प्रश्नावली 9.1 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 9: वृत्त · 2 प्रश्न

प्रश्न 1

याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।

ज्ञात है

दो सर्वांगसम वृत्त: केन्द्र O और O′, त्रिज्याएँ बराबर:

O A = OB = O^{'} C = O^{'} D

पहले वृत्त की जीवा AB, दूसरे वृत्त की जीवा CD

A B = C D

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:

∠ A OB = ∠ C O^{'} D

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: बराबर त्रिज्याएँ लाल और नीली, बराबर जीवाएँ हरी, केन्द्र पर बने कोण नारंगी

OA = O′COB = O′DAB = CD∠AOB, ∠CO′D

(1) सर्वांगसम वृत्त: दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों।

(2) प्रमेय 7.4 (SSS सर्वांगसमता नियम): यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ एक अन्य त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

△ A OB

और

△ C O^{'} D

में,

	कथन	कारण
भुजा	$O A = O^{'} C (1)$	सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर हैं
भुजा	$OB = O^{'} D (2)$	सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर हैं
भुजा	$A B = C D (3)$	दिया है (बराबर जीवाएँ)
	$△ A OB ≅ △ C O^{'} D$	(1), (2), (3) से, SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow C

O \leftrightarrow O^{'}

B \leftrightarrow D

(3) CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग): दो त्रिभुज सर्वांगसम हों, तो उनके संगत भाग (संगत भुजाएँ और संगत कोण) बराबर होते हैं।

कथन	कारण
$∠ A OB = ∠ C O^{'} D$	CPCT (शीर्ष O ↔ O′)

उत्तर: सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ AB और CD अपने केन्द्रों पर बराबर कोण बनाती हैं:

∠ A OB = ∠ C O^{'} D

। सिद्ध हुआ।

प्रश्न 2

सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करें, तो जीवाएँ बराबर होती हैं।

ज्ञात है

दो सर्वांगसम वृत्त: केन्द्र O और O′, त्रिज्याएँ बराबर:

O A = OB = O^{'} C = O^{'} D

जीवा AB (पहला वृत्त) और जीवा CD (दूसरा वृत्त) केन्द्रों पर बराबर कोण बनाती हैं:

∠ A OB = ∠ C O^{'} D

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:

A B = C D

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: बराबर त्रिज्याएँ लाल और नीली, केन्द्र पर बराबर कोण नारंगी, जीवाएँ हरी

OA = O′COB = O′D∠AOB = ∠CO′DAB, CD

(2) अभिगृहीत 7.1 (SAS सर्वांगसमता नियम): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।

△ A OB

और

△ C O^{'} D

में,

	कथन	कारण
भुजा	$O A = O^{'} C (1)$	सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर हैं
कोण	$∠ A OB = ∠ C O^{'} D (2)$	दिया है
भुजा	$OB = O^{'} D (3)$	सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर हैं
	$△ A OB ≅ △ C O^{'} D$	(1), (2), (3) से, SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा (कोण O, भुजाओं OA और OB के बीच का कोण है)

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow C

O \leftrightarrow O^{'}

B \leftrightarrow D

कथन	कारण
$A B = C D$	CPCT (A ↔ C, B ↔ D, इसलिए AB ↔ CD)

उत्तर: केन्द्रों पर बराबर कोण बनाने वाली जीवाएँ बराबर हैं:

A B = C D

। सिद्ध हुआ।

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 9 ‘वृत्त’ के अनुसार है।