

ज्ञात करना है

गेंद का द्रव्यमान

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: धातु की गेंद; व्यास d नारंगी

त्रिज्या

r

r

\frac{d}{2}

\frac{4.2}{2} cm

2.1 cm

सूत्र (गोले का आयतन): आयतन

= \frac{4}{3} π r^{3}

आयतन=

\frac{4}{3} π r^{3}

\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1 cm^{3}

\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10} cm^{3}

\frac{4 \times 22 \times 21 \times 21 \times 21}{3 \times 7 \times 10 \times 10 \times 10} cm^{3}

\frac{11 \times 21 \times 21}{5 \times 5 \times 5} cm^{3}

\frac{4851}{125} cm^{3}

38.808 cm^{3}

सूत्र (द्रव्यमान): द्रव्यमान = घनत्व × आयतन

द्रव्यमान=

8.9 \times 38.808

ग्राम=

345.3912

ग्राम

उत्तर: गेंद का द्रव्यमान 345.3912 ग्राम है।

प्रश्न 4

चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है?

ज्ञात है

चंद्रमा का व्यास = पृथ्वी के व्यास का

\frac{1}{4}

(लगभग)

ज्ञात करना है

चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: पृथ्वी (त्रिज्या R नीली) और चंद्रमा (त्रिज्या r लाल); r = R/4 (पैमाने पर)

माना पृथ्वी की त्रिज्या $R$ है। व्यास एक-चौथाई है, तो त्रिज्या भी एक-चौथाई होगी:

चंद्रमा की त्रिज्या

r

\frac{R}{4}

सूत्र (गोले का आयतन): आयतन

= \frac{4}{3} π r^{3}

माना चंद्रमा का आयतन $V_{1}$ और पृथ्वी का आयतन $V_{2}$ है।

\frac{V _{1}}{V _{2}}

\frac{\frac{4}{3} π r ^{3}}{\frac{4}{3} π R ^{3}}

\frac{r ^{3}}{R ^{3}}

\frac{( \frac{R}{4} ) ^{3}}{R ^{3}}

\frac{R ^{3}}{64} \times \frac{1}{R ^{3}}

\frac{1}{64}

उत्तर: चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन का

\frac{1}{64}

भाग है।

प्रश्न 5

व्यास 10.5 cm वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?

ज्ञात है

अर्धगोलाकार कटोरे का व्यास

d = 10.5 cm

ज्ञात करना है

कटोरे में आने वाला दूध (लीटर में)

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: अर्धगोलाकार कटोरा; व्यास d नारंगी

त्रिज्या

r

r

\frac{d}{2}

\frac{10.5}{2} cm

5.25 cm

सूत्र (अर्धगोले का आयतन): आयतन

= \frac{2}{3} π r^{3}

आयतन=

\frac{2}{3} π r^{3}

\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25 \times 5.25 cm^{3}

\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} cm^{3}

\frac{2 \times 22 \times 21 \times 21 \times 21}{3 \times 7 \times 4 \times 4 \times 4} cm^{3}

\frac{11 \times 21 \times 21}{4 \times 4} cm^{3}

\frac{4851}{16} cm^{3}

303.1875 cm^{3}

1000 cm^{3} = 1

लीटर

दूध=

\frac{303.1875}{1000}

लीटर=

0.3031875

लीटर

उत्तर: कटोरे में 0.3031875 लीटर दूध आ सकता है।

प्रश्न 6

एक अर्धगोलाकार टंकी 1 cm मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 m है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

अर्धगोलाकार टंकी की आंतरिक त्रिज्या

r = 1 m

लोहे की चादर की मोटाई = 1 cm

ज्ञात करना है

टंकी बनाने में लगे लोहे का आयतन

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: अर्धगोलाकार टंकी; आंतरिक त्रिज्या r लाल, बाहरी त्रिज्या R बैंगनी

बाहरी त्रिज्या

R

R

r +

मोटाई=

1 m + 1 cm

1 m + 0.01 m

1.01 m

सूत्र (अर्धगोले का आयतन): आयतन

= \frac{2}{3} π r^{3}

लोहे का आयतन = बाहरी अर्धगोले का आयतन − भीतरी अर्धगोले का आयतन

लोहे का आयतन=

\frac{2}{3} π R^{3} - \frac{2}{3} π r^{3}

\frac{2}{3} π (R^{3} - r^{3})

\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.01^{3} - 1^{3}) m^{3}

\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.030301 - 1) m^{3}

\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.030301 m^{3}

\frac{44 \times 0.030301}{21} m^{3}

\frac{1.333244}{21} m^{3}

0.06349

^{3}

(लगभग)

उत्तर: टंकी बनाने में लगे लोहे का आयतन

= 0.06349 m^{3}

(लगभग, पाँच दशमलव स्थान तक) है।

प्रश्न 7

उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 $cm^{2}$ है।

ज्ञात है

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 154 cm^{2}

ज्ञात करना है

गोले का आयतन

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: गोला, केंद्र O; त्रिज्या r लाल

त्रिज्या

r

ज्ञात करना

सूत्र (गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल): पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 π r^{2}

4 π r^{2}

154 cm^{2}

4 \times \frac{22}{7} \times r^{2}

154 cm^{2}

\frac{88}{7} r^{2}

154 cm^{2}

r^{2}

\frac{154 \times 7}{88} cm^{2}

r^{2}

\frac{1078}{88} cm^{2}

r^{2}

12.25 cm^{2}

अभाज्य गुणनखंड (भाग-विधि से):

1225 के अभाज्य गुणनखंड:

5	1225
5	245
7	49
7	7
	1

1225 = 5 × 5 × 7 × 7

100 के अभाज्य गुणनखंड:

2	100
2	50
5	25
5	5
	1

100 = 2 × 2 × 5 × 5

r

12.25 cm

\frac{1225}{100} cm

\frac{5 \times 5 \times 7 \times 7}{2 \times 2 \times 5 \times 5} cm

\frac{( 5 \times 5 ) \times ( 7 \times 7 )}{( 2 \times 2 ) \times ( 5 \times 5 )} cm

\frac{5 \times 7}{2 \times 5} cm

\frac{35}{10} cm

3.5 cm

आयतन

सूत्र (गोले का आयतन): आयतन

= \frac{4}{3} π r^{3}

आयतन=

\frac{4}{3} π r^{3}

\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 3.5 cm^{3}

\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} cm^{3}

\frac{4 \times 22 \times 7 \times 7 \times 7}{3 \times 7 \times 2 \times 2 \times 2} cm^{3}

\frac{11 \times 7 \times 7}{3} cm^{3}

\frac{539}{3} cm^{3}

179 \frac{2}{3} cm^{3}

उत्तर: गोले का आयतन

= 179 \frac{2}{3} cm^{3}

है।

प्रश्न 8

किसी भवन का गुंबद एक अर्धगोले के आकार का है। अंदर से, इसमें सफेदी कराने में ₹4989.60 व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर ₹20 प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए:(i) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल(ii) गुंबद के अंदर की हवा का आयतन

ज्ञात है

गुंबद अर्धगोलाकार है
अंदर सफेदी का कुल व्यय = ₹4989.60
सफेदी की दर = ₹20 प्रति वर्ग मीटर

ज्ञात करना है

(i) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) गुंबद के अंदर की हवा का आयतन

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: अर्धगोलाकार गुंबद; आंतरिक त्रिज्या r लाल

(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=कुल व्यय

\div

दर=

\frac{4989.60}{20} m^{2}

249.48 m^{2}

(ii) गुंबद के अंदर की हवा का आयतन

आंतरिक त्रिज्या

r

सूत्र (अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल): वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 π r^{2}

2 π r^{2}

249.48 m^{2}

2 \times \frac{22}{7} \times r^{2}

249.48 m^{2}

\frac{44}{7} r^{2}

249.48 m^{2}

r^{2}

\frac{249.48 \times 7}{44} m^{2}

r^{2}

5.67 \times 7 m^{2}

r^{2}

39.69 m^{2}

अभाज्य गुणनखंड (भाग-विधि से):

3969 के अभाज्य गुणनखंड:

3	3969
3	1323
3	441
3	147
7	49
7	7
	1

3969 = 3 × 3 × 3 × 3 × 7 × 7

100 के अभाज्य गुणनखंड:

2	100
2	50
5	25
5	5
	1

100 = 2 × 2 × 5 × 5

r

39.69 m

\frac{3969}{100} m

\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 7 \times 7}{2 \times 2 \times 5 \times 5} m

\frac{( 3 \times 3 ) \times ( 3 \times 3 ) \times ( 7 \times 7 )}{( 2 \times 2 ) \times ( 5 \times 5 )} m

\frac{3 \times 3 \times 7}{2 \times 5} m

\frac{63}{10} m

6.3 m

हवा का आयतन = अर्धगोले का आयतन

सूत्र (अर्धगोले का आयतन): आयतन

= \frac{2}{3} π r^{3}

आयतन=

\frac{2}{3} π r^{3}

\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 6.3 \times 6.3 \times 6.3 m^{3}

\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{63}{10} \times \frac{63}{10} \times \frac{63}{10} m^{3}

\frac{2 \times 22 \times 63 \times 63 \times 63}{3 \times 7 \times 10 \times 10 \times 10} m^{3}

\frac{11 \times 3 \times 63 \times 63}{5 \times 5 \times 10} m^{3}

\frac{130977}{250} m^{3}

523.908 m^{3}

उत्तर:

(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 249.48 m^{2}

(ii) हवा का आयतन

= 523.908 m^{3}

प्रश्न 9

लोहे के सत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S′ है। ज्ञात कीजिए:(i) नए गोले की त्रिज्या $r^{'}$ (ii) S और S′ का अनुपात

ज्ञात है

27 ठोस गोले, प्रत्येक की त्रिज्या

r

और पृष्ठीय क्षेत्रफल S
इन्हें पिघलाकर बने नए गोले की त्रिज्या

r^{'}

और पृष्ठीय क्षेत्रफल S′

ज्ञात करना है

(i) नए गोले की त्रिज्या

r^{'}

(ii) S और S′ का अनुपात

पिघलाकर नया गोला बनाने पर धातु का आयतन नहीं बदलता।

सूत्र (गोले का आयतन): आयतन

= \frac{4}{3} π r^{3}

(i) नए गोले की त्रिज्या

नए गोले का आयतन=

27 \times

एक छोटे गोले का आयतन

\frac{4}{3} π r^{'}^{3}

27 \times \frac{4}{3} π r^{3}

r^{'}^{3}

27 r^{3}

r^{'}^{3}

3 \times 3 \times 3 \times r \times r \times r

r^{'}^{3}

(3 r)^{3}

r^{'}

3 r

(ii) S और S′ का अनुपात

सूत्र (गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल): पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 π r^{2}

S

4 π r^{2}

S^{'}

4 π r^{'}^{2}

4 π (3 r)^{2}

4 π \times 9 r^{2}

36 π r^{2}

\frac{S}{S ^{'}}

\frac{4 π r ^{2}}{36 π r ^{2}}

\frac{4}{36}

\frac{1}{9}

उत्तर:

(i)

r^{'} = 3 r

(ii) S : S′ = 1 : 9

प्रश्न 10

दवाई का एक कैपसूल (capsule) 3.5 mm व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपसूल को भरने के लिए कितनी दवाई ( $mm^{3}$ में) की आवश्यकता होगी?

ज्ञात है

कैपसूल (गोला) का व्यास

d = 3.5 mm

ज्ञात करना है

कैपसूल भरने के लिए आवश्यक दवाई (

mm^{3}

में)

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: गोलाकार कैपसूल; व्यास d नारंगी

त्रिज्या

r

r

\frac{d}{2}

\frac{3.5}{2} mm

1.75 mm

सूत्र (गोले का आयतन): आयतन

= \frac{4}{3} π r^{3}

आयतन=

\frac{4}{3} π r^{3}

\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75 \times 1.75 mm^{3}

\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} mm^{3}

\frac{4 \times 22 \times 7 \times 7 \times 7}{3 \times 7 \times 4 \times 4 \times 4} mm^{3}

\frac{11 \times 7 \times 7}{3 \times 2 \times 4} mm^{3}

\frac{539}{24} mm^{3}

22 \frac{11}{24} mm^{3}

उत्तर: कैपसूल भरने के लिए

22 \frac{11}{24} mm^{3}

दवाई की आवश्यकता होगी।

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 11 ‘पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन’ के अनुसार है।