प्रश्नावली 4.1 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 4: दो चरों वाले रैखिक समीकरण · 2 प्रश्न (रैखिक समीकरण का मानक रूप)

प्रश्न 1

एक नोटबुक की कीमत एक कलम की कीमत से दो गुनी है। इस कथन को निरूपित करने के लिए दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण लिखिए। (संकेत: मान लीजिए, नोटबुक की कीमत $x$ रु है और कलम की कीमत $y$ रु है।)

मान लीजिए एक नोटबुक की कीमत $x$ रु है और एक कलम की कीमत $y$ रु है।

कथन: नोटबुक की कीमत = 2 × कलम की कीमत

x

2 \times y

x

2 y

सभी पदों को बाएँ पक्ष में लाने के लिए दोनों पक्षों में से $2 y$ घटाते हैं:

x - 2 y

2 y - 2 y

0

सूत्र (मानक रूप): दो चरों वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप

a x + b y + c = 0

है, जहाँ

a, b, c

वास्तविक संख्याएँ हैं और

a

तथा

b

दोनों शून्य नहीं हैं।

a

x

का गुणांक (लाल),

b

y

का गुणांक (नीला),

c

= अचर पद (हरा)।

$x - 2 y = 0$ को मानक रूप में लिखने पर:

1 \cdot x + (- 2) \cdot y + 0

0

जाँच: मान लीजिए कलम की कीमत

y = 10

रु है, तो नोटबुक की कीमत

x = 2 \times 10 = 20

रु होगी।

x - 2 y

20 - 2 \times 10

20 - 20

0

बायाँ पक्ष = 0 = दायाँ पक्ष, अतः समीकरण सही है।

उत्तर:

x - 2 y = 0

(जहाँ

x

= नोटबुक की कीमत रु में,

y

= कलम की कीमत रु में)

प्रश्न 2

निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को $a x + b y + c = 0$ के रूप में व्यक्त कीजिए और प्रत्येक स्थिति में $a, b$ और $c$ के मान बताइए:(i) $2 x + 3 y = 9.35$ (ii) $x - \frac{y}{5} - 10 = 0$ (iii) $- 2 x + 3 y = 6$ (iv) $x = 3 y$ (v) $2 x = - 5 y$ (vi) $3 x + 2 = 0$ (vii) $y - 2 = 0$ (viii) $5 = 2 x$

सूत्र (मानक रूप): दो चरों वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप

a x + b y + c = 0

है, जहाँ

a, b, c

वास्तविक संख्याएँ हैं और

a

तथा

b

दोनों शून्य नहीं हैं।

a

x

का गुणांक (लाल),

b

y

का गुणांक (नीला),

c

= अचर पद (हरा)।

(i)

2 x + 3 y = 9.35

दाएँ पक्ष का $9.35$ बाएँ पक्ष में लाने के लिए दोनों पक्षों में से $9.35$ घटाते हैं:

2 x + 3 y - 9.35

9.35 - 9.35

0

$a x + b y + c = 0$ से मिलान करने पर:

2 x + 3 y + (- 9.35)

0

$a$	$b$	$c$
$2$	$3$	$- 9.35$

उत्तर:

2 x + 3 y - 9.35 = 0

;

a = 2, b = 3, c = - 9.35

(ii)

x - \frac{y}{5} - 10 = 0

समीकरण पहले से ही $(\dots) = 0$ रूप में है। हर पद को $+$ चिह्न के साथ लिखते हैं:

x - \frac{y}{5} - 10

0

$\frac{y}{5} = \frac{1}{5} \times y$ , इसलिए $- \frac{y}{5} = (- \frac{1}{5}) y$ :

1 \cdot x + (- \frac{1}{5}) y + (- 10)

0

$a$	$b$	$c$
$1$	$- \frac{1}{5}$	$- 10$

उत्तर:

x - \frac{1}{5} y - 10 = 0

;

a = 1, b = - \frac{1}{5}, c = - 10

(iii)

- 2 x + 3 y = 6

दोनों पक्षों में से $6$ घटाते हैं:

- 2 x + 3 y - 6

6 - 6

0

(- 2) x + 3 y + (- 6)

0

$a$	$b$	$c$
$- 2$	$3$	$- 6$

उत्तर:

- 2 x + 3 y - 6 = 0

;

a = - 2, b = 3, c = - 6

(iv)

x = 3 y

दोनों पक्षों में से $3 y$ घटाते हैं:

x - 3 y

3 y - 3 y

0

इसमें कोई अचर पद नहीं है, इसलिए अचर पद $0$ लिखते हैं:

1 \cdot x + (- 3) y + 0

0

$a$	$b$	$c$
$1$	$- 3$	$0$

उत्तर:

x - 3 y + 0 = 0

;

a = 1, b = - 3, c = 0

(v)

2 x = - 5 y

दोनों पक्षों में $5 y$ जोड़ते हैं:

2 x + 5 y

- 5 y + 5 y

0

2 x + 5 y + 0

0

$a$	$b$	$c$
$2$	$5$	$0$

उत्तर:

2 x + 5 y + 0 = 0

;

a = 2, b = 5, c = 0

(vi)

3 x + 2 = 0

इसमें $y$ वाला पद नहीं है, इसलिए $y$ का गुणांक $0$ है ( $0 \cdot y = 0$ ):

3 x + 0 \cdot y + 2

0

$a$	$b$	$c$
$3$	$0$	$2$

उत्तर:

3 x + 0 \cdot y + 2 = 0

;

a = 3, b = 0, c = 2

(vii)

y - 2 = 0

इसमें $x$ वाला पद नहीं है, इसलिए $x$ का गुणांक $0$ है। $y = 1 \cdot y$ :

0 \cdot x + 1 \cdot y + (- 2)

0

$a$	$b$	$c$
$0$	$1$	$- 2$

उत्तर:

0 \cdot x + 1 \cdot y - 2 = 0

;

a = 0, b = 1, c = - 2

(viii)

5 = 2 x

दोनों पक्षों में से $2 x$ घटाते हैं:

5 - 2 x

2 x - 2 x

0

$x$ वाला पद पहले लिखते हैं और $y$ का गुणांक $0$ लेते हैं:

(- 2) x + 0 \cdot y + 5

0

$a$	$b$	$c$
$- 2$	$0$	$5$

उत्तर:

- 2 x + 0 \cdot y + 5 = 0

;

a = - 2, b = 0, c = 5

समीकरण	मानक रूप	$a$	$b$	$c$
(i)	$2 x + 3 y - 9.35 = 0$	$2$	$3$	$- 9.35$
(ii)	$x - \frac{1}{5} y - 10 = 0$	$1$	$- \frac{1}{5}$	$- 10$
(iii)	$- 2 x + 3 y - 6 = 0$	$- 2$	$3$	$- 6$
(iv)	$x - 3 y + 0 = 0$	$1$	$- 3$	$0$
(v)	$2 x + 5 y + 0 = 0$	$2$	$5$	$0$
(vi)	$3 x + 0 \cdot y + 2 = 0$	$3$	$0$	$2$
(vii)	$0 \cdot x + y - 2 = 0$	$0$	$1$	$- 2$
(viii)	$- 2 x + 0 \cdot y + 5 = 0$	$- 2$	$0$	$5$

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 4 ‘दो चरों वाले रैखिक समीकरण’ के अनुसार है।