प्रश्नावली 8.1 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 8: चतुर्भुज · 7 प्रश्न

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7

प्रश्न 1

यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।

ज्ञात है

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है:

A B ∥ D C

A D ∥ BC

विकर्ण

A C = B D

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है (अर्थात् इसका एक कोण

9 0^{\circ}

है)

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: AB = DC लाल, BC हरी (उभयनिष्ठ), बराबर विकर्ण नारंगी

AB = DCBC उभयनिष्ठAC = DB (विकर्ण)∠ABC, ∠DCB

(1) प्रमेय 8.2: एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

(2) प्रमेय 7.4 (SSS सर्वांगसमता नियम): यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ एक अन्य त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

△ A BC

और

△ D CB

में,

	कथन	कारण
भुजा	$A B = D C (1)$	समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ (प्रमेय 8.2)
भुजा	$BC = CB (2)$	उभयनिष्ठ भुजा
भुजा	$A C = D B (3)$	दिया है (विकर्ण बराबर हैं)
	$△ A BC ≅ △ D CB$	(1), (2), (3) से, SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow D

B \leftrightarrow C

C \leftrightarrow B

(3) CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग): दो त्रिभुज सर्वांगसम हों, तो उनके संगत भाग (संगत भुजाएँ और संगत कोण) बराबर होते हैं।

कथन	कारण
$∠ A BC = ∠ D CB (4)$	CPCT (शीर्ष B ↔ C)

(4) तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण: यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म संपूरक होता है (योग

18 0^{\circ}

)।

∠ A BC + ∠ D CB

=

18 0^{\circ}

(AB ∥ DC, तिर्यक रेखा BC — एक ही ओर के अंतः कोण)

∠ A BC + ∠ A BC

=

18 0^{\circ}

((4) से ∠DCB = ∠ABC रखने पर)

2 ∠ A BC

=

18 0^{\circ}

(∠ABC + ∠ABC = 2∠ABC)

∠ A BC

=

\frac{18 0 ^{\circ}}{2}

(2 को पक्षांतर करने पर (गुणा → भाग))

=

9 0^{\circ}

(180 ÷ 2 = 90)

(5) आयत: आयत वह समांतर चतुर्भुज है जिसका एक कोण समकोण हो।

समांतर चतुर्भुज ABCD का एक कोण $∠ A BC = 9 0^{\circ}$ है, इसलिए ABCD एक आयत है।

उत्तर: समांतर चतुर्भुज ABCD में

∠ B = 9 0^{\circ}

, अतः ABCD एक आयत है। सिद्ध हुआ।

प्रश्न 2

दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

ज्ञात है

ABCD एक वर्ग है:

A B = BC = C D = D A

प्रत्येक कोण

9 0^{\circ}

विकर्ण AC और BD, बिंदु O पर मिलते हैं

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i)

A C = B D

(ii)

O A = OC

और

OB = O D

(iii)

∠ A OB = 9 0^{\circ}

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: चारों भुजाएँ लाल (बराबर), OA = OC नीले, OB = OD नारंगी

वर्ग की भुजाएँ∠ABC = ∠BAD = 90°OA = OCOB = OD∠AOB, ∠AOD

(i) विकर्ण बराबर हैं:

A C = B D

(1) अभिगृहीत 7.1 (SAS सर्वांगसमता नियम): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।

△ A BC

और

△ B A D

में,

	कथन	कारण
भुजा	$A B = B A (1)$	उभयनिष्ठ भुजा
कोण	$∠ A BC = ∠ B A D (2)$	वर्ग का प्रत्येक कोण 90° है
भुजा	$BC = A D (3)$	वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर हैं
	$△ A BC ≅ △ B A D$	(1), (2), (3) से, SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow B

B \leftrightarrow A

C \leftrightarrow D

(2) CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग): दो त्रिभुज सर्वांगसम हों, तो उनके संगत भाग (संगत भुजाएँ और संगत कोण) बराबर होते हैं।

कथन	कारण
$A C = B D$	CPCT (A ↔ B, C ↔ D, इसलिए AC ↔ BD)

(ii) विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं

(3) प्रमेय 8.6: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को (परस्पर) समद्विभाजित करते हैं।

वर्ग एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए

कथन	कारण
$O A = OC (4)$	प्रमेय 8.6
$OB = O D (5)$	प्रमेय 8.6

(iii) विकर्ण समकोण पर मिलते हैं

△ A OB

और

△ A O D

में,

	कथन	कारण
भुजा	$OB = O D$	(5) से
भुजा	$A B = A D$	वर्ग की भुजाएँ
भुजा	$O A = O A$	उभयनिष्ठ भुजा
	$△ A OB ≅ △ A O D$	SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow A

O \leftrightarrow O

B \leftrightarrow D

(4) प्रमेय 7.4 (SSS सर्वांगसमता नियम): यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ एक अन्य त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

कथन	कारण
$∠ A OB = ∠ A O D (6)$	CPCT (B ↔ D)

(5) रैखिक युग्म अभिगृहीत (अभिगृहीत 6.1): यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी हो, तो इस प्रकार बने दोनों आसन्न कोणों का योग

18 0^{\circ}

होता है।

∠ A OB + ∠ A O D

=

18 0^{\circ}

(किरण OA रेखा BD पर खड़ी है (रैखिक युग्म))

∠ A OB + ∠ A OB

=

18 0^{\circ}

((6) से ∠AOD = ∠AOB रखने पर)

2 ∠ A OB

=

18 0^{\circ}

(∠AOB + ∠AOB = 2∠AOB)

∠ A OB

=

\frac{18 0 ^{\circ}}{2}

(2 को पक्षांतर करने पर (गुणा → भाग))

=

9 0^{\circ}

(180 ÷ 2 = 90)

उत्तर:

(i)

A C = B D

(विकर्ण बराबर हैं)

(ii)

O A = OC

और

OB = O D

(विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं)

(iii)

∠ A OB = 9 0^{\circ}

(विकर्ण समकोण पर मिलते हैं) — सिद्ध हुआ।

प्रश्न 3

समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति 8.11)। दर्शाइए कि(i) यह $∠ C$ को भी समद्विभाजित करता है।(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।

ज्ञात है

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है:

A B ∥ D C

A D ∥ BC

AC, ∠A को समद्विभाजित करता है:

∠ D A C = ∠ B A C

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i) AC, ∠C को समद्विभाजित करता है:

∠ D C A = ∠ BC A

(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है

आकृति 8.11

हल की आकृति: एकांतर कोणों के युग्म नीले और नारंगी, विकर्ण AC हरा

∠BAC = ∠DCA (एकांतर)∠DAC = ∠BCA (एकांतर)विकर्ण ACभुजाएँ (सिद्ध करना है कि बराबर हैं)

(i) AC, ∠C को समद्विभाजित करता है

(1) एकांतर अंतः कोण: यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो एकांतर अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।

∠ D C A

=

∠ B A C \dots (1)

(AB ∥ DC, तिर्यक रेखा AC — एकांतर कोण)

∠ BC A

=

∠ D A C \dots (2)

(AD ∥ BC, तिर्यक रेखा AC — एकांतर कोण)

∠ D A C

=

∠ B A C \dots (3)

(दिया है (AC, ∠A को समद्विभाजित करता है))

∠ D C A

=

∠ B A C

((1) से)

=

∠ D A C

((3) से)

=

∠ BC A

((2) से)

अतः $∠ D C A = ∠ BC A$ , अर्थात् AC कोण C को भी समद्विभाजित करता है।

(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है

∠ D A C

=

∠ B A C

((3) से)

=

∠ D C A \dots (4)

((1) से)

(2) प्रमेय 7.3: किसी त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

△ D A C

में,

कथन	कारण
$∠ D A C = ∠ D C A$	(4) से
$D C = D A (5)$	बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ: ∠DAC के सामने DC, ∠DCA के सामने DA

(3) प्रमेय 8.2: एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

A B

=

D C

(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)

=

D A

((5) से)

=

BC

(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)

(4) समचतुर्भुज: वह समांतर चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों, समचतुर्भुज कहलाता है।

समांतर चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए ABCD एक समचतुर्भुज है।

उत्तर:

(i)

∠ D C A = ∠ BC A

, अर्थात् AC कोण C को भी समद्विभाजित करता है

(ii)

A B = BC = C D = D A

, अतः ABCD एक समचतुर्भुज है।

प्रश्न 4

ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि(i) ABCD एक वर्ग है(ii) विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है।

ज्ञात है

ABCD एक आयत है (प्रत्येक कोण

9 0^{\circ}

)
AC, ∠A और ∠C को समद्विभाजित करता है:

∠ D A C = ∠ B A C

और

∠ D C A = ∠ BC A

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i) ABCD एक वर्ग है
(ii) BD, ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: AC से बने आधे कोण नीले, BD से बने आधे कोण नारंगी, समकोण बैंगनी

AC से बने कोणBD से बने कोणभुजाएँसमकोण

(i) ABCD एक वर्ग है

∠ D C A

=

∠ B A C \dots (1)

(AB ∥ DC, तिर्यक रेखा AC — एकांतर कोण)

∠ B A C

=

∠ D A C \dots (2)

(दिया है (AC, ∠A को समद्विभाजित करता है))

∠ D C A

=

∠ B A C

((1) से)

=

∠ D A C \dots (3)

((2) से)

(2) प्रमेय 7.3: किसी त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

△ A D C

में,

कथन	कारण
$∠ D C A = ∠ D A C$	(3) से
$D A = D C (4)$	बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ: ∠DCA के सामने DA, ∠DAC के सामने DC

(3) प्रमेय 8.2: एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

A B

=

D C

(आयत की सम्मुख भुजाएँ)

=

D A

((4) से)

=

BC

(आयत की सम्मुख भुजाएँ)

(4) वर्ग: वह समांतर चतुर्भुज जिसका एक कोण समकोण हो और सभी भुजाएँ बराबर हों, वर्ग कहलाता है।

ABCD एक समांतर चतुर्भुज (आयत) है, इसका $∠ A = 9 0^{\circ}$ है और चारों भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए ABCD एक वर्ग है।

(ii) BD, ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है

(5) प्रमेय 7.2: एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

△ BC D

में,

कथन	कारण
$CB = C D$	(i) से (वर्ग की भुजाएँ)
$∠ CB D = ∠ C D B (5)$	बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण: CD के सामने ∠CBD, CB के सामने ∠CDB

(6) एकांतर अंतः कोण: यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो एकांतर अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।

∠ C D B

=

∠ A B D \dots (6)

(AB ∥ DC, तिर्यक रेखा BD — एकांतर कोण)

∠ CB D

=

∠ C D B

((5) से)

=

∠ A B D

((6) से)

अतः $∠ CB D = ∠ A B D$ , अर्थात् BD कोण B को समद्विभाजित करता है।

△ B A D

में,

कथन	कारण
$A B = A D$	(i) से (वर्ग की भुजाएँ)
$∠ A D B = ∠ A B D (7)$	बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण: AB के सामने ∠ADB, AD के सामने ∠ABD

∠ A D B

=

∠ A B D

((7) से)

=

∠ C D B

((6) से)

अतः $∠ A D B = ∠ C D B$ , अर्थात् BD कोण D को भी समद्विभाजित करता है।

उत्तर:

(i) ABCD का

∠ A = 9 0^{\circ}

और

A B = BC = C D = D A

, अतः ABCD एक वर्ग है

(ii)

∠ CB D = ∠ A B D

और

∠ A D B = ∠ C D B

, अर्थात् BD कोणों B और D को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 5

समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि $D P = BQ$ है (देखिए आकृति 8.12)। दर्शाइए कि(i) $Δ A P D ≅ Δ CQB$ (ii) $A P = CQ$ (iii) $Δ A QB ≅ Δ CP D$ (iv) $A Q = CP$ (v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।

ज्ञात है

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है
P और Q विकर्ण BD पर हैं:

D P = BQ

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i)

△ A P D ≅ △ CQB

(ii)

A P = CQ

(iii)

△ A QB ≅ △ CP D

(iv)

A Q = CP

(v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है

आकृति 8.12

हल की आकृति: AD = CB लाल, DP = BQ नारंगी, AB = CD हरे-नीले; एकांतर कोण नीले और बैंगनी

AD = CBDP = BQ∠ADP = ∠CBQAB = CD∠ABQ = ∠CDPAP, CQAQ, CP

(i)

△ A P D ≅ △ CQB

(1) प्रमेय 8.2: एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

(2) एकांतर अंतः कोण: यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो एकांतर अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।

(3) अभिगृहीत 7.1 (SAS सर्वांगसमता नियम): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।

△ A P D

और

△ CQB

में,

	कथन	कारण
भुजा	$A D = CB (1)$	समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ (प्रमेय 8.2)
कोण	$∠ A D P = ∠ CBQ (2)$	AD ∥ BC, तिर्यक रेखा BD — एकांतर कोण
भुजा	$D P = BQ (3)$	दिया है
	$△ A P D ≅ △ CQB$	(1), (2), (3) से, SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow C

P \leftrightarrow Q

D \leftrightarrow B

(ii)

A P = CQ

(4) CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग): दो त्रिभुज सर्वांगसम हों, तो उनके संगत भाग (संगत भुजाएँ और संगत कोण) बराबर होते हैं।

कथन	कारण
$A P = CQ (4)$	CPCT (A ↔ C, P ↔ Q)

(iii)

△ A QB ≅ △ CP D

△ A QB

और

△ CP D

में,

	कथन	कारण
भुजा	$A B = C D (5)$	समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ (प्रमेय 8.2)
कोण	$∠ A BQ = ∠ C D P (6)$	AB ∥ DC, तिर्यक रेखा BD — एकांतर कोण
भुजा	$BQ = D P (7)$	दिया है
	$△ A QB ≅ △ CP D$	(5), (6), (7) से, SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow C

Q \leftrightarrow P

B \leftrightarrow D

(iv)

A Q = CP

कथन	कारण
$A Q = CP (8)$	CPCT (A ↔ C, Q ↔ P)

(v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है

(5) प्रमेय 8.3: यदि एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म बराबर हो, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।

चतुर्भुज APCQ में,

कथन	कारण
$A P = CQ$	(4) से — सम्मुख भुजाओं का पहला युग्म
$PC = Q A$	(8) से — सम्मुख भुजाओं का दूसरा युग्म
$A PCQ$	प्रमेय 8.3 से, APCQ एक समांतर चतुर्भुज है

उत्तर:

(i)

△ A P D ≅ △ CQB

(SAS)

(ii)

A P = CQ

(iii)

△ A QB ≅ △ CP D

(SAS)

(iv)

A Q = CP

(v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है — सभी सिद्ध हुए।

प्रश्न 6

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है तथा AP और CQ शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब हैं (देखिए आकृति 8.13)। दर्शाइए कि(i) $Δ A PB ≅ Δ CQ D$ (ii) $A P = CQ$

ज्ञात है

ABCD एक समांतर चतुर्भुज है

A P ⊥ B D

और

CQ ⊥ B D

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i)

△ A PB ≅ △ CQ D

(ii)

A P = CQ

आकृति 8.13

हल की आकृति: समकोण बैंगनी, एकांतर कोण नीले, AB = CD लाल

∠APB = ∠CQD = 90°∠ABP = ∠CDQAB = CDAP, CQ

(i)

△ A PB ≅ △ CQ D

(2) प्रमेय 8.2: एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

(3) AAS सर्वांगसमता नियम: दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि इन त्रिभुजों के दो कोणों के युग्म बराबर हों और संगत भुजाओं का एक युग्म बराबर हो।

△ A PB

और

△ CQ D

में,

	कथन	कारण
कोण	$∠ A PB = ∠ CQ D (1)$	दोनों 90° हैं (AP ⊥ BD, CQ ⊥ BD)
कोण	$∠ A BP = ∠ C D Q (2)$	AB ∥ DC, तिर्यक रेखा BD — एकांतर कोण
भुजा	$A B = C D (3)$	समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ (प्रमेय 8.2)
	$△ A PB ≅ △ CQ D$	(1), (2), (3) से, AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow C

P \leftrightarrow Q

B \leftrightarrow D

AAS में भुजा संगत होनी चाहिए:

A B

समकोण

∠ A PB

के सामने है और

C D

समकोण

∠ CQ D

के सामने है ✔

(ii)

A P = CQ

कथन	कारण
$A P = CQ$	CPCT (A ↔ C, P ↔ Q)

उत्तर:

(i)

△ A PB ≅ △ CQ D

(AAS)

(ii)

A P = CQ

— दोनों सिद्ध हुए।

प्रश्न 7

ABCD एक समलंब है, जिसमें $A B ∥ D C$ और $A D = BC$ है (देखिए आकृति 8.14)। दर्शाइए कि(i) $∠ A = ∠ B$ (ii) $∠ C = ∠ D$ (iii) $Δ A BC ≅ Δ B A D$ (iv) विकर्ण $A C =$ विकर्ण $B D$ है। [संकेत: AB को बढ़ाइए और C से होकर DA के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करे।]

ज्ञात है

ABCD एक समलंब है:

A B ∥ D C

A D = BC

रचना: AB को E तक बढ़ाया और

CE ∥ D A

खींची

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i)

∠ A = ∠ B

(ii)

∠ C = ∠ D

(iii)

△ A BC ≅ △ B A D

(iv) विकर्ण

A C =

विकर्ण

B D

आकृति 8.14

हल की आकृति: AD = BC = CE लाल, △BCE के बराबर कोण नारंगी, ∠A = ∠B नीले, ∠C = ∠D हरे-नीले

AD = BC = CE∠CBE = ∠CEB∠A, ∠B∠C, ∠DAB ∥ DCDA ∥ CE

(i)

∠ A = ∠ B

(1) समांतर चतुर्भुज: वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समांतर हों, समांतर चतुर्भुज कहलाता है।

चतुर्भुज ADCE में $A E ∥ D C$ (AB ∥ DC और E, AB की बढ़ी हुई रेखा पर है) और $CE ∥ D A$ (रचना से)। अतः ADCE एक समांतर चतुर्भुज है।

(2) प्रमेय 8.2: एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

CE

=

A D \dots (1)

(समांतर चतुर्भुज ADCE की सम्मुख भुजाएँ)

BC

=

A D

(दिया है)

=

CE \dots (2)

((1) से)

(3) प्रमेय 7.2: एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

△ BCE

में,

कथन	कारण
$∠ CEB = ∠ CBE (3)$	BC = CE (2); CB के सामने ∠CEB, CE के सामने ∠CBE

18 0^{\circ}

)।

∠ A + ∠ CEB

=

18 0^{\circ} \dots (4)

(AD ∥ EC, तिर्यक रेखा AE — एक ही ओर के अंतः कोण)

18 0^{\circ}

होता है।

∠ A BC + ∠ CBE

=

18 0^{\circ} \dots (5)

(किरण BC रेखा AE पर खड़ी है (रैखिक युग्म))

∠ A + ∠ CEB

=

∠ A BC + ∠ CBE

((4) और (5) से — दोनों 180° के बराबर)

∠ A + ∠ CBE

=

∠ A BC + ∠ CBE

((3) से ∠CEB = ∠CBE रखने पर)

∠ A

=

∠ A BC + ∠ CBE - ∠ CBE

(+∠CBE को पक्षांतर करने पर −∠CBE हो जाता है)

=

∠ A BC

(∠CBE − ∠CBE = 0)

अतः $∠ A = ∠ B$ ।

(ii)

∠ C = ∠ D

∠ A + ∠ D

=

18 0^{\circ} \dots (6)

(AB ∥ DC, तिर्यक रेखा AD — एक ही ओर के अंतः कोण)

∠ B + ∠ C

=

18 0^{\circ} \dots (7)

(AB ∥ DC, तिर्यक रेखा BC — एक ही ओर के अंतः कोण)

∠ A + ∠ D

=

∠ B + ∠ C

((6) और (7) से — दोनों 180° के बराबर)

∠ B + ∠ D

=

∠ B + ∠ C

((i) से ∠A = ∠B रखने पर)

∠ D

=

∠ B + ∠ C - ∠ B

(+∠B को पक्षांतर करने पर −∠B हो जाता है)

=

∠ C

(∠B − ∠B = 0)

(iii)

△ A BC ≅ △ B A D

(6) अभिगृहीत 7.1 (SAS सर्वांगसमता नियम): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।

△ A BC

और

△ B A D

में,

	कथन	कारण
भुजा	$BC = A D$	दिया है
कोण	$∠ A BC = ∠ B A D$	(i) से (∠B = ∠A)
भुजा	$A B = B A$	उभयनिष्ठ भुजा
	$△ A BC ≅ △ B A D$	SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow B

B \leftrightarrow A

C \leftrightarrow D

(iv) विकर्ण

A C =

विकर्ण

B D

(7) CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग): दो त्रिभुज सर्वांगसम हों, तो उनके संगत भाग (संगत भुजाएँ और संगत कोण) बराबर होते हैं।

कथन	कारण
$A C = B D$	CPCT (A ↔ B, C ↔ D, इसलिए AC ↔ BD)

उत्तर:

(i)

∠ A = ∠ B

(ii)

∠ C = ∠ D

(iii)

△ A BC ≅ △ B A D

(SAS)

(iv) विकर्ण

A C =

विकर्ण

B D

— सभी सिद्ध हुए।

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 8 ‘चतुर्भुज’ के अनुसार है।