प्रश्नावली 7.3 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 7: त्रिभुज · 5 प्रश्न

प्रश्न 1

$△ A BC$ और $△ D BC$ एक ही आधार $BC$ पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि $A$ और $D$ भुजा $BC$ के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति 7.39)। यदि $A D$ बढ़ाने पर $BC$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि(i) $△ A B D ≅ △ A C D$ (ii) $△ A BP ≅ △ A CP$ (iii) $A P$ कोण $A$ और कोण $D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।(iv) $A P$ रेखाखंड $BC$ का लम्ब समद्विभाजक है।

ज्ञात है

△ A BC

में

A B = A C

△ D BC

में

D B = D C

A, D भुजा BC के एक ही ओर; AD बढ़ाने पर BC को P पर काटती है

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i)

△ A B D ≅ △ A C D

(ii)

△ A BP ≅ △ A CP

(iii) AP, ∠A और ∠D को समद्विभाजित करता है
(iv) AP, BC का लम्ब समद्विभाजक है

आकृति 7.39

हल की आकृति: AB = AC लाल (एक), DB = DC नारंगी (दो), BP = PC भूरी (तीन निशान); AD, DP हरी

AB = ACDB = DCAD, AP, DP उभयनिष्ठ∠BAD = ∠CAD∠BDP = ∠CDPBP = CP∠APB = ∠APC

(i)

△ A B D ≅ △ A C D

(1) प्रमेय 7.4 (SSS सर्वांगसमता नियम): यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ एक अन्य त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

△ A B D

और

△ A C D

में,

	कथन	कारण
भुजा	$A B = A C$	दिया है (△ABC समद्विबाहु)
भुजा	$B D = C D$	दिया है (△DBC समद्विबाहु)
भुजा	$A D = A D$	उभयनिष्ठ भुजा
	$△ A B D ≅ △ A C D$	SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow A

B \leftrightarrow C

D \leftrightarrow D

(2) CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग): दो त्रिभुज सर्वांगसम हों, तो उनके संगत भाग (संगत भुजाएँ और संगत कोण) बराबर होते हैं।

कथन	कारण
$∠ B A D = ∠ C A D (1)$	CPCT (B ↔ C)

(ii)

△ A BP ≅ △ A CP

(3) अभिगृहीत 7.1 (SAS सर्वांगसमता नियम): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।

△ A BP

और

△ A CP

में,

	कथन	कारण
भुजा	$A B = A C$	दिया है
कोण	$∠ B A P = ∠ C A P$	(1) से (∠BAP = ∠BAD, ∠CAP = ∠CAD)
भुजा	$A P = A P$	उभयनिष्ठ भुजा
	$△ A BP ≅ △ A CP$	SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow A

B \leftrightarrow C

P \leftrightarrow P

(ii) से CPCT द्वारा:

कथन	कारण
$BP = CP (2)$	CPCT (B ↔ C)
$∠ A PB = ∠ A PC (3)$	CPCT (B ↔ C)

(iii) AP, ∠A और ∠D दोनों को समद्विभाजित करता है

(1) से $∠ B A P = ∠ C A P$ , अतः AP, ∠A को समद्विभाजित करता है।

△ B D P

और

△ C D P

में,

	कथन	कारण
भुजा	$B D = C D$	दिया है
भुजा	$D P = D P$	उभयनिष्ठ भुजा
भुजा	$BP = CP$	(2) से
	$△ B D P ≅ △ C D P$	SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

B \leftrightarrow C

D \leftrightarrow D

P \leftrightarrow P

कथन	कारण
$∠ B D P = ∠ C D P$	CPCT (B ↔ C)

अतः AP (अर्थात् उसका भाग DP), ∠D (∠BDC) को समद्विभाजित करता है।

(iv) AP, BC का लम्ब समद्विभाजक है

(4) रैखिक युग्म अभिगृहीत (अभिगृहीत 6.1): यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी हो, तो इस प्रकार बने दोनों आसन्न कोणों का योग

18 0^{\circ}

होता है।

∠ A PB + ∠ A PC

=

18 0^{\circ}

(किरण PA रेखा BC पर खड़ी है (रैखिक युग्म))

∠ A PB + ∠ A PB

=

18 0^{\circ}

((3) से ∠APC = ∠APB रखने पर)

2 ∠ A PB

=

18 0^{\circ}

(∠APB + ∠APB = 2∠APB)

∠ A PB

=

\frac{18 0 ^{\circ}}{2}

(2 को पक्षांतर करने पर (गुणा → भाग))

=

9 0^{\circ}

(180 ÷ 2 = 90)

अतः $A P ⊥ BC$ और (2) से $BP = CP$ ; इसलिए AP, BC का लम्ब समद्विभाजक है।

उत्तर:

(i)

△ A B D ≅ △ A C D

(SSS)

(ii)

△ A BP ≅ △ A CP

(SAS)

(iii)

∠ B A P = ∠ C A P

और

∠ B D P = ∠ C D P

(iv)

A P ⊥ BC

और

BP = CP

— सभी सिद्ध हुए।

प्रश्न 2

$A D$ एक समद्विबाहु त्रिभुज $A BC$ का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें $A B = A C$ है। दर्शाइए कि(i) $A D$ रेखाखंड $BC$ को समद्विभाजित करता है।(ii) $A D$ कोण $A$ को समद्विभाजित करता है।

ज्ञात है

△ A BC

में

A B = A C

A D

शीर्षलम्ब है:

A D ⊥ BC

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i)

B D = C D

(ii)

∠ B A D = ∠ C A D

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: कर्ण AB = AC लाल, समकोण बैंगनी, AD हरी (उभयनिष्ठ)

कर्ण AB = ACसमकोणAD उभयनिष्ठBD, CD∠BAD, ∠CAD

(1) प्रमेय 7.5 (RHS सर्वांगसमता नियम): यदि दो समकोण त्रिभुजों में, एक त्रिभुज का कर्ण और एक भुजा क्रमशः दूसरे त्रिभुज के कर्ण और एक भुजा के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

समकोण

△ A D B

और समकोण

△ A D C

में,

	कथन	कारण
समकोण	$∠ A D B = ∠ A D C$	दोनों 90° हैं (AD ⊥ BC)
कर्ण	$A B = A C$	दिया है (दोनों कर्ण हैं)
भुजा	$A D = A D$	उभयनिष्ठ भुजा
	$△ A D B ≅ △ A D C$	RHS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow A

D \leftrightarrow D

B \leftrightarrow C

(i)

कथन	कारण
$B D = C D$	CPCT (B ↔ C)

अतः AD, रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।

(ii)

कथन	कारण
$∠ B A D = ∠ C A D$	CPCT (B ↔ C)

अतः AD, कोण A को समद्विभाजित करता है।

उत्तर:

(i)

B D = C D

, AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है

(ii)

∠ B A D = ∠ C A D

, AD कोण A को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 3

एक त्रिभुज $A BC$ की दो भुजाएँ $A B$ और $BC$ तथा माध्यिका $A M$ क्रमशः एक दूसरे त्रिभुज की भुजाओं $PQ$ और $QR$ तथा माध्यिका $PN$ के बराबर हैं (देखिए आकृति 7.40)। दर्शाइए कि(i) $△ A BM ≅ △ PQN$ (ii) $△ A BC ≅ △ PQR$

ज्ञात है

A B = PQ

BC = QR

माध्यिकाएँ

A M = PN

(M, BC का और N, QR का मध्य-बिंदु)

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i)

△ A BM ≅ △ PQN

(ii)

△ A BC ≅ △ PQR

आकृति 7.40

हल की आकृति: AB = PQ लाल, BM = QN नारंगी (MC, NR भी उतने ही), AM = PN हरे-नीले; ∠B = ∠Q नीले

AB = PQBM = QNAM = PN∠B = ∠Q

(i)

△ A BM ≅ △ PQN

(1) बराबरों के आधे: बराबर राशियों के आधे भी बराबर होते हैं।

BC

=

QR \dots (1)

(दिया है)

\frac{1}{2} BC

=

\frac{1}{2} QR

((1) के दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर)

BM

=

QN \dots (2)

(M, BC का मध्य-बिंदु (BM = ½BC); N, QR का मध्य-बिंदु (QN = ½QR))

(2) प्रमेय 7.4 (SSS सर्वांगसमता नियम): यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ एक अन्य त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

△ A BM

और

△ PQN

में,

	कथन	कारण
भुजा	$A B = PQ$	दिया है
भुजा	$BM = QN$	(2) से
भुजा	$A M = PN$	दिया है (माध्यिकाएँ)
	$△ A BM ≅ △ PQN$	SSS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow P

B \leftrightarrow Q

M \leftrightarrow N

(ii)

△ A BC ≅ △ PQR

(3) CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग): दो त्रिभुज सर्वांगसम हों, तो उनके संगत भाग (संगत भुजाएँ और संगत कोण) बराबर होते हैं।

कथन	कारण
$∠ A BM = ∠ PQN$	(i) से CPCT (B ↔ Q)
$∠ A BC = ∠ PQR (3)$	∠ABM ही ∠ABC है और ∠PQN ही ∠PQR है (M, BC पर; N, QR पर)

(4) अभिगृहीत 7.1 (SAS सर्वांगसमता नियम): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।

△ A BC

और

△ PQR

में,

	कथन	कारण
भुजा	$A B = PQ$	दिया है
कोण	$∠ A BC = ∠ PQR$	(3) से
भुजा	$BC = QR$	दिया है
	$△ A BC ≅ △ PQR$	SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow P

B \leftrightarrow Q

C \leftrightarrow R

उत्तर:

(i)

△ A BM ≅ △ PQN

(SSS)

(ii)

△ A BC ≅ △ PQR

(SAS) — दोनों सिद्ध हुए।

प्रश्न 4

$BE$ और $CF$ एक त्रिभुज $A BC$ के दो बराबर शीर्षलम्ब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि $△ A BC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

ज्ञात है

△ A BC

में

BE ⊥ A C

CF ⊥ A B

BE = CF

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है (RHS से):

△ A BC

समद्विबाहु है, अर्थात्

A B = A C

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: BE = CF नारंगी, कर्ण BC हरी (उभयनिष्ठ), समकोण बैंगनी

BE = CFकर्ण BC उभयनिष्ठसमकोण ∠BEC, ∠CFB∠ECB = ∠FBCAB, AC

समकोण

△ BEC

और समकोण

△ CFB

में,

	कथन	कारण
समकोण	$∠ BEC = ∠ CFB$	दोनों 90° हैं (BE ⊥ AC, CF ⊥ AB)
कर्ण	$BC = CB$	उभयनिष्ठ कर्ण
भुजा	$BE = CF$	दिया है
	$△ BEC ≅ △ CFB$	RHS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

B \leftrightarrow C

E \leftrightarrow F

C \leftrightarrow B

कथन	कारण
$∠ ECB = ∠ FBC$	CPCT (C ↔ B)
$∠ A CB = ∠ A BC$	∠ECB ही ∠ACB है और ∠FBC ही ∠ABC है

(3) प्रमेय 7.3: किसी त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

कथन	कारण
$A B = A C$	बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ: ∠ACB के सामने AB, ∠ABC के सामने AC

उत्तर:

A B = A C

, अतः

△ A BC

एक समद्विबाहु त्रिभुज है। सिद्ध हुआ।

प्रश्न 5

ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $A B = A C$ है। $A P ⊥ BC$ खींच कर दर्शाइए कि $∠ B = ∠ C$ है।

ज्ञात है

△ A BC

में

A B = A C

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:

∠ B = ∠ C

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: रचना AP ⊥ BC (हरी बिंदुदार); कर्ण AB = AC लाल

कर्ण AB = ACसमकोणAP उभयनिष्ठ∠B, ∠C

रचना: $A$ से $BC$ पर लम्ब $A P$ खींचिए।

समकोण

△ A PB

और समकोण

△ A PC

में,

	कथन	कारण
समकोण	$∠ A PB = ∠ A PC$	दोनों 90° हैं (रचना से AP ⊥ BC)
कर्ण	$A B = A C$	दिया है (दोनों कर्ण हैं)
भुजा	$A P = A P$	उभयनिष्ठ भुजा
	$△ A PB ≅ △ A PC$	RHS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow A

P \leftrightarrow P

B \leftrightarrow C

कथन	कारण
$∠ A BP = ∠ A CP$	CPCT (B ↔ C)
$∠ B = ∠ C$	∠ABP ही ∠B है और ∠ACP ही ∠C है

उत्तर:

∠ B = ∠ C

सिद्ध हुआ।

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 7 ‘त्रिभुज’ के अनुसार है।