प्रश्नावली 11.2 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 11: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन · 9 प्रश्न

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7 प्र. 8 प्र. 9

प्रश्न 1

निम्न त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :(i) 10.5 cm(ii) 5.6 cm(iii) 14 cm

जब तक अन्यथा न कहा जाए,

π = \frac{22}{7}

लीजिए।

ज्ञात है

गोले की त्रिज्या

r

: (i) 10.5 cm (ii) 5.6 cm (iii) 14 cm

ज्ञात करना है

प्रत्येक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: गोला, केंद्र O; त्रिज्या r लाल

सूत्र (गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल): पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 π r^{2}

(i)

r = 10.5 cm

पृष्ठीय क्षेत्रफल=

4 π r^{2}

4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 cm^{2}

4 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2} cm^{2}

\frac{4 \times 22 \times 21 \times 21}{7 \times 2 \times 2} cm^{2}

22 \times 3 \times 21 cm^{2}

1386 cm^{2}

(ii)

r = 5.6 cm

पृष्ठीय क्षेत्रफल=

4 π r^{2}

4 \times \frac{22}{7} \times 5.6 \times 5.6 cm^{2}

4 \times \frac{22}{7} \times \frac{28}{5} \times \frac{28}{5} cm^{2}

\frac{4 \times 22 \times 28 \times 28}{7 \times 5 \times 5} cm^{2}

\frac{4 \times 22 \times 4 \times 28}{5 \times 5} cm^{2}

\frac{9856}{25} cm^{2}

394.24 cm^{2}

(iii)

r = 14 cm

पृष्ठीय क्षेत्रफल=

4 π r^{2}

4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 cm^{2}

\frac{4 \times 22 \times 14 \times 14}{7} cm^{2}

4 \times 22 \times 2 \times 14 cm^{2}

2464 cm^{2}

उत्तर:

(i)

1386 cm^{2}

(ii)

394.24 cm^{2}

(iii)

2464 cm^{2}

प्रश्न 2

निम्न व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :(i) 14 cm(ii) 21 cm(iii) 3.5 m

ज्ञात है

गोले का व्यास

d

: (i) 14 cm (ii) 21 cm (iii) 3.5 m

ज्ञात करना है

प्रत्येक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: गोला, केंद्र O; व्यास d नारंगी

सूत्र (गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल): पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 π r^{2}

(i)

d = 14 cm

r

\frac{d}{2}

\frac{14}{2} cm

7 cm

पृष्ठीय क्षेत्रफल=

4 π r^{2}

4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 cm^{2}

\frac{4 \times 22 \times 7 \times 7}{7} cm^{2}

4 \times 22 \times 7 cm^{2}

616 cm^{2}

(ii)

d = 21 cm

r

\frac{d}{2}

\frac{21}{2} cm

10.5 cm

पृष्ठीय क्षेत्रफल=

4 π r^{2}

4 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 cm^{2}

4 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2} cm^{2}

\frac{4 \times 22 \times 21 \times 21}{7 \times 2 \times 2} cm^{2}

22 \times 3 \times 21 cm^{2}

1386 cm^{2}

(iii)

d = 3.5 m

r

\frac{d}{2}

\frac{3.5}{2} m

1.75 m

पृष्ठीय क्षेत्रफल=

4 π r^{2}

4 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 1.75 m^{2}

4 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} m^{2}

\frac{4 \times 22 \times 7 \times 7}{7 \times 4 \times 4} m^{2}

\frac{11 \times 7}{2} m^{2}

\frac{77}{2} m^{2}

38.5 m^{2}

उत्तर:

(i)

616 cm^{2}

(ii)

1386 cm^{2}

(iii)

38.5 m^{2}

प्रश्न 3

10 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ( $π = 3.14$ लीजिए।)

ज्ञात है

अर्धगोले की त्रिज्या

r = 10 cm

π = 3.14

ज्ञात करना है

अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: ठोस अर्धगोला; वक्र पृष्ठ + वृत्ताकार आधार; त्रिज्या r लाल

ठोस अर्धगोले के कुल पृष्ठ में उसका वक्र पृष्ठ $2 π r^{2}$ और वृत्ताकार आधार $π r^{2}$ दोनों आते हैं।

सूत्र (अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल): कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 π r^{2} + π r^{2} = 3 π r^{2}

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल=

3 π r^{2}

3 \times 3.14 \times 10 \times 10 cm^{2}

\frac{3 \times 157 \times 10 \times 10}{50} cm^{2}

3 \times 157 \times 2 cm^{2}

942 cm^{2}

उत्तर: अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 942 cm^{2}

है।

प्रश्न 4

एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7 cm से 14 cm हो जाती है। इन दोनों स्थितियों में, गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

गुब्बारे की त्रिज्या: पहले

r_{1} = 7 cm

, हवा भरने के बाद

r_{2} = 14 cm

ज्ञात करना है

दोनों स्थितियों में पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: गुब्बारा पहले (लाल त्रिज्या) और बाद में (नीली त्रिज्या); त्रिज्याएँ 7 : 14 (पैमाने पर)

सूत्र (गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल): पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 π r^{2}

माना पहली स्थिति में पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_{1}$ और दूसरी स्थिति में $S_{2}$ है।

\frac{S _{1}}{S _{2}}

\frac{4 π r _{1} ^{2}}{4 π r _{2} ^{2}}

\frac{4 π \times 7 \times 7}{4 π \times 14 \times 14}

\frac{7 \times 7}{14 \times 14}

\frac{7 \times 7}{( 2 \times 7 ) \times ( 2 \times 7 )}

\frac{1}{2 \times 2}

\frac{1}{4}

उत्तर: पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 1 : 4 है।

प्रश्न 5

पीतल से बने एक अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास 10.5 cm है। ₹16 प्रति 100 $cm^{2}$ की दर से इसके आंतरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास

d = 10.5 cm

कलई की दर = ₹16 प्रति 100

cm^{2}

ज्ञात करना है

आंतरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: अर्धगोलाकार कटोरा; आंतरिक व्यास d नारंगी

आंतरिक त्रिज्या

r

r

\frac{d}{2}

\frac{10.5}{2} cm

5.25 cm

सूत्र (अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल): वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 π r^{2}

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=

2 π r^{2}

2 \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25 cm^{2}

2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} cm^{2}

\frac{2 \times 22 \times 21 \times 21}{7 \times 4 \times 4} cm^{2}

\frac{11 \times 3 \times 21}{4} cm^{2}

\frac{693}{4} cm^{2}

173.25 cm^{2}

कलई का व्यय

100 cm^{2}

का व्यय=

16

रुपये

173.25 cm^{2}

का व्यय=

\frac{16}{100} \times 173.25

रुपये=

0.16 \times 173.25

रुपये=

27.72

रुपये

उत्तर: आंतरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ₹27.72 है।

प्रश्न 6

उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 $cm^{2}$ है।

ज्ञात है

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 154 cm^{2}

ज्ञात करना है

गोले की त्रिज्या

r

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: गोला, केंद्र O; त्रिज्या r लाल

सूत्र (गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल): पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 π r^{2}

4 π r^{2}

154 cm^{2}

4 \times \frac{22}{7} \times r^{2}

154 cm^{2}

\frac{88}{7} r^{2}

154 cm^{2}

r^{2}

\frac{154 \times 7}{88} cm^{2}

r^{2}

\frac{1078}{88} cm^{2}

r^{2}

12.25 cm^{2}

अभाज्य गुणनखंड (भाग-विधि से):

1225 के अभाज्य गुणनखंड:

5	1225
5	245
7	49
7	7
	1

1225 = 5 × 5 × 7 × 7

100 के अभाज्य गुणनखंड:

2	100
2	50
5	25
5	5
	1

100 = 2 × 2 × 5 × 5

r

12.25 cm

\frac{1225}{100} cm

\frac{5 \times 5 \times 7 \times 7}{2 \times 2 \times 5 \times 5} cm

\frac{( 5 \times 5 ) \times ( 7 \times 7 )}{( 2 \times 2 ) \times ( 5 \times 5 )} cm

\frac{5 \times 7}{2 \times 5} cm

\frac{35}{10} cm

3.5 cm

उत्तर: गोले की त्रिज्या

= 3.5 cm

है।

प्रश्न 7

चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

चंद्रमा का व्यास = पृथ्वी के व्यास का

\frac{1}{4}

(लगभग)

ज्ञात करना है

चंद्रमा और पृथ्वी के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: पृथ्वी (त्रिज्या R नीली) और चंद्रमा (त्रिज्या r लाल); r = R/4 (पैमाने पर)

माना पृथ्वी का व्यास $2 R$ है, तो उसकी त्रिज्या $R$ होगी।

चंद्रमा का व्यास=

\frac{1}{4} \times 2 R

\frac{R}{2}

चंद्रमा की त्रिज्या

r

\frac{1}{2} \times \frac{R}{2}

\frac{R}{4}

सूत्र (गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल): पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 π r^{2}

माना चंद्रमा का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_{1}$ और पृथ्वी का $S_{2}$ है।

\frac{S _{1}}{S _{2}}

\frac{4 π r ^{2}}{4 π R ^{2}}

\frac{r ^{2}}{R ^{2}}

\frac{( \frac{R}{4} ) ^{2}}{R ^{2}}

\frac{R ^{2}}{16} \times \frac{1}{R ^{2}}

\frac{1}{16}

उत्तर: चंद्रमा और पृथ्वी के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 1 : 16 है।

प्रश्न 8

एक अर्धगोलाकार कटोरा 0.25 cm मोटी स्टील से बना है। इस कटोरे की आंतरिक त्रिज्या 5 cm है। कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

कटोरे की आंतरिक त्रिज्या

r = 5 cm

स्टील की मोटाई = 0.25 cm

ज्ञात करना है

कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: अर्धगोलाकार कटोरा (पैमाने पर); आंतरिक त्रिज्या r लाल, बाहरी त्रिज्या R बैंगनी

बाहरी त्रिज्या

R

R

r +

मोटाई=

5 + 0.25 cm

5.25 cm

सूत्र (अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल): वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 π R^{2}

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=

2 π R^{2}

2 \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25 cm^{2}

2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} cm^{2}

\frac{2 \times 22 \times 21 \times 21}{7 \times 4 \times 4} cm^{2}

\frac{11 \times 3 \times 21}{4} cm^{2}

\frac{693}{4} cm^{2}

173.25 cm^{2}

उत्तर: कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 173.25 cm^{2}

है।

प्रश्न 9

एक लंब वृत्तीय बेलन त्रिज्या $r$ वाले एक गोले को पूर्णतया घेरे हुए है (देखिए आकृति 11.10)। ज्ञात कीजिए:(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल(iii) ऊपर(i) और(ii) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात

ज्ञात है

गोले की त्रिज्या

r

; लंब वृत्तीय बेलन गोले को पूर्णतया घेरे हुए है

ज्ञात करना है

(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) दोनों क्षेत्रफलों का अनुपात

आकृति 11.10

हल की आकृति: बेलन की त्रिज्या = r (लाल), ऊँचाई = व्यास = 2r (नीली)

(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

सूत्र (गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल): पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 4 π r^{2}

पृष्ठीय क्षेत्रफल=

4 π r^{2}

(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

बेलन गोले को पूर्णतया घेरे हुए है, इसलिए:

बेलन की त्रिज्या=गोले की त्रिज्या=

r

बेलन की ऊँचाई

h

=गोले का व्यास=

2 r

सूत्र (बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल): वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 π r h

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=

2 π r h

2 π \times r \times 2 r

4 π r^{2}

(iii) अनुपात

माना (i) का क्षेत्रफल $S_{1}$ और (ii) का $S_{2}$ है।

\frac{S _{1}}{S _{2}}

\frac{4 π r ^{2}}{4 π r ^{2}}

\frac{1}{1}

उत्तर:

(i)

4 π r^{2}

(ii)

4 π r^{2}

(iii) अनुपात 1 : 1

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 11 ‘पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन’ के अनुसार है।