प्रश्नावली 7.1 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 7: त्रिभुज · 8 प्रश्न

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7 प्र. 8

प्रश्न 1

चतुर्भुज $A CB D$ में, $A C = A D$ है और $A B$ कोण $A$ को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति 7.16)। दर्शाइए कि $△ A BC ≅ △ A B D$ है। $BC$ और $B D$ के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

ज्ञात है

चतुर्भुज

A CB D

में

A C = A D

A B

∠ A

को समद्विभाजित करता है, अर्थात्

∠ C A B = ∠ D A B

ज्ञात करना है

(i) सिद्ध करना है:

△ A BC ≅ △ A B D

(ii)

BC

और

B D

का संबंध

आकृति 7.16

हल की आकृति: बराबर भुजाएँ लाल (एक निशान), बराबर कोण नीले, उभयनिष्ठ भुजा AB हरी

AC = AD∠CAB = ∠DABAB उभयनिष्ठBC, BD (सिद्ध करना है)

(i)

△ A BC ≅ △ A B D

(1) अभिगृहीत 7.1 (SAS सर्वांगसमता नियम): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।

△ A BC

और

△ A B D

में,

	कथन	कारण
भुजा	$A C = A D (1)$	दिया है
कोण	$∠ C A B = ∠ D A B (2)$	AB, ∠A को समद्विभाजित करता है
भुजा	$A B = A B (3)$	उभयनिष्ठ भुजा
	$△ A BC ≅ △ A B D$	(1), (2), (3) से, SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow A

B \leftrightarrow B

C \leftrightarrow D

ध्यान दें: कोण

∠ C A B

भुजाओं

A C

और

A B

के बीच का (अंतर्गत) कोण है, और

∠ D A B

भुजाओं

A D

और

A B

के बीच का कोण है।

(ii)

BC

और

B D

के बारे में

(2) CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग): दो त्रिभुज सर्वांगसम हों, तो उनके संगत भाग (संगत भुजाएँ और संगत कोण) बराबर होते हैं।

कथन	कारण
$BC = B D$	CPCT (शीर्ष C ↔ D, इसलिए भुजा BC ↔ BD)

उत्तर:

(i)

△ A BC ≅ △ A B D

(SAS)

(ii)

BC = B D

, अर्थात् BC और BD बराबर हैं।

प्रश्न 2

ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें $A D = BC$ और $∠ D A B = ∠ CB A$ है (देखिए आकृति 7.17)। सिद्ध कीजिए कि(i) $△ A B D ≅ △ B A C$ (ii) $B D = A C$ (iii) $∠ A B D = ∠ B A C$ ।

ज्ञात है

चतुर्भुज

A BC D

में

A D = BC

∠ D A B = ∠ CB A

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i)

△ A B D ≅ △ B A C

(ii)

B D = A C

(iii)

∠ A B D = ∠ B A C

आकृति 7.17

हल की आकृति: AD = BC लाल, ∠DAB = ∠CBA नीले, AB हरी (उभयनिष्ठ)

AD = BC∠DAB = ∠CBAAB उभयनिष्ठBD, AC∠ABD, ∠BAC

(i)

△ A B D ≅ △ B A C

△ A B D

और

△ B A C

में,

	कथन	कारण
भुजा	$A D = BC (1)$	दिया है
कोण	$∠ D A B = ∠ CB A (2)$	दिया है
भुजा	$A B = B A (3)$	उभयनिष्ठ भुजा
	$△ A B D ≅ △ B A C$	(1), (2), (3) से, SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow B

B \leftrightarrow A

D \leftrightarrow C

(ii)

B D = A C

कथन	कारण
$B D = A C$	CPCT (B ↔ A, D ↔ C, इसलिए BD ↔ AC)

(iii)

∠ A B D = ∠ B A C

कथन	कारण
$∠ A B D = ∠ B A C$	CPCT (शीर्ष B पर का कोण ↔ शीर्ष A पर का कोण)

उत्तर:

(i)

△ A B D ≅ △ B A C

(SAS)

(ii)

B D = A C

(iii)

∠ A B D = ∠ B A C

— तीनों सिद्ध हुए।

प्रश्न 3

एक रेखाखंड $A B$ पर $A D$ और $BC$ दो बराबर लंब रेखाखंड हैं (देखिए आकृति 7.18)। दर्शाइए कि $C D$ , रेखाखंड $A B$ को समद्विभाजित करता है।

ज्ञात है

A D ⊥ A B

BC ⊥ A B

A D = BC

C D

A B

को

O

पर काटता है।

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:

O A = OB

(अर्थात् CD, AB को समद्विभाजित करता है)

आकृति 7.18

हल की आकृति: समकोण बैंगनी, शीर्षाभिमुख कोण नीले, AD = BC लाल

AD = BCसमकोण∠BOC = ∠AODOB, OA

(1) प्रमेय 6.1 (शीर्षाभिमुख कोण): यदि दो रेखाएँ परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।

पहले कोणों के युग्म:

कथन	कारण
$∠ CBO = 9 0^{\circ}$	BC ⊥ AB
$∠ D A O = 9 0^{\circ}$	AD ⊥ AB
$∠ CBO = ∠ D A O (1)$	दोनों 90° के बराबर हैं
$∠ BOC = ∠ A O D (2)$	शीर्षाभिमुख कोण — रेखाएँ AB और CD, O पर प्रतिच्छेद करती हैं

(2) AAS सर्वांगसमता नियम: दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि इन त्रिभुजों के दो कोणों के युग्म बराबर हों और संगत भुजाओं का एक युग्म बराबर हो।

△ BOC

और

△ A O D

में,

	कथन	कारण
कोण	$∠ CBO = ∠ D A O$	(1) से
कोण	$∠ BOC = ∠ A O D$	(2) से
भुजा	$BC = A D$	दिया है
	$△ BOC ≅ △ A O D$	AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

B \leftrightarrow A

O \leftrightarrow O

C \leftrightarrow D

AAS में भुजा, बराबर कोणों की संगत भुजा होनी चाहिए:

BC

कोण

∠ BOC

के सामने है और

A D

कोण

∠ A O D

के सामने है ✔

(3) CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग): दो त्रिभुज सर्वांगसम हों, तो उनके संगत भाग (संगत भुजाएँ और संगत कोण) बराबर होते हैं।

कथन	कारण
$OB = O A$	CPCT (B ↔ A, इसलिए OB ↔ OA)

अतः $O$ , रेखाखंड $A B$ का मध्य-बिंदु है, अर्थात् $C D$ , $A B$ को समद्विभाजित करता है।

उत्तर:

O A = OB

, इसलिए CD, रेखाखंड AB को समद्विभाजित करता है। सिद्ध हुआ।

प्रश्न 4

$l$ और $m$ दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें समांतर रेखाओं $p$ और $q$ का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेदित करता है (देखिए आकृति 7.19)। दर्शाइए कि $△ A BC ≅ △ C D A$ है।

ज्ञात है

l ∥ m

(रेखा AD ∥ रेखा BC)

p ∥ q

(रेखा AB ∥ रेखा DC)

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:

△ A BC ≅ △ C D A

आकृति 7.19

हल की आकृति: एकांतर कोण-युग्म नीला (एक चाप) और नारंगी (दो चाप), AC हरी (उभयनिष्ठ)

∠BAC = ∠DCA∠BCA = ∠DACAC उभयनिष्ठ

(1) एकांतर अंतः कोण: यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो एकांतर अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।

कोणों के युग्म:

कथन	कारण
$∠ B A C = ∠ D C A (1)$	p ∥ q, तिर्यक रेखा AC — एकांतर अंतः कोण
$∠ BC A = ∠ D A C (2)$	l ∥ m, तिर्यक रेखा AC — एकांतर अंतः कोण

(2) प्रमेय 7.1 (ASA सर्वांगसमता नियम): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज के दो कोण और उनकी अंतर्गत भुजा दूसरे त्रिभुज के दो कोणों और उनकी अंतर्गत भुजा के बराबर हों।

△ A BC

और

△ C D A

में,

	कथन	कारण
कोण	$∠ B A C = ∠ D C A$	(1) से
भुजा	$A C = C A$	उभयनिष्ठ भुजा
कोण	$∠ BC A = ∠ D A C$	(2) से
	$△ A BC ≅ △ C D A$	ASA सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow C

B \leftrightarrow D

C \leftrightarrow A

भुजा

A C

दोनों कोणों

∠ B A C

और

∠ BC A

के बीच की (अंतर्गत) भुजा है, इसलिए ASA लगता है।

उत्तर:

△ A BC ≅ △ C D A

(ASA नियम से) सिद्ध हुआ।

प्रश्न 5

रेखा $l$ कोण $A$ को समद्विभाजित करती है और $B$ रेखा $l$ पर स्थित कोई बिंदु है। $BP$ और $BQ$ कोण $A$ की भुजाओं पर $B$ से डाले गए लम्ब हैं (देखिए आकृति 7.20)। दर्शाइए कि(i) $△ A PB ≅ △ A QB$ (ii) $BP = BQ$ है, अर्थात् बिंदु $B$ कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है

ज्ञात है

रेखा

l

∠ A

को समद्विभाजित करती है:

∠ P A B = ∠ Q A B

B

रेखा

l

पर है

BP ⊥ A P

BQ ⊥ A Q

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i)

△ A PB ≅ △ A QB

(ii)

BP = BQ

आकृति 7.20

हल की आकृति: समकोण बैंगनी, बराबर कोण नीले, AB हरी (उभयनिष्ठ)

समकोण ∠APB, ∠AQB∠PAB = ∠QABAB उभयनिष्ठBP, BQ

(i)

△ A PB ≅ △ A QB

(1) AAS सर्वांगसमता नियम: दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि इन त्रिभुजों के दो कोणों के युग्म बराबर हों और संगत भुजाओं का एक युग्म बराबर हो।

△ A PB

और

△ A QB

में,

	कथन	कारण
	$∠ A PB = 9 0^{\circ}$	BP ⊥ AP
	$∠ A QB = 9 0^{\circ}$	BQ ⊥ AQ
कोण	$∠ A PB = ∠ A QB (1)$	दोनों 90° हैं
कोण	$∠ P A B = ∠ Q A B (2)$	रेखा l, ∠A को समद्विभाजित करती है
भुजा	$A B = A B (3)$	उभयनिष्ठ भुजा
	$△ A PB ≅ △ A QB$	(1), (2), (3) से, AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow A

P \leftrightarrow Q

B \leftrightarrow B

(ii)

BP = BQ

कथन	कारण
$BP = BQ$	CPCT (P ↔ Q, इसलिए BP ↔ BQ)

BP और BQ, बिंदु B की कोण की दोनों भुजाओं से (लंब) दूरियाँ हैं; ये बराबर हैं, इसलिए B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है।

उत्तर:

(i)

△ A PB ≅ △ A QB

(AAS)

(ii)

BP = BQ

, अर्थात् B कोण A की भुजाओं से समदूरस्थ है।

प्रश्न 6

आकृति 7.21 में, $A C = A E$ , $A B = A D$ और $∠ B A D = ∠ E A C$ है। दर्शाइए कि $BC = D E$ है।

ज्ञात है

A C = A E

A B = A D

∠ B A D = ∠ E A C

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:

BC = D E

आकृति 7.21

हल की आकृति: AB = AD लाल (एक निशान), AC = AE नारंगी (दो निशान); बैंगनी बिंदुदार चाप ∠BAC और ∠DAE

AB = ADAC = AE∠BAD = ∠EAC∠DAC∠BAC, ∠DAEBC, DE

चरण 1:

∠ B A C = ∠ D A E

दिखाना

(1) यूक्लिड की अभिधारणा: यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।

∠ B A D

=

∠ E A C \dots (1)

(दिया है)

∠ B A D + ∠ D A C

=

∠ E A C + ∠ D A C

((1) के दोनों पक्षों में ∠DAC जोड़ने पर)

∠ B A D + ∠ D A C

=

∠ B A C

(किरण AD, ∠BAC के अंदर है)

∠ E A C + ∠ D A C

=

∠ D A E

(किरण AC, ∠DAE के अंदर है)

∠ B A C

=

∠ D A E \dots (2)

(ऊपर के तीनों कथनों से)

चरण 2: सर्वांगसमता

(2) अभिगृहीत 7.1 (SAS सर्वांगसमता नियम): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।

△ A BC

और

△ A D E

में,

	कथन	कारण
भुजा	$A B = A D$	दिया है
कोण	$∠ B A C = ∠ D A E$	(2) से
भुजा	$A C = A E$	दिया है
	$△ A BC ≅ △ A D E$	SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow A

B \leftrightarrow D

C \leftrightarrow E

कथन	कारण
$BC = D E$	CPCT (B ↔ D, C ↔ E, इसलिए BC ↔ DE)

उत्तर:

BC = D E

सिद्ध हुआ।

प्रश्न 7

$A B$ एक रेखाखंड है और $P$ इसका मध्य-बिंदु है। $D$ और $E$ रेखाखंड $A B$ के एक ही ओर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि $∠ B A D = ∠ A BE$ और $∠ EP A = ∠ D PB$ है। (देखिए आकृति 7.22)। दर्शाइए कि(i) $△ D A P ≅ △ EBP$ (ii) $A D = BE$

ज्ञात है

P

A B

का मध्य-बिंदु है:

A P = BP

∠ B A D = ∠ A BE

∠ EP A = ∠ D PB

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i)

△ D A P ≅ △ EBP

(ii)

A D = BE

आकृति 7.22

हल की आकृति: AP = BP लाल, ∠A = ∠B नीले, P पर दिए कोण नारंगी; बैंगनी बिंदुदार चाप ∠DPA और ∠EPB

AP = BP∠BAD = ∠ABE∠EPA = ∠DPB∠EPD∠DPA, ∠EPBAD, BE

चरण 1:

∠ D P A = ∠ EPB

दिखाना

∠ EP A

=

∠ D PB \dots (1)

(दिया है)

∠ EP A + ∠ D PE

=

∠ D PB + ∠ D PE

((1) के दोनों पक्षों में ∠DPE जोड़ने पर)

∠ EP A + ∠ D PE

=

∠ D P A

(किरण PE, ∠DPA के अंदर है)

∠ D PB + ∠ D PE

=

∠ EPB

(किरण PD, ∠EPB के अंदर है)

∠ D P A

=

∠ EPB \dots (2)

(ऊपर के तीनों कथनों से)

(i)

△ D A P ≅ △ EBP

△ D A P

और

△ EBP

में,

	कथन	कारण
कोण	$∠ D A P = ∠ EBP$	दिया है (∠BAD = ∠ABE)
भुजा	$A P = BP$	P, AB का मध्य-बिंदु है
कोण	$∠ D P A = ∠ EPB$	(2) से
	$△ D A P ≅ △ EBP$	ASA सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

D \leftrightarrow E

A \leftrightarrow B

P \leftrightarrow P

(ii)

A D = BE

कथन	कारण
$A D = BE$	CPCT (D ↔ E, A ↔ B, इसलिए AD ↔ BE)

उत्तर:

(i)

△ D A P ≅ △ EBP

(ASA)

(ii)

A D = BE

— सिद्ध हुआ।

प्रश्न 8

एक समकोण त्रिभुज $A BC$ में, जिसमें कोण $C$ समकोण है, $M$ कर्ण $A B$ का मध्य-बिंदु है। $C$ को $M$ से मिलाकर $D$ तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि $D M = CM$ है। बिंदु $D$ को बिंदु $B$ से मिला दिया जाता है (देखिए आकृति 7.23)। दर्शाइए कि(i) $△ A MC ≅ △ BM D$ (ii) $∠ D BC$ एक समकोण है(iii) $△ D BC ≅ △ A CB$ (iv) $CM = \frac{1}{2} A B$

ज्ञात है

△ A BC

में

∠ A CB = 9 0^{\circ}

M

, कर्ण

A B

का मध्य-बिंदु:

A M = BM

D M = CM

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:
(i)

△ A MC ≅ △ BM D

(ii)

∠ D BC = 9 0^{\circ}

(iii)

△ D BC ≅ △ A CB

(iv)

CM = \frac{1}{2} A B

आकृति 7.23

हल की आकृति: AM = BM लाल, CM = DM नारंगी, शीर्षाभिमुख कोण नीले, AC = DB भूरी, BC हरी

AM = BMCM = DM∠AMC = ∠BMD∠ACM = ∠BDMAC = DBसमकोणBC उभयनिष्ठ

(i)

△ A MC ≅ △ BM D

△ A MC

और

△ BM D

में,

	कथन	कारण
भुजा	$A M = BM$	M, AB का मध्य-बिंदु है
कोण	$∠ A MC = ∠ BM D$	शीर्षाभिमुख कोण
भुजा	$CM = D M$	दिया है
	$△ A MC ≅ △ BM D$	SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

A \leftrightarrow B

M \leftrightarrow M

C \leftrightarrow D

(ii)

∠ D BC = 9 0^{\circ}

(i) से CPCT द्वारा:

कथन	कारण
$∠ A CM = ∠ B D M (1)$	CPCT (C ↔ D)
$A C = D B (2)$	CPCT (A ↔ B, C ↔ D)

(4) एकांतर अंतः कोणों का विलोम: यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि एकांतर अंतः कोणों का एक युग्म बराबर है, तो दोनों रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं।

A C ∥ D B

(तिर्यक रेखा CD, रेखाओं AC और DB के साथ एकांतर अंतः कोण ∠ACD और ∠BDC बनाती है और (1) से ये बराबर हैं)

(5) तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण: यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म संपूरक होता है (योग

18 0^{\circ}

)।

∠ D BC + ∠ A CB

=

18 0^{\circ}

(AC ∥ DB, तिर्यक रेखा BC — एक ही ओर के अंतः कोण)

∠ D BC + 9 0^{\circ}

=

18 0^{\circ}

(∠ACB = 90° रखने पर)

∠ D BC

=

18 0^{\circ} - 9 0^{\circ}

(+90° को पक्षांतर करने पर −90° हो जाता है)

=

9 0^{\circ}

(180 − 90 = 90)

अतः $∠ D BC$ एक समकोण है।

(iii)

△ D BC ≅ △ A CB

(6) अभिगृहीत 7.1 (SAS सर्वांगसमता नियम): दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनका अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों।

△ D BC

और

△ A CB

में,

	कथन	कारण
भुजा	$D B = A C$	(2) से
कोण	$∠ D BC = ∠ A CB$	दोनों 90° हैं [(ii) से और दिया है]
भुजा	$BC = CB$	उभयनिष्ठ भुजा
	$△ D BC ≅ △ A CB$	SAS सर्वांगसमता नियम द्वारा

संगत शीर्ष:

D \leftrightarrow A

B \leftrightarrow C

C \leftrightarrow B

(iv)

CM = \frac{1}{2} A B

कथन	कारण
$D C = A B (3)$	(iii) से CPCT (D ↔ A, C ↔ B, इसलिए DC ↔ AB)

D C

=

D M + CM

(M, रेखाखंड DC पर है)

=

CM + CM

(DM = CM (दिया है) रखने पर)

=

2 CM

(CM + CM = 2CM)

2 CM

=

D C

(पक्ष बदलकर लिखने पर)

CM

=

\frac{1}{2} D C

(2 को पक्षांतर करने पर (गुणा → भाग))

=

\frac{1}{2} A B

((3) से DC = AB रखने पर)

उत्तर:

(i)

△ A MC ≅ △ BM D

(SAS)

(ii)

∠ D BC = 9 0^{\circ}

(iii)

△ D BC ≅ △ A CB

(SAS)

(iv)

CM = \frac{1}{2} A B

— चारों सिद्ध हुए।

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 7 ‘त्रिभुज’ के अनुसार है।