प्रश्नावली 8.2 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 8: चतुर्भुज · 6 प्रश्न

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6

प्रश्न 1

ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति 8.20)। AC उसका एक विकर्ण है। दर्शाइए कि(i) $SR ∥ A C$ और $SR = \frac{1}{2} A C$ है।(ii) $PQ = SR$ है।(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

ज्ञात है

चतुर्भुज ABCD में P, Q, R, S क्रमशः AB, BC, CD, DA के मध्य-बिंदु:

A P = PB

BQ = QC

CR = R D

D S = S A

AC एक विकर्ण है

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i)

SR ∥ A C

और

SR = \frac{1}{2} A C

(ii)

PQ = SR

(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है

आकृति 8.20

हल की आकृति: मध्य-बिंदुओं के बराबर भाग रंगीन निशानों से; SR, PQ हरी (AC ∥), PS, QR भूरी (BD ∥)

SR, PQ (∥ AC)विकर्ण ACPS, QR (∥ BD), विकर्ण BDAP = PBBQ = QCCR = RDDS = SA

(i)

SR ∥ A C

और

SR = \frac{1}{2} A C

(1) प्रमेय 8.8 (मध्य-बिंदु प्रमेय): किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है। (पुस्तक: साथ ही यह रेखाखंड तीसरी भुजा का आधा होता है,

EF = \frac{1}{2} BC

।)

△ A C D

में, S भुजा DA का और R भुजा DC का मध्य-बिंदु है, इसलिए

कथन	कारण
$SR ∥ A C (1)$	मध्य-बिंदु प्रमेय (प्रमेय 8.8)
$SR = \frac{1}{2} A C (2)$	मध्य-बिंदु प्रमेय

(ii)

PQ = SR

△ A BC

में, P भुजा AB का और Q भुजा BC का मध्य-बिंदु है, इसलिए

कथन	कारण
$PQ ∥ A C (3)$	मध्य-बिंदु प्रमेय
$PQ = \frac{1}{2} A C (4)$	मध्य-बिंदु प्रमेय

PQ

=

\frac{1}{2} A C

((4) से)

=

SR \dots (5)

((2) से)

(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है

B और D को मिलाइए (विकर्ण BD, भूरी बिंदुदार रेखा)।

△ A B D

में, P और S क्रमशः AB और AD के मध्य-बिंदु हैं, इसलिए

कथन	कारण
$PS = \frac{1}{2} B D (6)$	मध्य-बिंदु प्रमेय

△ CB D

में, Q और R क्रमशः BC और CD के मध्य-बिंदु हैं, इसलिए

कथन	कारण
$QR = \frac{1}{2} B D (7)$	मध्य-बिंदु प्रमेय

PS

=

\frac{1}{2} B D

((6) से)

=

QR \dots (8)

((7) से)

(2) प्रमेय 8.3: यदि एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म बराबर हो, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।

चतुर्भुज PQRS में,

कथन	कारण
$PQ = SR$	(5) से — सम्मुख भुजाओं का पहला युग्म
$PS = QR$	(8) से — सम्मुख भुजाओं का दूसरा युग्म
$PQRS$	प्रमेय 8.3 से, PQRS एक समांतर चतुर्भुज है

दूसरी विधि: (1) और (3) से PQ ∥ AC ∥ SR, इसलिए PQ ∥ SR (प्रमेय 6.6); इसी प्रकार PS ∥ BD ∥ QR — सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हैं।

उत्तर:

(i)

SR ∥ A C

और

SR = \frac{1}{2} A C

(ii)

PQ = SR

(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है — सभी सिद्ध हुए।

प्रश्न 2

ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।

ज्ञात है

ABCD एक समचतुर्भुज है:

A B = BC = C D = D A

P, Q, R, S क्रमशः AB, BC, CD, DA के मध्य-बिंदु
विकर्ण AC, BD बिंदु O पर मिलते हैं

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है: चतुर्भुज PQRS एक आयत है

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: PQ, SR हरी (∥ AC), PS, QR भूरी (∥ BD); विकर्ण O पर समकोण बनाते हैं

PQ, SR ∥ ACPS, QR ∥ BD∠AOB = 90° और ∠QPSAP = PBBQ = QCCR = RDDS = SA

चरण 1: PQRS एक समांतर चतुर्भुज है

EF = \frac{1}{2} BC

।)

मध्य-बिंदु प्रमेय से,

कथन	कारण
$PQ ∥ A C, PQ = \frac{1}{2} A C (1)$	△ABC में P, Q मध्य-बिंदु हैं
$SR ∥ A C, SR = \frac{1}{2} A C (2)$	△ADC में S, R मध्य-बिंदु हैं
$PS ∥ B D, PS = \frac{1}{2} B D (3)$	△ABD में P, S मध्य-बिंदु हैं
$QR ∥ B D, QR = \frac{1}{2} B D (4)$	△CBD में Q, R मध्य-बिंदु हैं

PQ

=

SR

((1) और (2) से — दोनों ½AC हैं)

PS

=

QR

((3) और (4) से — दोनों ½BD हैं)

सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म बराबर हैं, इसलिए PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

चरण 2: PQRS का एक कोण

9 0^{\circ}

है

(3) उदाहरण 2 (पुस्तक): समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब होते हैं।

∠ A OB

=

9 0^{\circ} \dots (5)

(समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब हैं)

मान लीजिए PQ, BD को M पर और PS, AC को N पर काटती है।

(4) समांतर चतुर्भुज: वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हों, समांतर चतुर्भुज कहलाता है।

चतुर्भुज PMON में $PM ∥ NO$ ((1) से, PQ ∥ AC) और $PN ∥ MO$ ((3) से, PS ∥ BD)। अतः PMON एक समांतर चतुर्भुज है।

(5) प्रमेय 8.4: एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

∠ QPS

=

∠ MPN

(M, PQ पर और N, PS पर है — वही कोण)

=

∠ MON

(समांतर चतुर्भुज PMON के सम्मुख कोण (प्रमेय 8.4))

=

∠ A OB

(M, OB पर और N, OA पर है — वही कोण)

=

9 0^{\circ}

((5) से)

(6) आयत: आयत वह समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण समकोण हो।

PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $∠ QPS = 9 0^{\circ}$ है, इसलिए PQRS एक आयत है।

उत्तर: PQRS एक समांतर चतुर्भुज है और

∠ QPS = 9 0^{\circ}

, अतः चतुर्भुज PQRS एक आयत है। सिद्ध हुआ।

प्रश्न 3

ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।

ज्ञात है

ABCD एक आयत है (प्रत्येक कोण

9 0^{\circ}

)
P, Q, R, S क्रमशः AB, BC, CD, DA के मध्य-बिंदु

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है: चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: PQRS की चारों भुजाएँ हरी (बराबर); विकर्ण AC नीला, BD भूरा

PQ, QR, RS, SPविकर्ण ACविकर्ण BDसमकोण

चरण 1: आयत के विकर्ण बराबर हैं:

A C = B D

(1) अभिगृहीत 7.1 (SAS सर्वांगसमता नियम): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।

△ A BC

और

△ B A D

में,

	कथन	कारण
भुजा	$A B = B A$	उभयनिष्ठ भुजा
कोण	$∠ A BC = ∠ B A D$	आयत का प्रत्येक कोण 90° है
भुजा	$BC = A D$	आयत की सम्मुख भुजाएँ (प्रमेय 8.2)
	$△ A BC ≅ △ B A D$	SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow B

B \leftrightarrow A

C \leftrightarrow D

कथन	कारण
$A C = B D (1)$	CPCT

चरण 2: PQRS की चारों भुजाएँ बराबर हैं

(2) प्रमेय 8.8 (मध्य-बिंदु प्रमेय): किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है। (पुस्तक: साथ ही यह रेखाखंड तीसरी भुजा का आधा होता है,

EF = \frac{1}{2} BC

।)

मध्य-बिंदु प्रमेय से,

कथन	कारण
$PQ = \frac{1}{2} A C (2)$	△ABC में P, Q मध्य-बिंदु हैं
$SR = \frac{1}{2} A C (3)$	△ADC में S, R मध्य-बिंदु हैं
$PS = \frac{1}{2} B D (4)$	△ABD में P, S मध्य-बिंदु हैं
$QR = \frac{1}{2} B D (5)$	△CBD में Q, R मध्य-बिंदु हैं

PQ

=

\frac{1}{2} A C

((2) से)

=

\frac{1}{2} B D

((1) से AC = BD रखने पर)

=

PS

((4) से)

SR

=

\frac{1}{2} A C

((3) से)

=

PQ

((2) से)

QR

=

\frac{1}{2} B D

((5) से)

=

PS

((4) से)

अतः $PQ = QR = RS = SP$ — चारों भुजाएँ बराबर हैं।

(3) प्रमेय 8.3: यदि एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म बराबर हो, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।

सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं (PQ = SR, PS = QR), इसलिए PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।

(4) समचतुर्भुज: वह समांतर चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों, समचतुर्भुज कहलाता है।

PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए PQRS एक समचतुर्भुज है।

उत्तर:

PQ = QR = RS = SP

और PQRS एक समांतर चतुर्भुज है, अतः PQRS एक समचतुर्भुज है। सिद्ध हुआ।

प्रश्न 4

ABCD एक समलंब है, जिसमें $A B ∥ D C$ है। साथ ही, BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य-बिंदु है। E से होकर एक रेखा AB के समांतर खींची गई है, जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है (देखिए आकृति 8.21)। दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य-बिंदु है।

ज्ञात है

ABCD एक समलंब है:

A B ∥ D C

BD एक विकर्ण है
E, AD का मध्य-बिंदु:

A E = E D

E से होकर

EF ∥ A B

, F भुजा BC पर

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है: F भुजा BC का मध्य-बिंदु है:

BF = FC

आकृति 8.21

हल की आकृति: AB, EF, DC हरी (समांतर); AE = ED लाल, BG = GD नारंगी, BF = FC हरे-नीले

AB ∥ EF ∥ DCAE = EDBG = GDBF = FC

मान लीजिए EF, विकर्ण BD को G पर काटती है।

चरण 1:

△ A B D

में

(1) प्रमेय 8.9 (मध्य-बिंदु प्रमेय का विलोम): किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

△ A B D

में,

कथन	कारण
$A E = E D$	E, भुजा AD का मध्य-बिंदु है (दिया है)
$EG ∥ A B$	EF ∥ AB (दिया है) और G, EF पर है
$BG = G D (1)$	प्रमेय 8.9 से G, BD का मध्य-बिंदु है

चरण 2:

△ B D C

में

(2) प्रमेय 6.6: वे रेखाएँ जो एक ही रेखा के समांतर हों, परस्पर समांतर होती हैं।

कथन	कारण
$EF ∥ A B, A B ∥ D C$	दिया है
$EF ∥ D C$	एक ही रेखा AB के समांतर रेखाएँ परस्पर समांतर (प्रमेय 6.6)
$GF ∥ D C (2)$	G और F रेखा EF पर हैं

△ B D C

में,

कथन	कारण
$BG = G D$	(1) से — G, भुजा BD का मध्य-बिंदु है
$GF ∥ D C$	(2) से
$BF = FC$	प्रमेय 8.9 से F, BC का मध्य-बिंदु है

उत्तर:

BF = FC

, अर्थात् F भुजा BC का मध्य-बिंदु है। सिद्ध हुआ।

प्रश्न 5

एक समांतर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमशः भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति 8.22)। दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।

ज्ञात है

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है
E, AB का मध्य-बिंदु:

A E = EB

F, CD का मध्य-बिंदु:

D F = FC

AF और EC, विकर्ण BD को P और Q पर काटते हैं

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है: AF और EC, BD को समत्रिभाजित करते हैं:

D P = PQ = QB

आकृति 8.22

हल की आकृति: चारों आधी भुजाएँ AE, EB, DF, FC नारंगी (बराबर); AF ∥ EC हरे-नीले; BD के तीन बराबर भाग हरे

AE = EB = DF = FCAD = CB∠D = ∠BAF ∥ ECDP, PQ, QB

चरण 1: AECF एक समांतर चतुर्भुज है, अर्थात्

A F ∥ EC

(1) प्रमेय 8.2: एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

A E

=

\frac{1}{2} A B

(E, AB का मध्य-बिंदु है)

=

\frac{1}{2} C D

(AB = CD (प्रमेय 8.2))

=

FC \dots (1)

(F, CD का मध्य-बिंदु है)

D F

=

\frac{1}{2} C D

(F, CD का मध्य-बिंदु है)

=

\frac{1}{2} A B

(CD = AB)

=

BE \dots (2)

(E, AB का मध्य-बिंदु है)

(2) प्रमेय 8.4: एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

(3) अभिगृहीत 7.1 (SAS सर्वांगसमता नियम): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।

△ A D F

और

△ CBE

में,

	कथन	कारण
भुजा	$A D = CB$	समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ (प्रमेय 8.2)
कोण	$∠ A D F = ∠ CBE$	समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण ∠D = ∠B (प्रमेय 8.4)
भुजा	$D F = BE$	(2) से
	$△ A D F ≅ △ CBE$	SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow C

D \leftrightarrow B

F \leftrightarrow E

(4) CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग): दो त्रिभुज सर्वांगसम हों, तो उनके संगत भाग (संगत भुजाएँ और संगत कोण) बराबर होते हैं।

कथन	कारण
$A F = CE (3)$	CPCT (A ↔ C, F ↔ E)

(5) प्रमेय 8.3: यदि एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म बराबर हो, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।

चतुर्भुज AECF में,

कथन	कारण
$A E = FC$	(1) से — सम्मुख भुजाओं का पहला युग्म
$A F = EC$	(3) से — सम्मुख भुजाओं का दूसरा युग्म
$A ECF$	प्रमेय 8.3 से, AECF एक समांतर चतुर्भुज है

अतः $A F ∥ EC$ ... (4), इसलिए $PF ∥ QC$ और $EQ ∥ A P$ ।

चरण 2:

D P = PQ

(6) प्रमेय 8.9 (मध्य-बिंदु प्रमेय का विलोम): किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

△ D QC

में,

कथन	कारण
$D F = FC$	F, भुजा DC का मध्य-बिंदु है
$FP ∥ CQ$	(4) से
$D P = PQ (5)$	प्रमेय 8.9 से P, DQ का मध्य-बिंदु है

चरण 3:

PQ = QB

△ A PB

में,

कथन	कारण
$A E = EB$	E, भुजा AB का मध्य-बिंदु है
$EQ ∥ A P$	(4) से
$PQ = QB (6)$	प्रमेय 8.9 से Q, PB का मध्य-बिंदु है

D P

=

PQ

((5) से)

=

QB

((6) से)

उत्तर:

D P = PQ = QB

, अर्थात् रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को तीन बराबर भागों में बाँटते (समत्रिभाजित करते) हैं। सिद्ध हुआ।

प्रश्न 6

ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। कर्ण AB के मध्य-बिंदु M से होकर BC के समांतर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि(i) D भुजा AC का मध्य-बिंदु है।(ii) $M D ⊥ A C$ है।(iii) $CM = M A = \frac{1}{2} A B$ है।

ज्ञात है

△ A BC

में

∠ A CB = 9 0^{\circ}

M, कर्ण AB का मध्य-बिंदु:

A M = MB

M से

M D ∥ BC

, D भुजा AC पर

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i) D, AC का मध्य-बिंदु है
(ii)

M D ⊥ A C

(iii)

CM = M A = \frac{1}{2} A B

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: AM = MB लाल, AD = DC नारंगी, MD ∥ BC, समकोण बैंगनी

AM = MB (= CM)AD = DCBCMD (उभयनिष्ठ)समकोण

(i) D, AC का मध्य-बिंदु है

△ A BC

में,

कथन	कारण
$A M = MB$	M, भुजा AB का मध्य-बिंदु है (दिया है)
$M D ∥ BC$	दिया है
$A D = D C (1)$	प्रमेय 8.9 से D, AC का मध्य-बिंदु है

(ii)

M D ⊥ A C

(2) संगत कोण अभिगृहीत: यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो संगत कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।

∠ A D M

=

∠ A CB

(MD ∥ BC, तिर्यक रेखा AC — संगत कोण)

=

9 0^{\circ} \dots (2)

(दिया है)

अतः $M D ⊥ A C$ ।

(iii)

CM = M A = \frac{1}{2} A B

(3) रैखिक युग्म अभिगृहीत (अभिगृहीत 6.1): यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी हो, तो इस प्रकार बने दोनों आसन्न कोणों का योग

18 0^{\circ}

होता है।

∠ A D M + ∠ M D C

=

18 0^{\circ}

(किरण DM रेखा AC पर खड़ी है (रैखिक युग्म))

9 0^{\circ} + ∠ M D C

=

18 0^{\circ}

((2) से ∠ADM = 90° रखने पर)

∠ M D C

=

18 0^{\circ} - 9 0^{\circ}

(+90° को पक्षांतर करने पर −90° हो जाता है)

=

9 0^{\circ} \dots (3)

(180 − 90 = 90)

(4) अभिगृहीत 7.1 (SAS सर्वांगसमता नियम): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।

△ A M D

और

△ CM D

में,

	कथन	कारण
भुजा	$A D = C D$	(1) से
कोण	$∠ A D M = ∠ C D M$	(2) और (3) से — दोनों 90°
भुजा	$D M = D M$	उभयनिष्ठ भुजा
	$△ A M D ≅ △ CM D$	SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow C

M \leftrightarrow M

D \leftrightarrow D

(5) CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग): दो त्रिभुज सर्वांगसम हों, तो उनके संगत भाग (संगत भुजाएँ और संगत कोण) बराबर होते हैं।

कथन	कारण
$CM = M A (4)$	CPCT (A ↔ C, इसलिए MA ↔ MC)

CM

=

M A

((4) से)

=

\frac{1}{2} A B

(M, AB का मध्य-बिंदु है, इसलिए MA = ½AB)

उत्तर:

(i)

A D = D C

, अर्थात् D भुजा AC का मध्य-बिंदु है

(ii)

∠ A D M = 9 0^{\circ}

, अर्थात्

M D ⊥ A C

(iii)

CM = M A = \frac{1}{2} A B

— सभी सिद्ध हुए।

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 8 ‘चतुर्भुज’ के अनुसार है।