प्रश्नावली 10.1 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 10: हीरोन का सूत्र · 6 प्रश्न

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6

प्रश्न 1

एक यातायात संकेत बोर्ड पर ‘आगे स्कूल है’ लिखा है और यह भुजा ‘ $a$ ’ वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 cm है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?

ज्ञात है

यातायात संकेत बोर्ड एक समबाहु त्रिभुज है; प्रत्येक भुजा =

a

(ii) में: बोर्ड का परिमाप = 180 cm

ज्ञात करना है

(i) हीरोन के सूत्र से बोर्ड का क्षेत्रफल (

a

के पदों में)
(ii) परिमाप 180 cm होने पर बोर्ड का क्षेत्रफल

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: समबाहु त्रिभुज ABC; तीनों भुजाएँ a (लाल), बराबर भुजाओं पर एक-एक चिह्न

भुजा a और s − aअर्धपरिमाप s

सूत्र (हीरोन का सूत्र): त्रिभुज का क्षेत्रफल

= s (s - a) (s - b) (s - c)

, जहाँ

a, b, c

त्रिभुज की भुजाएँ हैं और

s = \frac{a + b + c}{2}

(अर्धपरिमाप) है।

(i) भुजा

a

वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

यहाँ तीनों भुजाएँ BC, CA और AB बराबर हैं; प्रत्येक भुजा $= a$

अर्धपरिमाप

s

ज्ञात करना

s

\frac{a + a + a}{2}

\frac{3 a}{2}

s - a

ज्ञात करना

तीनों भुजाएँ $a$ हैं, इसलिए $(s - a)$ तीनों गुणनखंडों में एक ही होगा:

s - a

\frac{3 a}{2} - a

\frac{3 a}{2} - \frac{2 a}{2}

\frac{3 a - 2 a}{2}

\frac{a}{2}

हीरोन के सूत्र में मान रखने पर (बोर्ड का क्षेत्रफल):

क्षेत्रफल=

s (s - a) (s - a) (s - a)

\frac{3 a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2}

\frac{3 \times a \times a \times a \times a}{2 \times 2 \times 2 \times 2}

\frac{3 \times ( a \times a ) \times ( a \times a )}{( 2 \times 2 ) \times ( 2 \times 2 )}

\frac{a \times a}{2 \times 2} 3

\frac{a ^{2}}{4} 3

\frac{3}{4} a^{2}

( $a$ cm में हो, तो क्षेत्रफल $cm^{2}$ में होगा।)

(ii) परिमाप 180 cm होने पर क्षेत्रफल

भुजा

a

ज्ञात करना

सूत्र (समबाहु त्रिभुज का परिमाप):

a + a + a = 3 a

(तीनों भुजाएँ बराबर)

3 a

180

a

\frac{180}{3}

a

60 cm

अर्धपरिमाप

s

ज्ञात करना

s

\frac{a + a + a}{2}

\frac{60 + 60 + 60}{2}

\frac{180}{2}

90 cm

s - a

ज्ञात करना

तीनों भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए $(s - a)$ तीनों गुणनखंडों में एक ही होगा:

s - a

90 - 60

30 cm

गुणनखंड (अभाज्य गुणनखंड भाग-विधि से):

90 के अभाज्य गुणनखंड:

2	90
3	45
3	15
5	5
	1

90 = 2 × 3 × 3 × 5

30 के अभाज्य गुणनखंड:

2	30
3	15
5	5
	1

30 = 2 × 3 × 5

अब हीरोन के सूत्र में मान रखने पर (बोर्ड का क्षेत्रफल):

क्षेत्रफल=

s (s - a) (s - a) (s - a)

90 (90 - 60) (90 - 60) \times (90 - 60) cm^{2}

90 \times 30 \times 30 \times 30 cm^{2}

(2 \times 3 \times 3 \times 5) \times (2 \times 3 \times 5) \times (2 \times 3 \times 5) \times (2 \times 3 \times 5) cm^{2}

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 cm^{2}

(2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (3 \times 3) \times (3 \times 3) \times (5 \times 5) \times (5 \times 5) \times 3 cm^{2}

2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 3 cm^{2}

9003 cm^{2}

जाँच ((i) के सूत्र से)

\frac{3}{4} a^{2}

\frac{3}{4} \times 6 0^{2}

\frac{3}{4} \times 3600

3 \times 900

9003 cm^{2}

दोनों विधियों से एक ही उत्तर ✔

उत्तर:

(i) बोर्ड का क्षेत्रफल

= \frac{3}{4} a^{2}

(ii) परिमाप 180 cm होने पर क्षेत्रफल

= 9003 cm^{2}

(

3 = 1.732

लेने पर लगभग

1558.8 cm^{2}

)

प्रश्न 2

किसी फ्लाईओवर (flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लंबाइयाँ 122 m, 22 m और 120 m हैं (देखिए आकृति 10.6)। इस विज्ञापन से प्रति वर्ष ₹5000 प्रति $m^{2}$ की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया?

ज्ञात है

त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएँ:

a = 122 m, b = 22 m, c = 120 m

किराया: ₹5000 प्रति

m^{2}

प्रति वर्ष; दीवार 3 महीने के लिए किराए पर

ज्ञात करना है

कंपनी द्वारा दिया गया कुल किराया

आकृति 10.6

हल की आकृति: दीवार △ABC (पैमाने पर); a = BC लाल, b = CA नीली, c = AB हरी

a = 122 m, s − ab = 22 m, s − bc = 120 m, s − cs

सूत्र (हीरोन का सूत्र): त्रिभुज का क्षेत्रफल

= s (s - a) (s - b) (s - c)

, जहाँ

a, b, c

त्रिभुज की भुजाएँ हैं और

s = \frac{a + b + c}{2}

(अर्धपरिमाप) है।

अर्धपरिमाप

s

ज्ञात करना

s

\frac{a + b + c}{2}

\frac{122 + 22 + 120}{2}

\frac{264}{2}

132 m

s - a, s - b, s - c

ज्ञात करना

s - a

132 - 122

10 m

s - b

132 - 22

110 m

s - c

132 - 120

12 m

गुणनखंड (अभाज्य गुणनखंड भाग-विधि से):

132 के अभाज्य गुणनखंड:

2	132
2	66
3	33
11	11
	1

132 = 2 × 2 × 3 × 11

10 के अभाज्य गुणनखंड:

2	10
5	5
	1

10 = 2 × 5

110 के अभाज्य गुणनखंड:

2	110
5	55
11	11
	1

110 = 2 × 5 × 11

12 के अभाज्य गुणनखंड:

2	12
2	6
3	3
	1

12 = 2 × 2 × 3

अब हीरोन के सूत्र में मान रखने पर (दीवार का क्षेत्रफल):

क्षेत्रफल=

s (s - a) (s - b) (s - c)

132 (132 - 122) \times (132 - 22) \times (132 - 120) m^{2}

132 \times 10 \times 110 \times 12 m^{2}

(2 \times 2 \times 3 \times 11) \times (2 \times 5) \times (2 \times 5 \times 11) \times (2 \times 2 \times 3) m^{2}

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 11 \times 11 m^{2}

(2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (3 \times 3) \times (5 \times 5) \times (11 \times 11) m^{2}

2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 11 m^{2}

1320 m^{2}

जाँच

दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग:

12 0^{2} + 2 2^{2}

14400 + 484

14884

12 2^{2}

अतः पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से दीवार एक समकोण त्रिभुज है (समकोण A पर, आधार 120 m, ऊँचाई 22 m)।

क्षेत्रफल=

\frac{1}{2} \times

आधार

\times

ऊँचाई=

\frac{1}{2} \times 120 \times 22

60 \times 22

1320 m^{2}

हीरोन के सूत्र से प्राप्त क्षेत्रफल सही है ✔

3 महीने का किराया

1 वर्ष = 12 महीने। 1 $m^{2}$ का 12 महीने का किराया ₹5000 है।

m^{2}

का 1 महीने का किराया=

\frac{5000}{12}

रुपये

m^{2}

का 3 महीने का किराया=

\frac{5000}{12} \times 3

रुपये=

\frac{15000}{12}

रुपये=

1250

रुपये

1320

m^{2}

का 3 महीने का किराया=

1320 \times 1250

रुपये=

1650000

रुपये

उत्तर: कंपनी ने 3 महीने का कुल किराया ₹16,50,000 दिया। (दीवार का क्षेत्रफल

1320 m^{2}

)

प्रश्न 3

किसी पार्क में एक फिसल पट्टी (slide) बनी हुई है। इसकी पार्श्वीय दीवारों (side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर “पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए” लिखा हुआ है (देखिए आकृति 10.7)। यदि इस दीवार की विमाएँ 15 m, 11 m और 6 m हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

पेंट की गई त्रिभुजाकार दीवार की विमाएँ:

a = 15 m, b = 11 m, c = 6 m

ज्ञात करना है

रंग से पेंट हुए भाग (त्रिभुजाकार दीवार) का क्षेत्रफल

आकृति 10.7

हल की आकृति: दीवार △ABC (पैमाने पर); a = BC लाल, b = CA नीली, c = AB हरी

a = 15 m, s − ab = 11 m, s − bc = 6 m, s − cs

सूत्र (हीरोन का सूत्र): त्रिभुज का क्षेत्रफल

= s (s - a) (s - b) (s - c)

, जहाँ

a, b, c

त्रिभुज की भुजाएँ हैं और

s = \frac{a + b + c}{2}

(अर्धपरिमाप) है।

अर्धपरिमाप

s

ज्ञात करना

s

\frac{a + b + c}{2}

\frac{15 + 11 + 6}{2}

\frac{32}{2}

16 m

s - a, s - b, s - c

ज्ञात करना

s - a

16 - 15

1 m

s - b

16 - 11

5 m

s - c

16 - 6

10 m

गुणनखंड (अभाज्य गुणनखंड भाग-विधि से):

16 के अभाज्य गुणनखंड:

2	16
2	8
2	4
2	2
	1

16 = 2 × 2 × 2 × 2

10 के अभाज्य गुणनखंड:

2	10
5	5
	1

10 = 2 × 5

5 अभाज्य संख्या है।

अब हीरोन के सूत्र में मान रखने पर (पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल):

क्षेत्रफल=

s (s - a) (s - b) (s - c)

16 (16 - 15) (16 - 11) \times (16 - 6) m^{2}

16 \times 1 \times 5 \times 10 m^{2}

(2 \times 2 \times 2 \times 2) \times 1 \times 5 \times (2 \times 5) m^{2}

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 m^{2}

(2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (5 \times 5) \times 2 m^{2}

2 \times 2 \times 5 \times 2 m^{2}

202 m^{2}

उत्तर: रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल

= 202 m^{2}

(

2 = 1.414

लेने पर लगभग

28.28 m^{2}

)

प्रश्न 4

उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 cm और 10 cm हैं तथा उसका परिमाप 42 cm है।

ज्ञात है

त्रिभुज की दो भुजाएँ

a = 18 cm, b = 10 cm

परिमाप = 42 cm

ज्ञात करना है

त्रिभुज का क्षेत्रफल

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: △ABC (पैमाने पर); a = BC लाल, b = CA नीली, तीसरी भुजा c = AB हरी

a = 18 cm, s − ab = 10 cm, s − bc (तीसरी भुजा), s − cs

तीसरी भुजा

c

ज्ञात करना

सूत्र (त्रिभुज का परिमाप): परिमाप

= a + b + c

18 + 10 + c

42

28 + c

42

c

42 - 28

c

14 cm

सूत्र (हीरोन का सूत्र): त्रिभुज का क्षेत्रफल

= s (s - a) (s - b) (s - c)

, जहाँ

a, b, c

त्रिभुज की भुजाएँ हैं और

s = \frac{a + b + c}{2}

(अर्धपरिमाप) है।

अर्धपरिमाप

s

ज्ञात करना

s

\frac{a + b + c}{2}

\frac{18 + 10 + 14}{2}

\frac{42}{2}

21 cm

s - a, s - b, s - c

ज्ञात करना

s - a

21 - 18

3 cm

s - b

21 - 10

11 cm

s - c

21 - 14

7 cm

गुणनखंड (अभाज्य गुणनखंड भाग-विधि से):

21 के अभाज्य गुणनखंड:

3	21
7	7
	1

21 = 3 × 7

3, 7, 11 अभाज्य संख्याएँ हैं।

अब हीरोन के सूत्र में मान रखने पर (त्रिभुज का क्षेत्रफल):

क्षेत्रफल=

s (s - a) (s - b) (s - c)

21 (21 - 18) (21 - 10) \times (21 - 14) cm^{2}

21 \times 3 \times 11 \times 7 cm^{2}

(3 \times 7) \times 3 \times 11 \times 7 cm^{2}

3 \times 3 \times 7 \times 7 \times 11 cm^{2}

(3 \times 3) \times (7 \times 7) \times 11 cm^{2}

3 \times 7 \times 11 cm^{2}

2111 cm^{2}

उत्तर: त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 2111 cm^{2}

(

11 = 3.317

लेने पर लगभग

69.66 cm^{2}

)

प्रश्न 5

एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है और उसका परिमाप 540 cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात = 12 : 17 : 25
परिमाप = 540 cm

ज्ञात करना है

भुजाएँ और त्रिभुज का क्षेत्रफल

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: △ABC (पैमाने पर); a = BC लाल, b = CA नीली, c = AB हरी

a = 12x, s − ab = 17x, s − bc = 25x, s − cs

भुजाएँ ज्ञात करना

माना भुजाएँ $12 x, 17 x$ और $25 x$ cm हैं।

सूत्र (त्रिभुज का परिमाप): परिमाप

= a + b + c

12 x + 17 x + 25 x

540

54 x

540

x

\frac{540}{54}

x

10

a

12 x

12 \times 10

120 cm

b

17 x

17 \times 10

170 cm

c

25 x

25 \times 10

250 cm

सूत्र (हीरोन का सूत्र): त्रिभुज का क्षेत्रफल

= s (s - a) (s - b) (s - c)

, जहाँ

a, b, c

त्रिभुज की भुजाएँ हैं और

s = \frac{a + b + c}{2}

(अर्धपरिमाप) है।

अर्धपरिमाप

s

ज्ञात करना

s

\frac{a + b + c}{2}

\frac{120 + 170 + 250}{2}

\frac{540}{2}

270 cm

s - a, s - b, s - c

ज्ञात करना

s - a

270 - 120

150 cm

s - b

270 - 170

100 cm

s - c

270 - 250

20 cm

गुणनखंड (अभाज्य गुणनखंड भाग-विधि से):

270 के अभाज्य गुणनखंड:

2	270
3	135
3	45
3	15
5	5
	1

270 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5

150 के अभाज्य गुणनखंड:

2	150
3	75
5	25
5	5
	1

150 = 2 × 3 × 5 × 5

100 के अभाज्य गुणनखंड:

2	100
2	50
5	25
5	5
	1

100 = 2 × 2 × 5 × 5

20 के अभाज्य गुणनखंड:

2	20
2	10
5	5
	1

20 = 2 × 2 × 5

अब हीरोन के सूत्र में मान रखने पर (त्रिभुज का क्षेत्रफल):

क्षेत्रफल=

s (s - a) (s - b) (s - c)

270 (270 - 120) \times (270 - 170) \times (270 - 250) cm^{2}

270 \times 150 \times 100 \times 20 cm^{2}

(2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5) \times (2 \times 3 \times 5 \times 5) \times (2 \times 2 \times 5 \times 5) \times (2 \times 2 \times 5) cm^{2}

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 cm^{2}

(2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (3 \times 3) \times (3 \times 3) \times (5 \times 5) \times (5 \times 5) \times (5 \times 5) cm^{2}

2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 5 cm^{2}

9000 cm^{2}

उत्तर: त्रिभुज की भुजाएँ 120 cm, 170 cm और 250 cm हैं तथा इसका क्षेत्रफल

= 9000 cm^{2}

है।

प्रश्न 6

एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 cm लम्बाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

समद्विबाहु त्रिभुज: बराबर भुजाएँ

a = b = 12 cm

परिमाप = 30 cm

ज्ञात करना है

त्रिभुज का क्षेत्रफल

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: समद्विबाहु △ABC (पैमाने पर); बराबर भुजाएँ a = BC लाल, b = CA नीली, आधार c = AB हरा

a = 12 cm, s − ab = 12 cm, s − bc (आधार), s − cs

तीसरी भुजा (आधार)

c

ज्ञात करना

सूत्र (त्रिभुज का परिमाप): परिमाप

= a + b + c

12 + 12 + c

30

24 + c

30

c

30 - 24

c

6 cm

सूत्र (हीरोन का सूत्र): त्रिभुज का क्षेत्रफल

= s (s - a) (s - b) (s - c)

, जहाँ

a, b, c

त्रिभुज की भुजाएँ हैं और

s = \frac{a + b + c}{2}

(अर्धपरिमाप) है।

अर्धपरिमाप

s

ज्ञात करना

s

\frac{a + b + c}{2}

\frac{12 + 12 + 6}{2}

\frac{30}{2}

15 cm

s - a, s - b, s - c

ज्ञात करना

s - a

15 - 12

3 cm

s - b

15 - 12

3 cm

s - c

15 - 6

9 cm

गुणनखंड (अभाज्य गुणनखंड भाग-विधि से):

15 के अभाज्य गुणनखंड:

3	15
5	5
	1

15 = 3 × 5

9 के अभाज्य गुणनखंड:

3	9
3	3
	1

9 = 3 × 3

3 अभाज्य संख्या है।

अब हीरोन के सूत्र में मान रखने पर (त्रिभुज का क्षेत्रफल):

क्षेत्रफल=

s (s - a) (s - b) (s - c)

15 (15 - 12) (15 - 12) \times (15 - 6) cm^{2}

15 \times 3 \times 3 \times 9 cm^{2}

(3 \times 5) \times 3 \times 3 \times (3 \times 3) cm^{2}

3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 cm^{2}

(3 \times 3) \times (3 \times 3) \times 3 \times 5 cm^{2}

3 \times 3 \times 3 \times 5 cm^{2}

3 \times 315 cm^{2}

915 cm^{2}

उत्तर: त्रिभुज का क्षेत्रफल

= 915 cm^{2}

(

15 = 3.873

लेने पर लगभग

34.86 cm^{2}

)

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 10 ‘हीरोन का सूत्र’ के अनुसार है।