प्रश्नावली 7.2 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 7: त्रिभुज · 8 प्रश्न

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7 प्र. 8

प्रश्न 1

एक समद्विबाहु त्रिभुज $A BC$ में जिसमें $A B = A C$ है, $∠ B$ और $∠ C$ के समद्विभाजक परस्पर बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $A$ और $O$ को जोड़िए। दर्शाइए कि(i) $OB = OC$ (ii) $A O$ कोण $A$ को समद्विभाजित करता है

ज्ञात है

△ A BC

में

A B = A C

BO

∠ B

का और

CO

∠ C

का समद्विभाजक है

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i)

OB = OC

(ii)

A O

∠ A

को समद्विभाजित करता है:

∠ B A O = ∠ C A O

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: AB = AC लाल, चारों आधे कोण नीले, OB = OC नारंगी

AB = AC∠B और ∠C के आधेOB = OCAO उभयनिष्ठ∠BAO, ∠CAO

चरण 1: आधे कोण बराबर हैं

(1) प्रमेय 7.2: एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

∠ A BC

=

∠ A CB \dots (1)

(AB = AC, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण (प्रमेय 7.2))

(2) बराबरों के आधे: बराबर राशियों के आधे भी बराबर होते हैं।

∠ OBC

=

\frac{1}{2} ∠ A BC

(BO, ∠B का समद्विभाजक है)

=

\frac{1}{2} ∠ A CB

((1) से ∠ABC = ∠ACB रखने पर)

=

∠ OCB \dots (2)

(CO, ∠C का समद्विभाजक है)

∠ A BO

=

∠ A CO \dots (3)

(इसी प्रकार ∠B का आधा = ∠C का आधा)

(i)

OB = OC

(3) प्रमेय 7.3: किसी त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

△ OBC

में,

कथन	कारण
$∠ OBC = ∠ OCB$	(2) से
$OC = OB (4)$	बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ (प्रमेय 7.3): ∠OBC के सामने OC, ∠OCB के सामने OB

(ii)

A O

∠ A

को समद्विभाजित करता है

(4) अभिगृहीत 7.1 (SAS सर्वांगसमता नियम): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।

△ A OB

और

△ A OC

में,

	कथन	कारण
भुजा	$A B = A C$	दिया है
कोण	$∠ A BO = ∠ A CO$	(3) से
भुजा	$OB = OC$	(4) से
	$△ A OB ≅ △ A OC$	SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow A

O \leftrightarrow O

B \leftrightarrow C

(5) CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग): दो त्रिभुज सर्वांगसम हों, तो उनके संगत भाग (संगत भुजाएँ और संगत कोण) बराबर होते हैं।

कथन	कारण
$∠ B A O = ∠ C A O$	CPCT (B ↔ C)

अतः $A O$ , $∠ A$ को समद्विभाजित करता है।

उत्तर:

(i)

OB = OC

(ii)

∠ B A O = ∠ C A O

, अर्थात् AO कोण A को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 2

$△ A BC$ में $A D$ भुजा $BC$ का लम्ब समद्विभाजक है (देखिए आकृति 7.30)। दर्शाइए कि $△ A BC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें $A B = A C$ है।

ज्ञात है

A D

, भुजा

BC

का लम्ब समद्विभाजक है:

B D = D C

और

A D ⊥ BC

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:

A B = A C

(त्रिभुज समद्विबाहु है)

आकृति 7.30

हल की आकृति: BD = DC लाल, समकोण बैंगनी, AD हरी (उभयनिष्ठ)

BD = DCसमकोण ∠ADB, ∠ADCAD उभयनिष्ठAB, AC

(1) अभिगृहीत 7.1 (SAS सर्वांगसमता नियम): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।

△ A D B

और

△ A D C

में,

	कथन	कारण
भुजा	$B D = C D$	AD, BC को समद्विभाजित करता है
कोण	$∠ A D B = ∠ A D C$	दोनों 90° हैं (AD ⊥ BC)
भुजा	$A D = A D$	उभयनिष्ठ भुजा
	$△ A D B ≅ △ A D C$	SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow A

D \leftrightarrow D

B \leftrightarrow C

(2) CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग): दो त्रिभुज सर्वांगसम हों, तो उनके संगत भाग (संगत भुजाएँ और संगत कोण) बराबर होते हैं।

कथन	कारण
$A B = A C$	CPCT (B ↔ C, इसलिए AB ↔ AC)

उत्तर:

A B = A C

, अतः

△ A BC

एक समद्विबाहु त्रिभुज है। सिद्ध हुआ।

प्रश्न 3

ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं $A C$ और $A B$ पर क्रमशः शीर्षलम्ब $BE$ और $CF$ खींचे गए हैं (देखिए आकृति 7.31)। दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर हैं।

ज्ञात है

△ A BC

में

A B = A C

BE ⊥ A C

CF ⊥ A B

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:

BE = CF

आकृति 7.31

हल की आकृति: AB = AC लाल, उभयनिष्ठ ∠A नीला, समकोण बैंगनी

AB = AC∠A उभयनिष्ठसमकोण ∠AEB, ∠AFCBE, CF

(1) AAS सर्वांगसमता नियम: दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि इन त्रिभुजों के दो कोणों के युग्म बराबर हों और संगत भुजाओं का एक युग्म बराबर हो।

△ A BE

और

△ A CF

में,

	कथन	कारण
कोण	$∠ A EB = ∠ A FC$	दोनों 90° हैं (BE ⊥ AC, CF ⊥ AB)
कोण	$∠ B A E = ∠ C A F$	उभयनिष्ठ कोण ∠A
भुजा	$A B = A C$	दिया है
	$△ A BE ≅ △ A CF$	AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow A

B \leftrightarrow C

E \leftrightarrow F

भुजा

A B

समकोण

∠ A EB

के सामने है और

A C

समकोण

∠ A FC

के सामने — ये संगत भुजाएँ हैं ✔

कथन	कारण
$BE = CF$	CPCT (B ↔ C, E ↔ F)

उत्तर: शीर्षलम्ब

BE = CF

, अर्थात् ये बराबर हैं। सिद्ध हुआ।

प्रश्न 4

ABC एक त्रिभुज है जिसमें $A C$ और $A B$ पर खींचे गए शीर्षलम्ब $BE$ और $CF$ बराबर हैं (देखिए आकृति 7.32)। दर्शाइए कि(i) $△ A BE ≅ △ A CF$ (ii) $A B = A C$ , अर्थात् $△ A BC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

ज्ञात है

△ A BC

में

BE ⊥ A C

CF ⊥ A B

BE = CF

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i)

△ A BE ≅ △ A CF

(ii)

A B = A C

आकृति 7.32

हल की आकृति: BE = CF नारंगी, उभयनिष्ठ ∠A नीला, समकोण बैंगनी

BE = CF∠A उभयनिष्ठसमकोण ∠AEB, ∠AFCAB, AC

(i)

△ A BE ≅ △ A CF

△ A BE

और

△ A CF

में,

	कथन	कारण
कोण	$∠ A EB = ∠ A FC$	दोनों 90° हैं
कोण	$∠ B A E = ∠ C A F$	उभयनिष्ठ कोण ∠A
भुजा	$BE = CF$	दिया है
	$△ A BE ≅ △ A CF$	AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow A

B \leftrightarrow C

E \leftrightarrow F

भुजा

BE

कोण

∠ A

के सामने है और

CF

भी कोण

∠ A

के सामने — ये संगत भुजाएँ हैं ✔

(ii)

A B = A C

कथन	कारण
$A B = A C$	CPCT (B ↔ C, इसलिए AB ↔ AC)

उत्तर:

(i)

△ A BE ≅ △ A CF

(AAS)

(ii)

A B = A C

, अर्थात्

△ A BC

समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 5

ABC और DBC समान आधार $BC$ पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति 7.33)। दर्शाइए कि $∠ A B D = ∠ A C D$ है।

ज्ञात है

△ A BC

में

A B = A C

△ D BC

में

D B = D C

(दोनों का आधार BC)

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:

∠ A B D = ∠ A C D

आकृति 7.33

हल की आकृति: ∠ABC = ∠ACB नीले, ∠DBC = ∠DCB हरे-नीले (दो चाप), बैंगनी बिंदुदार = ∠ABD, ∠ACD

AB = ACDB = DC∠ABC = ∠ACB∠DBC = ∠DCB∠ABD, ∠ACD

∠ A BC

=

∠ A CB \dots (1)

(△ABC में AB = AC, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)

∠ D BC

=

∠ D CB \dots (2)

(△DBC में DB = DC, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)

(2) यूक्लिड की अभिधारणा: यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।

∠ A BC + ∠ D BC

=

∠ A CB + ∠ D CB

((1) और (2) को जोड़ने पर)

∠ A BC + ∠ D BC

=

∠ A B D

(किरण BC, ∠ABD के अंदर है)

∠ A CB + ∠ D CB

=

∠ A C D

(किरण CB, ∠ACD के अंदर है)

∠ A B D

=

∠ A C D

(ऊपर के तीनों कथनों से)

उत्तर:

∠ A B D = ∠ A C D

सिद्ध हुआ।

प्रश्न 6

ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें $A B = A C$ है। भुजा $B A$ बिंदु $D$ तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि $A D = A B$ है (देखिए आकृति 7.34)। दर्शाइए कि $∠ BC D$ एक समकोण है।

ज्ञात है

△ A BC

में

A B = A C

B A

को

D

तक बढ़ाया:

A D = A B

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:

∠ BC D = 9 0^{\circ}

आकृति 7.34

हल की आकृति: △ABC के बराबर कोण नीले, △ACD के बराबर कोण नारंगी (दो चाप)

AB, AC, AD बराबर∠ABC = ∠ACB∠ACD = ∠ADC∠BCD

△ A BC

में,

कथन	कारण
$∠ A CB = ∠ A BC (1)$	AB = AC, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण

△ A C D

में,

कथन	कारण
$A D = A B$	दिया है
$A B = A C$	दिया है
$A D = A C$	दोनों AB के बराबर हैं
$∠ A C D = ∠ A D C (2)$	AD = AC, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण

(2) त्रिभुज के कोणों का योग गुण: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग

18 0^{\circ}

होता है।

$△ BC D$ में:

∠ D BC + ∠ BC D + ∠ C D B

=

18 0^{\circ}

(त्रिभुज के कोणों का योग)

∠ BC D

=

∠ A CB + ∠ A C D \dots (3)

(किरण CA, ∠BCD के अंदर है)

∠ A CB + (∠ A CB + ∠ A C D) + ∠ A C D

=

18 0^{\circ}

((1) से ∠DBC = ∠ACB, (3) से ∠BCD, (2) से ∠CDB = ∠ACD रखने पर)

2 ∠ A CB + 2 ∠ A C D

=

18 0^{\circ}

(समान पद जोड़ने पर)

2 (∠ A CB + ∠ A C D)

=

18 0^{\circ}

(2 उभयनिष्ठ लेने पर)

∠ A CB + ∠ A C D

=

\frac{18 0 ^{\circ}}{2}

(2 को पक्षांतर करने पर (गुणा → भाग))

=

9 0^{\circ}

(180 ÷ 2 = 90)

∠ BC D

=

9 0^{\circ}

((3) से ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD)

जाँच (आकृति में

∠ B = 5 4^{\circ}

लिया है):

∠ A CB = 5 4^{\circ}

∠ A C D = 3 6^{\circ}

, तो

∠ BC D = 5 4^{\circ} + 3 6^{\circ}

, अर्थात्

9 0^{\circ}

✔

उत्तर:

∠ BC D = 9 0^{\circ}

, अर्थात्

∠ BC D

एक समकोण है। सिद्ध हुआ।

प्रश्न 7

ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें $∠ A = 9 0^{\circ}$ और $A B = A C$ है। $∠ B$ और $∠ C$ ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

△ A BC

में

∠ A = 9 0^{\circ}

A B = A C

ज्ञात करना है

∠ B

और

∠ C

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: AB = AC लाल, ∠A = 90° बैंगनी, ∠B = ∠C नीले

∠ C

=

∠ B \dots (1)

(AB = AC; AB के सामने ∠C और AC के सामने ∠B है)

(2) त्रिभुज के कोणों का योग गुण: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग

18 0^{\circ}

होता है।

∠ A + ∠ B + ∠ C

=

18 0^{\circ}

(△ABC के कोणों का योग)

9 0^{\circ} + ∠ B + ∠ B

=

18 0^{\circ}

(∠A = 90° और (1) से ∠C = ∠B रखने पर)

9 0^{\circ} + 2 ∠ B

=

18 0^{\circ}

(∠B + ∠B = 2∠B)

2 ∠ B

=

18 0^{\circ} - 9 0^{\circ}

(+90° को पक्षांतर करने पर −90° हो जाता है)

2 ∠ B

=

9 0^{\circ}

(180 − 90 = 90)

∠ B

=

\frac{9 0 ^{\circ}}{2}

(2 को पक्षांतर करने पर (गुणा → भाग))

=

4 5^{\circ}

(90 ÷ 2 = 45)

∠ C

=

∠ B

((1) से)

=

4 5^{\circ}

(∠B = 45°)

जाँच:

9 0^{\circ} + 4 5^{\circ} + 4 5^{\circ} = 18 0^{\circ}

✔

उत्तर:

(i)

∠ B = 4 5^{\circ}

(ii)

∠ C = 4 5^{\circ}

प्रश्न 8

दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $6 0^{\circ}$ होता है।

ज्ञात है

△ A BC

समबाहु है:

A B = BC

और

BC = C A

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:

∠ A

∠ B

∠ C

प्रत्येक

6 0^{\circ}

(पुस्तक में इस प्रश्न की आकृति नहीं दी है; नीचे हल के लिए आकृति बनाई गई है।)

हल की आकृति: तीनों भुजाएँ बराबर (लाल), तीनों कोण बराबर (नीले)

∠ C

=

∠ B \dots (1)

(AB = AC; AB के सामने ∠C और AC के सामने ∠B)

∠ C

=

∠ A \dots (2)

(AB = BC; AB के सामने ∠C और BC के सामने ∠A)

(2) त्रिभुज के कोणों का योग गुण: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग

18 0^{\circ}

होता है।

∠ A + ∠ B + ∠ C

=

18 0^{\circ}

(△ABC के कोणों का योग)

∠ C + ∠ C + ∠ C

=

18 0^{\circ}

((2) से ∠A = ∠C, (1) से ∠B = ∠C रखने पर)

3 ∠ C

=

18 0^{\circ}

(∠C + ∠C + ∠C = 3∠C)

∠ C

=

\frac{18 0 ^{\circ}}{3}

(3 को पक्षांतर करने पर (गुणा → भाग))

=

6 0^{\circ}

(180 ÷ 3 = 60)

∠ A

=

∠ C

((2) से)

=

6 0^{\circ}

∠ B

=

∠ C

((1) से)

=

6 0^{\circ}

उत्तर:

(i)

∠ A = 6 0^{\circ}

(ii)

∠ B = 6 0^{\circ}

(iii)

∠ C = 6 0^{\circ}

— समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° है।

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 7 ‘त्रिभुज’ के अनुसार है।