प्रश्नावली 11.1 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 11: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन · 8 प्रश्न

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7 प्र. 8

प्रश्न 1

एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 cm है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

जब तक अन्यथा न कहा जाए,

π = \frac{22}{7}

लीजिए।

ज्ञात है

शंकु के आधार का व्यास

d = 10.5 cm

तिर्यक ऊँचाई

l = 10 cm

ज्ञात करना है

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: शंकु (पैमाने पर); व्यास d नारंगी, तिर्यक ऊँचाई l हरी

आधार की त्रिज्या

r

ज्ञात करना

r

\frac{d}{2}

\frac{10.5}{2} cm

5.25 cm

सूत्र (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल): वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= π r l

, जहाँ

r

= आधार की त्रिज्या,

l

= तिर्यक ऊँचाई

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=

π r l

\frac{22}{7} \times 5.25 \times 10 cm^{2}

\frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times 10 cm^{2}

\frac{22 \times 21 \times 10}{7 \times 4} cm^{2}

11 \times 3 \times 5 cm^{2}

165 cm^{2}

उत्तर: शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 165 cm^{2}

है।

प्रश्न 2

एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21 m है और आधार का व्यास 24 m है।

ज्ञात है

तिर्यक ऊँचाई

l = 21 m

आधार का व्यास

d = 24 m

ज्ञात करना है

शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: शंकु (पैमाने पर); व्यास d नारंगी, तिर्यक ऊँचाई l हरी

आधार की त्रिज्या

r

ज्ञात करना

r

\frac{d}{2}

\frac{24}{2} m

12 m

सूत्र (शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल): कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= π r l + π r^{2} = π r (l + r)

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल=

π r (l + r)

\frac{22}{7} \times 12 \times (21 + 12) m^{2}

\frac{22}{7} \times 12 \times 33 m^{2}

\frac{22 \times 12 \times 33}{7} m^{2}

\frac{8712}{7} m^{2}

1244 \frac{4}{7} m^{2}

उत्तर: शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 1244 \frac{4}{7} m^{2}

है।

प्रश्न 3

एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 $cm^{2}$ है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 cm है। ज्ञात कीजिए :(i) आधार की त्रिज्या(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

ज्ञात है

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 308 cm^{2}

तिर्यक ऊँचाई

l = 14 cm

ज्ञात करना है

(i) आधार की त्रिज्या

r

(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: शंकु (पैमाने पर); त्रिज्या r लाल, तिर्यक ऊँचाई l हरी

(i) आधार की त्रिज्या

सूत्र (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल): वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= π r l

, जहाँ

r

= आधार की त्रिज्या,

l

= तिर्यक ऊँचाई

π r l

308 cm^{2}

\frac{22}{7} \times r \times 14

308 cm^{2}

22 \times r \times 2

308 cm^{2}

44 r

308 cm^{2}

r

\frac{308}{44} cm

r

7 cm

(ii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

सूत्र (शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल): कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= π r l + π r^{2} = π r (l + r)

पहले आधार का क्षेत्रफल $π r^{2}$ ज्ञात करते हैं:

π r^{2}

\frac{22}{7} \times 7 \times 7 cm^{2}

\frac{22 \times 7 \times 7}{7} cm^{2}

22 \times 7 cm^{2}

154 cm^{2}

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल=

π r l + π r^{2}

308 + 154 cm^{2}

462 cm^{2}

उत्तर:

(i) आधार की त्रिज्या

= 7 cm

(ii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 462 cm^{2}

प्रश्न 4

शंकु के आकार का एक तंबू 10 m ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 m है। ज्ञात कीजिए :(i) तंबू की तिर्यक ऊँचाई(ii) तंबू में लगे केनवास (canvas) की लागत, यदि 1 $m^{2}$ केनवास की लागत 70 रुपए है।

ज्ञात है

तंबू (शंकु) की ऊँचाई

h = 10 m

आधार की त्रिज्या

r = 24 m

m^{2}

केनवास की लागत = ₹70

ज्ञात करना है

(i) तंबू की तिर्यक ऊँचाई

l

(ii) तंबू में लगे केनवास की लागत

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: तंबू (पैमाने पर); r लाल, h नीली, l हरी

(i) तिर्यक ऊँचाई

सूत्र (तिर्यक ऊँचाई):

l = h^{2} + r^{2}

(क्योंकि

l^{2} = h^{2} + r^{2}

, पाइथागोरस प्रमेय)

अभाज्य गुणनखंड (भाग-विधि से):

676 के अभाज्य गुणनखंड:

2	676
2	338
13	169
13	13
	1

676 = 2 × 2 × 13 × 13

l

h^{2} + r^{2}

10^{2} + 24^{2} m

100 + 576 m

676 m

2 \times 2 \times 13 \times 13 m

(2 \times 2) \times (13 \times 13) m

2 \times 13 m

26 m

(ii) केनवास की लागत

तंबू में लगा केनवास = तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

सूत्र (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल): वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= π r l

, जहाँ

r

= आधार की त्रिज्या,

l

= तिर्यक ऊँचाई

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=

π r l

\frac{22}{7} \times 24 \times 26 m^{2}

\frac{22 \times 24 \times 26}{7} m^{2}

\frac{13728}{7} m^{2}

केनवास की लागत

लागत=क्षेत्रफल

\times

दर=

\frac{13728}{7} \times 70

रुपये=

13728 \times 10

रुपये=

137280

रुपये

उत्तर:

(i) तंबू की तिर्यक ऊँचाई

= 26 m

(ii) केनवास की लागत ₹1,37,280

प्रश्न 5

8 m ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 m वाले एक शंकु के आकार का तंबू बनाने में 3 m चौड़े तिरपाल की कितनी लंबाई लगेगी? यह मान कर चलिए कि इसकी सिलाई और कटाई में 20 cm तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। ( $π = 3.14$ का प्रयोग कीजिए।)

ज्ञात है

तंबू (शंकु) की ऊँचाई

h = 8 m

, आधार की त्रिज्या

r = 6 m

तिरपाल की चौड़ाई = 3 m
सिलाई और कटाई के लिए अतिरिक्त तिरपाल = 20 cm

π = 3.14

ज्ञात करना है

तिरपाल की कुल लंबाई

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: तंबू (पैमाने पर); r लाल, h नीली, l हरी

तिर्यक ऊँचाई

l

ज्ञात करना

सूत्र (तिर्यक ऊँचाई):

l = h^{2} + r^{2}

(क्योंकि

l^{2} = h^{2} + r^{2}

, पाइथागोरस प्रमेय)

अभाज्य गुणनखंड (भाग-विधि से):

100 के अभाज्य गुणनखंड:

2	100
2	50
5	25
5	5
	1

100 = 2 × 2 × 5 × 5

l

h^{2} + r^{2}

8^{2} + 6^{2} m

64 + 36 m

100 m

2 \times 2 \times 5 \times 5 m

(2 \times 2) \times (5 \times 5) m

2 \times 5 m

10 m

तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (

π = 3.14

)

सूत्र (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल): वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= π r l

, जहाँ

r

= आधार की त्रिज्या,

l

= तिर्यक ऊँचाई

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=

π r l

3.14 \times 6 \times 10 m^{2}

\frac{157}{50} \times 6 \times 10 m^{2}

\frac{157 \times 6 \times 10}{50} m^{2}

\frac{157 \times 3 \times 2}{5} m^{2}

\frac{942}{5} m^{2}

188.4 m^{2}

तिरपाल की लंबाई

तिरपाल का क्षेत्रफल = तंबू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, और तिरपाल आयताकार है:

सूत्र (आयत का क्षेत्रफल): क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

लंबाई

\times 3

188.4 m^{2}

लंबाई=

\frac{188.4}{3} m

लंबाई=

62.8 m

अतिरिक्त तिरपाल = 20 cm = $\frac{20}{100}$ m = 0.2 m

कुल लंबाई=

62.8 + 0.2 m

63 m

उत्तर: 3 m चौड़े तिरपाल की 63 m लंबाई लगेगी।

प्रश्न 6

शंकु के आधार की एक गुंबज की तिर्यक ऊँचाई और आधार व्यास क्रमश: 25 m और 14 m हैं। इसकी वक्र पृष्ठ पर ₹ 210 प्रति 100 $m^{2}$ की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

गुंबज (शंकु) की तिर्यक ऊँचाई

l = 25 m

आधार का व्यास

d = 14 m

सफेदी की दर = ₹210 प्रति 100

m^{2}

ज्ञात करना है

वक्र पृष्ठ पर सफेदी कराने का व्यय

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: गुंबज (पैमाने पर); व्यास d नारंगी, तिर्यक ऊँचाई l हरी

आधार की त्रिज्या

r

ज्ञात करना

r

\frac{d}{2}

\frac{14}{2} m

7 m

सूत्र (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल): वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= π r l

, जहाँ

r

= आधार की त्रिज्या,

l

= तिर्यक ऊँचाई

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=

π r l

\frac{22}{7} \times 7 \times 25 m^{2}

\frac{22 \times 7 \times 25}{7} m^{2}

22 \times 25 m^{2}

550 m^{2}

सफेदी का व्यय

100 m^{2}

का व्यय=

210

रुपये

1 m^{2}

का व्यय=

\frac{210}{100}

रुपये

550 m^{2}

का व्यय=

\frac{210}{100} \times 550

रुपये=

\frac{210 \times 550}{100}

रुपये=

21 \times 55

रुपये=

1155

रुपये

उत्तर: वक्र पृष्ठ पर सफेदी कराने का व्यय ₹1155 है।

प्रश्न 7

एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

टोपी (शंकु) के आधार की त्रिज्या

r = 7 cm

ऊँचाई

h = 24 cm

टोपियों की संख्या = 10

ज्ञात करना है

10 टोपियों के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: टोपी (पैमाने पर); r लाल, h नीली, l हरी

तिर्यक ऊँचाई

l

ज्ञात करना

सूत्र (तिर्यक ऊँचाई):

l = h^{2} + r^{2}

(क्योंकि

l^{2} = h^{2} + r^{2}

, पाइथागोरस प्रमेय)

अभाज्य गुणनखंड (भाग-विधि से):

625 के अभाज्य गुणनखंड:

5	625
5	125
5	25
5	5
	1

625 = 5 × 5 × 5 × 5

l

h^{2} + r^{2}

24^{2} + 7^{2} cm

576 + 49 cm

625 cm

5 \times 5 \times 5 \times 5 cm

(5 \times 5) \times (5 \times 5) cm

5 \times 5 cm

25 cm

एक टोपी के लिए गत्ता = टोपी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

सूत्र (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल): वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= π r l

, जहाँ

r

= आधार की त्रिज्या,

l

= तिर्यक ऊँचाई

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=

π r l

\frac{22}{7} \times 7 \times 25 cm^{2}

\frac{22 \times 7 \times 25}{7} cm^{2}

22 \times 25 cm^{2}

550 cm^{2}

10 टोपियों के लिए गत्ता=

10 \times 550 cm^{2}

5500 cm^{2}

उत्तर: 10 टोपियाँ बनाने के लिए

5500 cm^{2}

गत्ते की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 8

किसी बस स्टाप को पुराने गत्ते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास 40 cm है और ऊँचाई 1 m है। यदि इन शंकुओं की बाहरी पृष्ठों को पेंट करवाना है और पेंट की दर ₹ 12 प्रति $m^{2}$ है, तो इनको पेंट कराने में कितनी लागत आएगी? ( $π = 3.14$ और $1.04 = 1.02$ का प्रयोग कीजिए।)

ज्ञात है

शंकुओं की संख्या = 50
प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास

d = 40 cm

, ऊँचाई

h = 1 m

पेंट की दर = ₹12 प्रति

m^{2}

π = 3.14, 1.04 = 1.02

ज्ञात करना है

सभी शंकुओं के बाहरी पृष्ठों को पेंट कराने की लागत

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: एक शंकु (पैमाने पर); d नारंगी, h नीली, l हरी

त्रिज्या

r

(मीटर में)

r

\frac{d}{2}

\frac{40}{2} cm

20 cm

\frac{20}{100} m

0.2 m

तिर्यक ऊँचाई

l

सूत्र (तिर्यक ऊँचाई):

l = h^{2} + r^{2}

(क्योंकि

l^{2} = h^{2} + r^{2}

, पाइथागोरस प्रमेय)

l

h^{2} + r^{2}

1^{2} + 0.2^{2} m

1 + 0.04 m

1.04 m

1.02 m

(प्रश्न में दिया है: $1.04 = 1.02$ )

एक शंकु का बाहरी (वक्र) पृष्ठ (

π = 3.14

)

सूत्र (शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल): वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= π r l

, जहाँ

r

= आधार की त्रिज्या,

l

= तिर्यक ऊँचाई

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल=

π r l

3.14 \times 0.2 \times 1.02 m^{2}

\frac{157}{50} \times \frac{1}{5} \times \frac{51}{50} m^{2}

\frac{157 \times 1 \times 51}{50 \times 5 \times 50} m^{2}

\frac{8007}{12500} m^{2}

0.64056 m^{2}

50 शंकुओं का पृष्ठ=

50 \times 0.64056 m^{2}

32.028 m^{2}

पेंट कराने की लागत

लागत=

32.028 \times 12

रुपये=

384.336

रुपये=

384.34

रुपये (पैसे तक)

उत्तर: सभी 50 शंकुओं को पेंट कराने की लागत ₹384.34 (₹384.336, पैसे तक) होगी।

← प्रश्नावली 10.1 प्रश्नावली 11.2 →

यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 11 ‘पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन’ के अनुसार है।