प्रश्नावली 4.2 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 4: दो चरों वाले रैखिक समीकरण · 4 प्रश्न (रैखिक समीकरण के हल)

प्रश्न 1

निम्नलिखित विकल्पों में कौन-सा विकल्प सत्य है, और क्यों? $y = 3 x + 5$ का (i) एक अद्वितीय हल है(ii) केवल दो हल हैं(iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं

समीकरण $y = 3 x + 5$ में $x$ का कोई भी मान रखने पर $y$ का एक मान मिलता है। कुछ मान रखकर देखते हैं:

y

3 \times 0 + 5

0 + 5

5

x = 0

पर

y = 5

, अतः

(0, 5)

एक हल है।

y

3 \times 1 + 5

3 + 5

8

x = 1

पर

y = 8

, अतः

(1, 8)

एक हल है।

y

3 \times 2 + 5

6 + 5

11

x = 2

पर

y = 11

, अतः

(2, 11)

एक हल है।

y

3 \times (- 1) + 5

- 3 + 5

2

x = - 1

पर

y = 2

, अतः

(- 1, 2)

एक हल है।

$x$ के मान अपरिमित (अनगिनत) हैं और हर मान के लिए $y$ का एक मान मिलता है। इसलिए इस समीकरण के हल भी अपरिमित रूप से अनेक हैं।

दो चरों वाले हर रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं, इसलिए (i) अद्वितीय हल और (ii) केवल दो हल गलत हैं।

उत्तर: विकल्प (iii) सत्य है:

y = 3 x + 5

के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

प्रश्न 2

निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक समीकरण के चार हल लिखिए:(i) $2 x + y = 7$ (ii) $π x + y = 9$ (iii) $x = 4 y$

विधि: एक चर को दूसरे चर के रूप में लिखें, फिर एक चर के अलग-अलग मान रखकर दूसरे चर का मान निकालें।

(i)

2 x + y = 7

दोनों पक्षों में से $2 x$ घटाकर $y$ अलग करते हैं:

2 x + y - 2 x

7 - 2 x

y

7 - 2 x

x = 0 : y

7 - 2 \times 0

7 - 0

7

x = 1 : y

7 - 2 \times 1

7 - 2

5

x = 2 : y

7 - 2 \times 2

7 - 4

3

x = 3 : y

7 - 2 \times 3

7 - 6

1

$x$	$y$	हल
$0$	$7$	$(0, 7)$
$1$	$5$	$(1, 5)$
$2$	$3$	$(2, 3)$
$3$	$1$	$(3, 1)$

जाँच

(3, 1)

के लिए:

2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7

✓

उत्तर:

(0, 7), (1, 5), (2, 3), (3, 1)

(ii)

π x + y = 9

दोनों पक्षों में से $π x$ घटाकर $y$ अलग करते हैं:

π x + y - π x

9 - π x

y

9 - π x

x = 0 : y

9 - π \times 0

9 - 0

9

x = 1 : y

9 - π \times 1

9 - π

x = 2 : y

9 - π \times 2

9 - 2 π

x = - 1 : y

9 - π \times (- 1)

9 + π

$x$	$y$	हल
$0$	$9$	$(0, 9)$
$1$	$9 - π$	$(1, 9 - π)$
$2$	$9 - 2 π$	$(2, 9 - 2 π)$
$- 1$	$9 + π$	$(- 1, 9 + π)$

जाँच

(2, 9 - 2 π)

के लिए:

π \times 2 + (9 - 2 π) = 2 π + 9 - 2 π = 9

✓

उत्तर:

(0, 9), (1, 9 - π), (2, 9 - 2 π), (- 1, 9 + π)

(iii)

x = 4 y

यहाँ $x$ पहले से $y$ के रूप में लिखा है: $x = 4 y$ । $y$ के मान रखते हैं:

y = 0 : x

4 \times 0

0

y = 1 : x

4 \times 1

4

y = 2 : x

4 \times 2

8

y = - 1 : x

4 \times (- 1)

- 4

$y$	$x$	हल $(x, y)$
$0$	$0$	$(0, 0)$
$1$	$4$	$(4, 1)$
$2$	$8$	$(8, 2)$
$- 1$	$- 4$	$(- 4, - 1)$

ध्यान दें: हल हमेशा $(x, y)$ क्रम में लिखते हैं, पहले $x$ फिर $y$ ।

उत्तर:

(0, 0), (4, 1), (8, 2), (- 4, - 1)

प्रश्न 3

बताइए कि निम्नलिखित हलों में कौन-कौन समीकरण $x - 2 y = 4$ के हल हैं और कौन-कौन हल नहीं हैं:(i) $(0, 2)$ (ii) $(2, 0)$ (iii) $(4, 0)$ (iv) $(2, 42)$ (v) $(1, 1)$

सूत्र (हल की जाँच):

(x, y)

को समीकरण में रखें। यदि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष, तो वह हल है; नहीं तो हल नहीं है।

समीकरण: $x - 2 y = 4$ (दायाँ पक्ष = 4)

(i)

(0, 2)

$(0, 2)$ में $x$ और $y$ के मान रखने पर बायाँ पक्ष:

x - 2 y

0 - 2 \times 2

0 - 4

- 4

बायाँ पक्ष $= - 4 \neq = 4$ = दायाँ पक्ष

उत्तर:

(0, 2)

हल नहीं है।

(ii)

(2, 0)

$(2, 0)$ में $x$ और $y$ के मान रखने पर बायाँ पक्ष:

x - 2 y

2 - 2 \times 0

2 - 0

2

बायाँ पक्ष $= 2 \neq = 4$ = दायाँ पक्ष

उत्तर:

(2, 0)

हल नहीं है।

(iii)

(4, 0)

$(4, 0)$ में $x$ और $y$ के मान रखने पर बायाँ पक्ष:

x - 2 y

4 - 2 \times 0

4 - 0

4

बायाँ पक्ष $= 4 =$ दायाँ पक्ष

उत्तर:

(4, 0)

हल है।

(iv)

(2, 42)

$(2, 42)$ में $x$ और $y$ के मान रखने पर बायाँ पक्ष:

x - 2 y

2 - 2 \times 42

2 - 82

(1 - 8) 2

- 72

बायाँ पक्ष $= - 72 \neq = 4$ = दायाँ पक्ष

उत्तर:

(2, 42)

हल नहीं है।

(v)

(1, 1)

$(1, 1)$ में $x$ और $y$ के मान रखने पर बायाँ पक्ष:

x - 2 y

1 - 2 \times 1

1 - 2

- 1

बायाँ पक्ष $= - 1 \neq = 4$ = दायाँ पक्ष

उत्तर:

(1, 1)

हल नहीं है।

बिंदु	$x - 2 y$	हल?
$(0, 2)$	$- 4$	नहीं
$(2, 0)$	$2$	नहीं
$(4, 0)$	$4$	हाँ
$(2, 42)$	$- 72$	नहीं
$(1, 1)$	$- 1$	नहीं

उत्तर: केवल

(4, 0)

हल है।

(0, 2), (2, 0), (2, 42)

और

(1, 1)

हल नहीं हैं।

प्रश्न 4

$k$ का मान ज्ञात कीजिए जबकि $x = 2, y = 1$ समीकरण $2 x + 3 y = k$ का एक हल हो।

$x = 2, y = 1$ समीकरण का हल है, इसलिए इन्हें रखने पर समीकरण संतुष्ट होगा।

2 x + 3 y

k

2 \times 2 + 3 \times 1

k

4 + 3

k

7

k

पक्ष बदलकर लिखने पर:

k

7

जाँच:

2 \times 2 + 3 \times 1 = 4 + 3 = 7 = k

✓

उत्तर:

k = 7

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 4 ‘दो चरों वाले रैखिक समीकरण’ के अनुसार है।