प्रश्नावली 6.2 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 6: रेखाएँ और कोण · 5 प्रश्न

प्रश्न 1

आकृति 6.23 में, यदि $A B ∥ C D$ , $C D ∥ EF$ और $y : z = 3 : 7$ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

A B ∥ C D

C D ∥ EF

y : z = 3 : 7

ज्ञात करना है

x

का मान

आकृति 6.23

हल की आकृति: ∠1, y का संगत कोण (EF पर)

चरण 1:

A B

और

EF

का संबंध

(1) प्रमेय 6.6: वे रेखाएँ जो एक ही रेखा के समांतर हों, परस्पर समांतर होती हैं।

A B ∥ EF

(AB ∥ CD और CD ∥ EF, अर्थात् AB और EF दोनों एक ही रेखा CD के समांतर हैं)

चरण 2:

y

और

z

का संबंध

EF पर, तिर्यक रेखा के ऊपर बाईं ओर का कोण $∠1$ लीजिए (हल की आकृति)।

(2) संगत कोण अभिगृहीत: यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो संगत कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।

∠1

=

y

(CD ∥ EF, ∠1 और y संगत कोण हैं)

(3) रैखिक युग्म अभिगृहीत (अभिगृहीत 6.1): यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी हो, तो इस प्रकार बने दोनों आसन्न कोणों का योग

18 0^{\circ}

होता है।

∠1 + z

=

18 0^{\circ}

(तिर्यक रेखा का भाग रेखा EF पर खड़ा है (रैखिक युग्म))

y + z

=

18 0^{\circ}

(∠1 = y रखने पर)

चरण 3: अनुपात से

y

और

z

$y : z = 3 : 7$ है, इसलिए माना $y = 3 k$ और $z = 7 k$ ।

3 k + 7 k

=

18 0^{\circ}

(y = 3k, z = 7k रखने पर)

10 k

=

18 0^{\circ}

(3k + 7k = 10k)

k

=

\frac{18 0 ^{\circ}}{10}

(10 को पक्षांतर करने पर (गुणा → भाग))

=

1 8^{\circ}

(180 ÷ 10 = 18)

y

=

3 \times 1 8^{\circ}

(y = 3k, k = 18°)

=

5 4^{\circ}

(3 × 18 = 54)

z

=

7 \times 1 8^{\circ}

(z = 7k, k = 18°)

=

12 6^{\circ}

(7 × 18 = 126)

चरण 4:

x

ज्ञात करना

(4) एकांतर अंतः कोण: यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो एकांतर अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।

x

=

z

(AB ∥ EF (चरण 1), x और z एकांतर अंतः कोण हैं)

=

12 6^{\circ}

(z = 126°)

उत्तर:

x = 12 6^{\circ}

प्रश्न 2

आकृति 6.24 में, यदि $A B ∥ C D$ , $EF ⊥ C D$ और $∠ GE D = 12 6^{\circ}$ है, तो $∠ A GE$ , $∠ GEF$ और $∠ FGE$ ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

A B ∥ C D

EF ⊥ C D

∠ GE D = 12 6^{\circ}

ज्ञात करना है

(i)

∠ A GE

(ii)

∠ GEF

(iii)

∠ FGE

आकृति 6.24

हल की आकृति: ∠GED नारंगी, ∠AGE लाल, ∠GEF हरा, ∠FGE नीला

चरण 1:

∠ A GE

(1) एकांतर अंतः कोण: यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो एकांतर अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।

∠ A GE

=

∠ GE D

(AB ∥ CD, तिर्यक रेखा GE; ∠AGE और ∠GED एकांतर अंतः कोण हैं)

=

12 6^{\circ}

(∠GED = 126° दिया है)

चरण 2:

∠ GEF

(2) लम्ब:

EF ⊥ C D

है, इसलिए

∠ FE D = 9 0^{\circ}

।

∠ GEF + ∠ FE D

=

∠ GE D

(किरण EF, ∠GED के अंदर है)

∠ GEF + 9 0^{\circ}

=

12 6^{\circ}

(∠FED = 90°, ∠GED = 126° रखने पर)

∠ GEF

=

12 6^{\circ} - 9 0^{\circ}

(+90° को पक्षांतर करने पर)

=

3 6^{\circ}

(126 − 90 = 36)

चरण 3:

∠ FGE

18 0^{\circ}

होता है।

∠ A GE + ∠ FGE

=

18 0^{\circ}

(किरण GE रेखा AB पर खड़ी है (रैखिक युग्म))

12 6^{\circ} + ∠ FGE

=

18 0^{\circ}

(∠AGE = 126° रखने पर)

∠ FGE

=

18 0^{\circ} - 12 6^{\circ}

(+126° को पक्षांतर करने पर)

=

5 4^{\circ}

(180 − 126 = 54)

उत्तर:

(i)

∠ A GE = 12 6^{\circ}

(ii)

∠ GEF = 3 6^{\circ}

(iii)

∠ FGE = 5 4^{\circ}

प्रश्न 3

आकृति 6.25 में, यदि $PQ ∥ ST$ , $∠ PQR = 11 0^{\circ}$ और $∠ RST = 13 0^{\circ}$ है, तो $∠ QRS$ ज्ञात कीजिए।
[संकेत: बिंदु $R$ से होकर $ST$ के समांतर एक रेखा खींचिए।]

ज्ञात है

PQ ∥ ST

∠ PQR = 11 0^{\circ}

∠ RST = 13 0^{\circ}

ज्ञात करना है

∠ QRS

आकृति 6.25

हल की आकृति: R से होकर AB ∥ ST (बैंगनी बिंदुदार)

रचना: बिंदु $R$ से होकर $ST$ के समांतर एक रेखा $A B$ खींचिए (संकेत के अनुसार)।

चरण 1:

A B ∥ PQ

(1) प्रमेय 6.6: वे रेखाएँ जो एक ही रेखा के समांतर हों, परस्पर समांतर होती हैं।

A B ∥ PQ

(AB ∥ ST (रचना) और PQ ∥ ST (दिया है); दोनों एक ही रेखा ST के समांतर हैं)

चरण 2:

∠ QR A

(2) तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण: यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म संपूरक होता है (योग

18 0^{\circ}

)।

∠ PQR + ∠ QR A

=

18 0^{\circ}

(PQ ∥ AB, तिर्यक रेखा QR के एक ही ओर (बाईं ओर) के अंतः कोण)

11 0^{\circ} + ∠ QR A

=

18 0^{\circ}

(∠PQR = 110° रखने पर)

∠ QR A

=

18 0^{\circ} - 11 0^{\circ}

(+110° को पक्षांतर करने पर)

=

7 0^{\circ}

(180 − 110 = 70)

चरण 3:

∠ SRB

∠ RST + ∠ SRB

=

18 0^{\circ}

(ST ∥ AB, तिर्यक रेखा RS के एक ही ओर (दाईं ओर) के अंतः कोण — गुण (2))

13 0^{\circ} + ∠ SRB

=

18 0^{\circ}

(∠RST = 130° रखने पर)

∠ SRB

=

18 0^{\circ} - 13 0^{\circ}

(+130° को पक्षांतर करने पर)

=

5 0^{\circ}

(180 − 130 = 50)

चरण 4:

∠ QRS

(3) रेखा पर एक बिंदु के कोण: रेखा

A B

पर बिंदु

R

के एक ओर बने सभी आसन्न कोणों का योग

18 0^{\circ}

होता है (रैखिक युग्म अभिगृहीत से)।

∠ QR A + ∠ QRS + ∠ SRB

=

18 0^{\circ}

(AB एक रेखा है)

7 0^{\circ} + ∠ QRS + 5 0^{\circ}

=

18 0^{\circ}

(मान रखने पर)

12 0^{\circ} + ∠ QRS

=

18 0^{\circ}

(70 + 50 = 120)

∠ QRS

=

18 0^{\circ} - 12 0^{\circ}

(+120° को पक्षांतर करने पर)

=

6 0^{\circ}

(180 − 120 = 60)

उत्तर:

∠ QRS = 6 0^{\circ}

प्रश्न 4

आकृति 6.26 में, यदि $A B ∥ C D$ , $∠ A PQ = 5 0^{\circ}$ और $∠ PR D = 12 7^{\circ}$ है, तो $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

A B ∥ C D

∠ A PQ = 5 0^{\circ}

∠ PR D = 12 7^{\circ}

ज्ञात करना है

x

और

y

आकृति 6.26

हल की आकृति: बिंदुदार नारंगी चाप = ∠APR (= ∠PRD, एकांतर)

आकृति से:

x = ∠ PQR

और

y = ∠ QPR

चरण 1:

x

ज्ञात करना

x

=

∠ A PQ

(AB ∥ CD, तिर्यक रेखा PQ; ∠PQR और ∠APQ एकांतर अंतः कोण हैं)

=

5 0^{\circ}

(∠APQ = 50° दिया है)

चरण 2:

∠ A PR

ज्ञात करना

∠ A PR

=

∠ PR D

(AB ∥ CD, तिर्यक रेखा PR; एकांतर अंतः कोण — गुण (1))

=

12 7^{\circ}

(∠PRD = 127° दिया है)

चरण 3:

y

ज्ञात करना

∠ A PQ + y

=

∠ A PR

(किरण PQ, ∠APR के अंदर है: ∠APQ + ∠QPR = ∠APR)

5 0^{\circ} + y

=

12 7^{\circ}

(मान रखने पर)

y

=

12 7^{\circ} - 5 0^{\circ}

(+50° को पक्षांतर करने पर)

=

7 7^{\circ}

(127 − 50 = 77)

उत्तर:

(i)

x = 5 0^{\circ}

(ii)

y = 7 7^{\circ}

प्रश्न 5

आकृति 6.27 में, $PQ$ और $RS$ दो दर्पण हैं जो एक दूसरे के समांतर रखे गए हैं। एक आपतन किरण (incident ray) $A B$ , दर्पण $PQ$ से $B$ पर टकराती है और परावर्तित किरण (reflected ray) पथ $BC$ पर चलकर दर्पण $RS$ से $C$ पर टकराती है तथा पुनः $C D$ के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि $A B ∥ C D$ है।

ज्ञात है

दर्पण

PQ ∥ RS

आपतन किरण

A B

, परावर्तित किरण

BC

, फिर परावर्तित किरण

C D

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:

A B ∥ C D

आकृति 6.27

हल की आकृति: BM और CN अभिलंब (बैंगनी बिंदुदार); ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4

रचना: बिंदु $B$ पर दर्पण $PQ$ का अभिलंब $BM$ और बिंदु $C$ पर दर्पण $RS$ का अभिलंब $CN$ खींचिए।

आकृति में:

∠1 = ∠ A BM

(आपतन कोण),

∠2 = ∠ MBC

(परावर्तन कोण),

∠3 = ∠ BCN

(आपतन कोण),

∠4 = ∠ NC D

(परावर्तन कोण)

उपपत्ति (कथन और कारण):

(1) संगत कोण अभिगृहीत का विलोम: यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि संगत कोणों का एक युग्म बराबर है, तो दोनों रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं।

BM ∥ CN

(BM ⊥ PQ और PQ ∥ RS, इसलिए BM ⊥ RS भी (संगत कोण 90°); CN ⊥ RS; RS के साथ दोनों के संगत कोण 90° = 90° हैं)

(2) एकांतर अंतः कोण: यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तो एकांतर अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है।

∠2

=

∠3 \dots (1)

(BM ∥ CN, तिर्यक रेखा BC; ∠MBC और ∠BCN एकांतर अंतः कोण हैं)

(3) परावर्तन का नियम: आपतन कोण = परावर्तन कोण (दोनों अभिलंब से मापे जाते हैं)।

∠1

=

∠2 \dots (2)

(बिंदु B पर परावर्तन)

∠4

=

∠3 \dots (3)

(बिंदु C पर परावर्तन)

∠ A BC

=

∠1 + ∠2

(किरण BM, ∠ABC के अंदर है)

=

∠2 + ∠2

((2) से ∠1 = ∠2 रखने पर)

=

2 ∠2 \dots (4)

(∠2 + ∠2 = 2∠2)

∠ BC D

=

∠3 + ∠4

(किरण CN, ∠BCD के अंदर है)

=

∠3 + ∠3

((3) से ∠4 = ∠3 रखने पर)

=

2 ∠3

(∠3 + ∠3 = 2∠3)

=

2 ∠2 \dots (5)

((1) से ∠3 = ∠2 रखने पर)

∠ A BC

=

∠ BC D

((4) और (5) से, दोनों 2∠2 के बराबर हैं)

एकांतर कोण ∠ABC = ∠BCD (हरा) ⇒ AB ∥ CD (लाल)

(4) एकांतर अंतः कोणों का विलोम: यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि एकांतर अंतः कोणों का एक युग्म बराबर है, तो दोनों रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं।

A B ∥ C D

(तिर्यक रेखा BC, रेखाओं AB और CD के साथ एकांतर अंतः कोण ∠ABC और ∠BCD बनाती है और ये बराबर हैं)

जाँच (आकृति में आपतन कोण

3 6^{\circ}

लिया है):

∠ A BC = 2 \times 3 6^{\circ} = 7 2^{\circ}

और

∠ BC D = 7 2^{\circ}

✔

उत्तर:

A B ∥ C D

सिद्ध हुआ।

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 6 ‘रेखाएँ और कोण’ के अनुसार है।