प्रश्नावली 11.3 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 11: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन · 9 प्रश्न

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7 प्र. 8 प्र. 9

प्रश्न 1

उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी(i) त्रिज्या 6 cm और ऊँचाई 7 cm है।(ii) त्रिज्या 3.5 cm और ऊँचाई 12 cm है।

जब तक अन्यथा न कहा जाए,

π = \frac{22}{7}

लीजिए।

ज्ञात है

(i)

r = 6 cm, h = 7 cm

(ii)

r = 3.5 cm, h = 12 cm

ज्ञात करना है

प्रत्येक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति (i): r = 6 cm, h = 7 cm (पैमाने पर)

हल की आकृति (ii): r = 3.5 cm, h = 12 cm (पैमाने पर)

सूत्र (शंकु का आयतन): आयतन

= \frac{1}{3} π r^{2} h

(i)

r = 6 cm, h = 7 cm

आयतन=

\frac{1}{3} π r^{2} h

\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \times 7 cm^{3}

\frac{1 \times 22 \times 6 \times 6 \times 7}{3 \times 7} cm^{3}

22 \times 2 \times 6 cm^{3}

264 cm^{3}

(ii)

r = 3.5 cm, h = 12 cm

आयतन=

\frac{1}{3} π r^{2} h

\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 12 cm^{3}

\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 12 cm^{3}

\frac{1 \times 22 \times 7 \times 7 \times 12}{3 \times 7 \times 2 \times 2} cm^{3}

11 \times 7 \times 2 cm^{3}

154 cm^{3}

उत्तर:

(i) आयतन

= 264 cm^{3}

(ii) आयतन

= 154 cm^{3}

प्रश्न 2

शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी(i) त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 25 cm है।(ii) ऊँचाई 12 cm और तिर्यक ऊँचाई 13 cm है।

ज्ञात है

(i)

r = 7 cm, l = 25 cm

(ii)

h = 12 cm, l = 13 cm

ज्ञात करना है

प्रत्येक शंकु के आकार के बर्तन की धारिता (लीटरों में)

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति (i): r = 7 cm, l = 25 cm (पैमाने पर)

हल की आकृति (ii): h = 12 cm, l = 13 cm (पैमाने पर)

धारिता = बर्तन का आयतन;

1000 cm^{3} = 1

लीटर

(i)

r = 7 cm, l = 25 cm

ऊँचाई

h

ज्ञात करना

क्योंकि $l^{2} = h^{2} + r^{2}$ , इसलिए $h^{2} = l^{2} - r^{2}$

अभाज्य गुणनखंड (भाग-विधि से):

576 के अभाज्य गुणनखंड:

2	576
2	288
2	144
2	72
2	36
2	18
3	9
3	3
	1

576 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3

h

l^{2} - r^{2}

25^{2} - 7^{2} cm

625 - 49 cm

576 cm

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 cm

(2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (3 \times 3) cm

2 \times 2 \times 2 \times 3 cm

24 cm

सूत्र (शंकु का आयतन): आयतन

= \frac{1}{3} π r^{2} h

आयतन=

\frac{1}{3} π r^{2} h

\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24 cm^{3}

\frac{1 \times 22 \times 7 \times 7 \times 24}{3 \times 7} cm^{3}

22 \times 7 \times 8 cm^{3}

1232 cm^{3}

धारिता=

\frac{1232}{1000}

लीटर=

1.232

लीटर

(ii)

h = 12 cm, l = 13 cm

त्रिज्या

r

ज्ञात करना

क्योंकि $l^{2} = h^{2} + r^{2}$ , इसलिए $r^{2} = l^{2} - h^{2}$

r

l^{2} - h^{2}

13^{2} - 12^{2} cm

169 - 144 cm

25 cm

5 \times 5 cm

(5 \times 5) cm

5 cm

सूत्र (शंकु का आयतन): आयतन

= \frac{1}{3} π r^{2} h

आयतन=

\frac{1}{3} π r^{2} h

\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 5 \times 5 \times 12 cm^{3}

\frac{1 \times 22 \times 5 \times 5 \times 12}{3 \times 7} cm^{3}

\frac{22 \times 5 \times 5 \times 4}{7} cm^{3}

\frac{2200}{7} cm^{3}

धारिता=

\frac{2200}{7} \div 1000

लीटर=

\frac{2200}{7 \times 1000}

लीटर=

\frac{22}{70}

लीटर=

\frac{11}{35}

लीटर

उत्तर:

(i) धारिता = 1.232 लीटर

(ii) धारिता =

\frac{11}{35}

लीटर

प्रश्न 3

एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 $cm^{3}$ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। ( $π = 3.14$ प्रयोग कीजिए।)

ज्ञात है

शंकु की ऊँचाई

h = 15 cm

आयतन

= 1570 cm^{3}

π = 3.14

ज्ञात करना है

आधार की त्रिज्या

r

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: शंकु (पैमाने पर); h नीली, r लाल

सूत्र (शंकु का आयतन): आयतन

= \frac{1}{3} π r^{2} h

\frac{1}{3} π r^{2} h

1570 cm^{3}

\frac{1}{3} \times 3.14 \times r^{2} \times 15

1570 cm^{3}

3.14 \times r^{2} \times 5

1570 cm^{3}

15.7 r^{2}

1570 cm^{3}

r^{2}

\frac{1570}{15.7} cm^{2}

r^{2}

\frac{15700}{157} cm^{2}

r^{2}

100 cm^{2}

अभाज्य गुणनखंड (भाग-विधि से):

100 के अभाज्य गुणनखंड:

2	100
2	50
5	25
5	5
	1

100 = 2 × 2 × 5 × 5

r

100 cm

2 \times 2 \times 5 \times 5 cm

(2 \times 2) \times (5 \times 5) cm

2 \times 5 cm

10 cm

उत्तर: आधार की त्रिज्या

= 10 cm

है।

प्रश्न 4

यदि 9 cm ऊँचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन $48 π cm^{3}$ है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

शंकु की ऊँचाई

h = 9 cm

आयतन

= 48 π cm^{3}

ज्ञात करना है

आधार का व्यास

d

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: शंकु (पैमाने पर); h नीली, व्यास d नारंगी

सूत्र (शंकु का आयतन): आयतन

= \frac{1}{3} π r^{2} h

\frac{1}{3} π r^{2} h

48 π cm^{3}

\frac{1}{3} \times π \times r^{2} \times 9

48 π cm^{3}

3 π r^{2}

48 π cm^{3}

r^{2}

\frac{48 π}{3 π} cm^{2}

r^{2}

16 cm^{2}

r

16 cm

2 \times 2 \times 2 \times 2 cm

(2 \times 2) \times (2 \times 2) cm

2 \times 2 cm

4 cm

d

2 \times r

2 \times 4 cm

8 cm

उत्तर: आधार का व्यास

= 8 cm

है।

प्रश्न 5

ऊपरी व्यास 3.5 m वाले शंकु के आकार का एक गड्ढा 12 m गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी है?

ज्ञात है

शंक्वाकार गड्ढे का ऊपरी व्यास

d = 3.5 m

गहराई (ऊँचाई)

h = 12 m

ज्ञात करना है

गड्ढे की धारिता (किलोलीटर में)

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: गड्ढे का आकार (शंकु, पैमाने पर; गड्ढे में शीर्ष नीचे और व्यास ऊपर होता है)

त्रिज्या

r

r

\frac{d}{2}

\frac{3.5}{2} m

1.75 m

सूत्र (शंकु का आयतन): आयतन

= \frac{1}{3} π r^{2} h

आयतन=

\frac{1}{3} π r^{2} h

\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75 \times 12 m^{3}

\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times 12 m^{3}

\frac{1 \times 22 \times 7 \times 7 \times 12}{3 \times 7 \times 4 \times 4} m^{3}

\frac{11 \times 7}{2} m^{3}

\frac{77}{2} m^{3}

38.5 m^{3}

1 m^{3} = 1000

लीटर = 1 किलोलीटर

धारिता=

38.5

किलोलीटर

उत्तर: गड्ढे की धारिता 38.5 किलोलीटर है।

प्रश्न 6

एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 $cm^{3}$ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 cm है, तो ज्ञात कीजिए :(i) शंकु की ऊँचाई(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

ज्ञात है

शंकु का आयतन

= 9856 cm^{3}

आधार का व्यास

d = 28 cm

ज्ञात करना है

(i) ऊँचाई

h

(ii) तिर्यक ऊँचाई

l

(iii) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: शंकु (पैमाने पर); d नारंगी, h नीली, l हरी

त्रिज्या

r

r

\frac{d}{2}

\frac{28}{2} cm

14 cm

(i) शंकु की ऊँचाई

सूत्र (शंकु का आयतन): आयतन

= \frac{1}{3} π r^{2} h

\frac{1}{3} π r^{2} h

9856 cm^{3}

\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times h

9856 cm^{3}

\frac{22 \times 14 \times 14}{3 \times 7} h

9856 cm^{3}

\frac{22 \times 2 \times 14}{3} h

9856 cm^{3}

\frac{616}{3} h

9856 cm^{3}

h

\frac{9856 \times 3}{616} cm

h

16 \times 3 cm

h

48 cm

(ii) तिर्यक ऊँचाई

सूत्र (तिर्यक ऊँचाई):

l = h^{2} + r^{2}

(क्योंकि

l^{2} = h^{2} + r^{2}

, पाइथागोरस प्रमेय)

अभाज्य गुणनखंड (भाग-विधि से):

2500 के अभाज्य गुणनखंड:

2	2500
2	1250
5	625
5	125
5	25
5	5
	1

2500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 5

l

h^{2} + r^{2}

48^{2} + 14^{2} cm

2304 + 196 cm

2500 cm

2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 cm

(2 \times 2) \times (5 \times 5) \times (5 \times 5) cm

2 \times 5 \times 5 cm

50 cm

(iii) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

सूत्र (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल): वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= π r l

, जहाँ

r

= आधार की त्रिज्या,

l

= तिर्यक ऊँचाई

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=

π r l

\frac{22}{7} \times 14 \times 50 cm^{2}

\frac{22 \times 14 \times 50}{7} cm^{2}

22 \times 2 \times 50 cm^{2}

2200 cm^{2}

उत्तर:

(i) ऊँचाई

= 48 cm

(ii) तिर्यक ऊँचाई

= 50 cm

(iii) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2200 cm^{2}

प्रश्न 7

भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 cm के परित घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

समकोण △ABC: AB = 12 cm, BC = 5 cm, AC = 13 cm (समकोण B पर)
त्रिभुज को भुजा AB = 12 cm के परित घुमाया जाता है

ज्ञात करना है

प्राप्त ठोस (शंकु) का आयतन

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: △ABC को AB के परित घुमाने पर शंकु; h = AB नीली, r = BC लाल, l = AC हरी (पैमाने पर)

भुजा AB के परित घुमाने पर AB शंकु की ऊँचाई, BC आधार की त्रिज्या और AC तिर्यक ऊँचाई बनती है:

h

A B = 12 cm

r

BC = 5 cm

सूत्र (शंकु का आयतन): आयतन

= \frac{1}{3} π r^{2} h

आयतन=

\frac{1}{3} π r^{2} h

\frac{1}{3} \times π \times 5 \times 5 \times 12 cm^{3}

\frac{5 \times 5 \times 12}{3} π cm^{3}

5 \times 5 \times 4 π cm^{3}

100 π cm^{3}

$π = \frac{22}{7}$ रखने पर:

आयतन=

100 \times \frac{22}{7} cm^{3}

\frac{100 \times 22}{7} cm^{3}

\frac{2200}{7} cm^{3}

314 \frac{2}{7} cm^{3}

उत्तर: प्राप्त ठोस का आयतन

= 100 π cm^{3} = 314 \frac{2}{7} cm^{3}

है।

प्रश्न 8

यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 cm के परित घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

प्रश्न 7 का समकोण △ABC (AB = 12 cm, BC = 5 cm, AC = 13 cm)
इसे भुजा BC = 5 cm के परित घुमाया जाता है

ज्ञात करना है

प्राप्त ठोस का आयतन; प्रश्न 7 और 8 के ठोसों के आयतनों का अनुपात

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: △ABC को BC के परित घुमाने पर शंकु; h = BC नीली, r = AB लाल, l = AC हरी (पैमाने पर)

भुजा BC के परित घुमाने पर BC शंकु की ऊँचाई, AB आधार की त्रिज्या और AC तिर्यक ऊँचाई बनती है:

h

BC = 5 cm

r

A B = 12 cm

सूत्र (शंकु का आयतन): आयतन

= \frac{1}{3} π r^{2} h

आयतन=

\frac{1}{3} π r^{2} h

\frac{1}{3} \times π \times 12 \times 12 \times 5 cm^{3}

\frac{12 \times 12 \times 5}{3} π cm^{3}

4 \times 12 \times 5 π cm^{3}

240 π cm^{3}

$π = \frac{22}{7}$ रखने पर:

आयतन=

240 \times \frac{22}{7} cm^{3}

\frac{240 \times 22}{7} cm^{3}

\frac{5280}{7} cm^{3}

754 \frac{2}{7} cm^{3}

दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात

माना प्रश्न 7 के ठोस का आयतन $V_{1}$ और प्रश्न 8 के ठोस का आयतन $V_{2}$ है।

\frac{V _{1}}{V _{2}}

\frac{100 π}{240 π}

\frac{100}{240}

\frac{5 \times 20}{12 \times 20}

\frac{5}{12}

उत्तर: प्राप्त ठोस का आयतन

= 240 π cm^{3} = 754 \frac{2}{7} cm^{3}

; दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात 5 : 12 है।

प्रश्न 9

गेहूँ की एक ढेरी 10.5 m व्यास और ऊँचाई 3 m वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाना है। वाँछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

गेहूँ की शंक्वाकार ढेरी का व्यास

d = 10.5 m

ऊँचाई

h = 3 m

ज्ञात करना है

(1) ढेरी का आयतन
(2) ढकने के लिए केनवास का क्षेत्रफल (= वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल)

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: गेहूँ की ढेरी (पैमाने पर); d नारंगी, h नीली, l हरी

त्रिज्या

r

r

\frac{d}{2}

\frac{10.5}{2} m

5.25 m

ढेरी का आयतन

सूत्र (शंकु का आयतन): आयतन

= \frac{1}{3} π r^{2} h

आयतन=

\frac{1}{3} π r^{2} h

\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25 \times 3 m^{3}

\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \times 3 m^{3}

\frac{1 \times 22 \times 21 \times 21 \times 3}{3 \times 7 \times 4 \times 4} m^{3}

\frac{11 \times 21 \times 3}{2 \times 4} m^{3}

\frac{693}{8} m^{3}

86.625 m^{3}

केनवास का क्षेत्रफल

सूत्र (तिर्यक ऊँचाई):

l = h^{2} + r^{2}

(क्योंकि

l^{2} = h^{2} + r^{2}

, पाइथागोरस प्रमेय)

l

h^{2} + r^{2}

3^{2} + 5.25^{2} m

9 + 27.5625 m

36.5625 m

\frac{585}{16} m

गुणनखंड: $585 = 3 \times 3 \times 5 \times 13$ और $16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2$

l

\frac{3 \times 3 \times 5 \times 13}{2 \times 2 \times 2 \times 2} m

\frac{( 3 \times 3 ) \times 65}{( 2 \times 2 ) \times ( 2 \times 2 )} m

\frac{3 65}{2 \times 2} m

\frac{3 65}{4} m

65 पूर्ण वर्ग नहीं है; $65 = 8.062$ (तीन दशमलव स्थान तक) लेने पर:

l

\frac{3 \times 8.062}{4} m

\frac{24.186}{4} m

6.0465 m

6.05

m (दो दशमलव स्थान तक)

सूत्र (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल): वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= π r l

, जहाँ

r

= आधार की त्रिज्या,

l

= तिर्यक ऊँचाई

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=

π r l

\frac{22}{7} \times 5.25 \times 6.05 m^{2}

\frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{121}{20} m^{2}

\frac{22 \times 21 \times 121}{7 \times 4 \times 20} m^{2}

\frac{11 \times 3 \times 121}{2 \times 20} m^{2}

\frac{3993}{40} m^{2}

99.825 m^{2}

उत्तर: ढेरी का आयतन

= 86.625 m^{3}

; वाँछित केनवास का क्षेत्रफल

= 99.825 m^{2}

(

l = 6.05 m

लेने पर)

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 11 ‘पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन’ के अनुसार है।