प्रश्नावली 6.1 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 6: रेखाएँ और कोण · 6 प्रश्न

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6

प्रश्न 1

आकृति 6.13 में, रेखाएँ $A B$ और $C D$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $∠ A OC + ∠ BOE = 7 0^{\circ}$ है और $∠ BO D = 4 0^{\circ}$ है, तो $∠ BOE$ और प्रतिवर्ती $∠ COE$ ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

रेखाएँ

A B

और

C D

बिंदु

O

पर प्रतिच्छेद करती हैं।

∠ A OC + ∠ BOE = 7 0^{\circ}

∠ BO D = 4 0^{\circ}

ज्ञात करना है

(i)

∠ BOE

(ii) प्रतिवर्ती

∠ COE

आकृति 6.13

हल की आकृति: रंगीन कोण (बैंगनी बिंदुदार = प्रतिवर्ती ∠COE)

∠AOC∠BOD∠BOE∠COEप्रतिवर्ती ∠COE

चरण 1:

∠ A OC

ज्ञात करना

(1) प्रमेय 6.1 (शीर्षाभिमुख कोण): यदि दो रेखाएँ परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।

∠ A OC

=

∠ BO D

(रेखाएँ AB और CD प्रतिच्छेद करती हैं, ∠AOC और ∠BOD शीर्षाभिमुख कोण हैं)

=

4 0^{\circ}

(∠BOD = 40° दिया है)

चरण 2:

∠ BOE

ज्ञात करना

∠ A OC + ∠ BOE

=

7 0^{\circ}

(दिया है)

4 0^{\circ} + ∠ BOE

=

7 0^{\circ}

(∠AOC = 40° रखने पर)

∠ BOE

=

7 0^{\circ} - 4 0^{\circ}

(+40° को पक्षांतर करने पर −40° हो जाता है)

=

3 0^{\circ}

(70 − 40 = 30)

चरण 3:

∠ COE

ज्ञात करना

(2) रैखिक युग्म अभिगृहीत (अभिगृहीत 6.1): यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी हो, तो इस प्रकार बने दोनों आसन्न कोणों का योग

18 0^{\circ}

होता है।

∠ A OC + ∠ COB

=

18 0^{\circ}

(किरण OC रेखा AB पर खड़ी है (रैखिक युग्म))

∠ COB

=

∠ COE + ∠ EOB

(किरण OE, ∠COB के अंदर है)

∠ A OC + ∠ COE + ∠ EOB

=

18 0^{\circ}

(∠COB का मान रखने पर)

4 0^{\circ} + ∠ COE + 3 0^{\circ}

=

18 0^{\circ}

(∠AOC = 40°, ∠EOB = 30° रखने पर)

7 0^{\circ} + ∠ COE

=

18 0^{\circ}

(40 + 30 = 70)

∠ COE

=

18 0^{\circ} - 7 0^{\circ}

(+70° को पक्षांतर करने पर)

=

11 0^{\circ}

(180 − 70 = 110)

चरण 4: प्रतिवर्ती

∠ COE

ज्ञात करना

(3) प्रतिवर्ती कोण: किसी कोण का प्रतिवर्ती कोण

= 36 0^{\circ} -

वह कोण। (प्रतिवर्ती कोण

18 0^{\circ}

से बड़ा और

36 0^{\circ}

से छोटा होता है।)

प्रतिवर्ती

∠ COE

=

36 0^{\circ} - ∠ COE

(प्रतिवर्ती कोण = 360° − कोण)

=

36 0^{\circ} - 11 0^{\circ}

(∠COE = 110° रखने पर)

=

25 0^{\circ}

(360 − 110 = 250)

उत्तर:

(i)

∠ BOE = 3 0^{\circ}

(ii) प्रतिवर्ती

∠ COE = 25 0^{\circ}

प्रश्न 2

आकृति 6.14 में, रेखाएँ $X Y$ और $MN$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $∠ PO Y = 9 0^{\circ}$ और $a : b = 2 : 3$ है, तो $c$ ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

रेखाएँ

X Y

और

MN

बिंदु

O

पर प्रतिच्छेद करती हैं।

∠ PO Y = 9 0^{\circ}

a : b = 2 : 3

ज्ञात करना है

c

का मान

आकृति 6.14

हल की आकृति: a लाल, b नीला, c हरा

चरण 1:

∠ XOP

ज्ञात करना

(1) रैखिक युग्म अभिगृहीत (अभिगृहीत 6.1): यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी हो, तो इस प्रकार बने दोनों आसन्न कोणों का योग

18 0^{\circ}

होता है।

∠ XOP + ∠ PO Y

=

18 0^{\circ}

(किरण OP रेखा XY पर खड़ी है (रैखिक युग्म))

∠ XOP + 9 0^{\circ}

=

18 0^{\circ}

(∠POY = 90° रखने पर)

∠ XOP

=

18 0^{\circ} - 9 0^{\circ}

(+90° को पक्षांतर करने पर)

=

9 0^{\circ}

(180 − 90 = 90)

चरण 2:

a

और

b

ज्ञात करना

a + b

=

∠ XOP

(किरण OM, ∠XOP के अंदर है: ∠POM + ∠MOX = ∠XOP)

=

9 0^{\circ}

(∠XOP = 90°)

$a : b = 2 : 3$ है, इसलिए माना $a = 2 k$ और $b = 3 k$ ।

2 k + 3 k

=

9 0^{\circ}

(a = 2k, b = 3k रखने पर)

5 k

=

9 0^{\circ}

(2k + 3k = 5k)

k

=

\frac{9 0 ^{\circ}}{5}

(5 से भाग देने पर (गुणा का 5 पक्षांतर होकर भाग बन जाता है))

=

1 8^{\circ}

(90 ÷ 5 = 18)

a

=

2 k

=

2 \times 1 8^{\circ}

(k = 18° रखने पर)

=

3 6^{\circ}

(2 × 18 = 36)

b

=

3 k

=

3 \times 1 8^{\circ}

(k = 18° रखने पर)

=

5 4^{\circ}

(3 × 18 = 54)

चरण 3:

c

ज्ञात करना

18 0^{\circ}

होता है।

b + c

=

18 0^{\circ}

(किरण OX रेखा MN पर खड़ी है: ∠XOM + ∠XON = 180°)

5 4^{\circ} + c

=

18 0^{\circ}

(b = 54° रखने पर)

c

=

18 0^{\circ} - 5 4^{\circ}

(+54° को पक्षांतर करने पर)

=

12 6^{\circ}

(180 − 54 = 126)

उत्तर:

c = 12 6^{\circ}

(साथ में

a = 3 6^{\circ}

b = 5 4^{\circ}

)

प्रश्न 3

आकृति 6.15 में, यदि $∠ PQR = ∠ PRQ$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $∠ PQS = ∠ PRT$ है।

ज्ञात है

ST

एक रेखा है,

Q

और

R

उस पर हैं।

∠ PQR = ∠ PRQ

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:

∠ PQS = ∠ PRT

आकृति 6.15

हल की आकृति: लाल = अंदर के बराबर कोण, नीला = बाहर के कोण

18 0^{\circ}

होता है।

उपपत्ति (कथन और कारण):

∠ PQS + ∠ PQR

=

18 0^{\circ} \dots (1)

(किरण QP रेखा ST पर खड़ी है (रैखिक युग्म अभिगृहीत))

∠ PRT + ∠ PRQ

=

18 0^{\circ} \dots (2)

(किरण RP रेखा ST पर खड़ी है (रैखिक युग्म अभिगृहीत))

∠ PQS + ∠ PQR

=

∠ PRT + ∠ PRQ

((1) और (2) से, दोनों 180° के बराबर हैं)

∠ PRQ

=

∠ PQR \dots (3)

(दिया है)

∠ PQS + ∠ PQR

=

∠ PRT + ∠ PQR

((3) से ∠PRQ के स्थान पर ∠PQR रखने पर)

∠ PQS

=

∠ PRT + ∠ PQR - ∠ PQR

(+∠PQR को पक्षांतर करने पर)

=

∠ PRT

(∠PQR − ∠PQR = 0)

उत्तर:

∠ PQS = ∠ PRT

सिद्ध हुआ।

प्रश्न 4

आकृति 6.16 में, यदि $x + y = w + z$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $A OB$ एक रेखा है।

ज्ञात है

किरणें

O A, OB, OC, O D

बिंदु

O

से निकलती हैं।

x + y = w + z

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:

A OB

एक रेखा है।

आकृति 6.16

हल की आकृति: x + y = 180° होने पर OA और OB एक सीध में (बैंगनी बिंदुदार रेखा)

आकृति से:

x = ∠ BOC

y = ∠ CO A

z = ∠ A O D

w = ∠ D OB

उपपत्ति (कथन और कारण):

(1) एक बिंदु के चारों ओर के कोण: एक बिंदु के चारों ओर बने सभी कोणों का योग

36 0^{\circ}

होता है।

x + y + z + w

=

36 0^{\circ} \dots (1)

(बिंदु O के चारों ओर के कोण)

w + z

=

x + y \dots (2)

(दिया है)

x + y + (w + z)

=

36 0^{\circ}

((1) के पदों को क्रम बदलकर लिखा)

x + y + (x + y)

=

36 0^{\circ}

((2) से w + z के स्थान पर x + y रखने पर)

2 (x + y)

=

36 0^{\circ}

((x + y) + (x + y) = 2(x + y))

x + y

=

\frac{36 0 ^{\circ}}{2}

(2 को पक्षांतर करने पर (गुणा → भाग))

=

18 0^{\circ}

(360 ÷ 2 = 180)

∠ BOC + ∠ CO A

=

18 0^{\circ}

(x = ∠BOC, y = ∠COA)

$∠ BOC$ और $∠ CO A$ आसन्न कोण हैं: उभयनिष्ठ भुजा $OC$ है और अउभयनिष्ठ भुजाएँ $OB$ तथा $O A$ हैं।

(2) अभिगृहीत 6.2 (रैखिक युग्म अभिगृहीत का विलोम): यदि दो आसन्न कोणों का योग

18 0^{\circ}

है, तो उनकी अउभयनिष्ठ भुजाएँ एक रेखा बनाती हैं।

इसलिए अउभयनिष्ठ भुजाएँ $O A$ और $OB$ एक ही रेखा बनाती हैं (अभिगृहीत 6.2)।

उत्तर:

A OB

एक रेखा है। सिद्ध हुआ।

प्रश्न 5

आकृति 6.17 में, $POQ$ एक रेखा है। किरण $OR$ रेखा $PQ$ पर लम्ब है। किरणों $OP$ और $OR$ के बीच में $OS$ एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए: $∠ ROS = \frac{1}{2} (∠ QOS - ∠ POS)$

ज्ञात है

POQ

एक रेखा है।
किरण

OR ⊥ PQ

किरण

OS

, किरणों

OP

और

OR

के बीच है।

ज्ञात करना है

सिद्ध करना है:

∠ ROS = \frac{1}{2} (∠ QOS - ∠ POS)

आकृति 6.17

हल की आकृति: ∠ROS लाल, ∠POS नीला, ∠QOS हरा

उपपत्ति (कथन और कारण):

(1) लम्ब की परिभाषा:

OR ⊥ PQ

का अर्थ है कि

∠ ROQ = 9 0^{\circ}

और

∠ ROP = 9 0^{\circ}

।

∠ QOS

=

∠ QOR + ∠ ROS

(किरण OR, ∠QOS के अंदर है)

=

9 0^{\circ} + ∠ ROS \dots (1)

(∠QOR = 90° रखने पर)

∠ POS + ∠ ROS

=

∠ POR

(किरण OS, ∠POR के अंदर है)

=

9 0^{\circ}

(∠POR = 90°)

∠ POS

=

9 0^{\circ} - ∠ ROS \dots (2)

(+∠ROS को पक्षांतर करने पर)

∠ QOS - ∠ POS

=

(9 0^{\circ} + ∠ ROS)

((1) में से (2) घटाने पर)

- (9 0^{\circ} - ∠ ROS)

=

9 0^{\circ} + ∠ ROS - 9 0^{\circ} + ∠ ROS

(कोष्ठक खोलने पर: −(−∠ROS) = +∠ROS)

=

∠ ROS + ∠ ROS

(90° − 90° = 0)

=

2 ∠ ROS

(∠ROS + ∠ROS = 2∠ROS)

2 ∠ ROS

=

∠ QOS - ∠ POS

(पक्ष बदलकर लिखने पर)

∠ ROS

=

\frac{1}{2} (∠ QOS - ∠ POS)

(2 को पक्षांतर करने पर (गुणा → भाग))

जाँच (आकृति के कोणों से):

∠ QOS = 11 6^{\circ}

∠ POS = 6 4^{\circ}

, तो

\frac{1}{2} (11 6^{\circ} - 6 4^{\circ}) = 2 6^{\circ} = ∠ ROS

✔

उत्तर:

∠ ROS = \frac{1}{2} (∠ QOS - ∠ POS)

सिद्ध हुआ।

प्रश्न 6

यह दिया है कि $∠ X Y Z = 6 4^{\circ}$ है और $X Y$ को बिंदु $P$ तक बढ़ाया गया है। दी हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण $Y Q$ , $∠ Z Y P$ को समद्विभाजित करती है, तो $∠ X Y Q$ और प्रतिवर्ती $∠ Q Y P$ के मान ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

∠ X Y Z = 6 4^{\circ}

X Y

को बिंदु

P

तक बढ़ाया गया है।
किरण

Y Q

∠ Z Y P

को समद्विभाजित करती है।

ज्ञात करना है

(i)

∠ X Y Q

(ii) प्रतिवर्ती

∠ Q Y P

आकृति बनाना: एक रेखाखंड $X Y$ खींचिए। $Y$ पर $6 4^{\circ}$ का कोण $∠ X Y Z$ बनाइए। $X Y$ को $Y$ से आगे $P$ तक बढ़ाइए। फिर $∠ Z Y P$ का समद्विभाजक $Y Q$ खींचिए।

प्रश्न 6 की आकृति: XY को P तक बढ़ाया (बिंदुदार), YQ ∠ZYP का समद्विभाजक

हल की आकृति: ∠XYQ हरा चाप, प्रतिवर्ती ∠QYP बैंगनी बिंदुदार

चरण 1:

∠ Z Y P

ज्ञात करना

18 0^{\circ}

होता है।

∠ X Y Z + ∠ Z Y P

=

18 0^{\circ}

(किरण YZ रेखा XP पर खड़ी है (रैखिक युग्म))

6 4^{\circ} + ∠ Z Y P

=

18 0^{\circ}

(∠XYZ = 64° रखने पर)

∠ Z Y P

=

18 0^{\circ} - 6 4^{\circ}

(+64° को पक्षांतर करने पर)

=

11 6^{\circ}

(180 − 64 = 116)

चरण 2:

∠ Z Y Q

और

∠ Q Y P

ज्ञात करना

(2) कोण समद्विभाजक: समद्विभाजक किरण कोण को दो बराबर भागों में बाँटती है।

∠ Z Y Q

=

∠ Q Y P

(YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है)

=

\frac{1}{2} \times ∠ Z Y P

(बराबर आधे भाग)

=

\frac{1}{2} \times 11 6^{\circ}

(∠ZYP = 116° रखने पर)

=

5 8^{\circ}

(116 ÷ 2 = 58)

चरण 3:

∠ X Y Q

ज्ञात करना

∠ X Y Q

=

∠ X Y Z + ∠ Z Y Q

(किरण YZ, ∠XYQ के अंदर है)

=

6 4^{\circ} + 5 8^{\circ}

(मान रखने पर)

=

12 2^{\circ}

(64 + 58 = 122)

चरण 4: प्रतिवर्ती

∠ Q Y P

ज्ञात करना

(3) प्रतिवर्ती कोण: किसी कोण का प्रतिवर्ती कोण

= 36 0^{\circ} -

वह कोण। (प्रतिवर्ती कोण

18 0^{\circ}

से बड़ा और

36 0^{\circ}

से छोटा होता है।)

प्रतिवर्ती

∠ Q Y P

=

36 0^{\circ} - ∠ Q Y P

(प्रतिवर्ती कोण = 360° − कोण)

=

36 0^{\circ} - 5 8^{\circ}

(∠QYP = 58° रखने पर)

=

30 2^{\circ}

(360 − 58 = 302)

उत्तर:

(i)

∠ X Y Q = 12 2^{\circ}

(ii) प्रतिवर्ती

∠ Q Y P = 30 2^{\circ}

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 6 ‘रेखाएँ और कोण’ के अनुसार है।