प्रश्नावली 2.4 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 2: बहुपद · 16 प्रश्न (बीजीय सर्वसमिकाएँ)

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7 प्र. 8 प्र. 9 प्र. 10 प्र. 11 प्र. 12 प्र. 13 प्र. 14 प्र. 15 प्र. 16

प्रश्न 1

उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:(i) $(x + 4) (x + 10)$ (ii) $(x + 8) (x - 10)$ (iii) $(3 x + 4) (3 x - 5)$ (iv) $(y^{2} + \frac{3}{2}) (y^{2} - \frac{3}{2})$ (v) $(3 - 2 x) (3 + 2 x)$

सूत्र (सर्वसमिकाएँ):

(1)

(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab

(सर्वसमिका IV)

(2)

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

(सर्वसमिका III)

(i)

(x + 4) (x + 10)

सूत्र (1) में $a = 4, b = 10$ :

(x + 4) (x + 10)

x^{2} + (4 + 10) x + 4 \times 10

x^{2} + 14 x + 40

उत्तर:

x^{2} + 14 x + 40

(ii)

(x + 8) (x - 10)

(x + 8) (x - 10)

(x + 8) (x + (- 10))

सूत्र (1) में $a = 8, b = - 10$ :

(x + 8) (x - 10)

x^{2} + (8 + (- 10)) x + 8 \times (- 10)

x^{2} + (8 - 10) x + (- 80)

x^{2} + (- 2) x - 80

x^{2} - 2 x - 80

उत्तर:

x^{2} - 2 x - 80

(iii)

(3 x + 4) (3 x - 5)

यहाँ $3 x$ को सूत्र का $x$ मानते हैं, $a = 4, b = - 5$ :

(3 x + 4) (3 x - 5)

(3 x)^{2} + (4 + (- 5)) (3 x) + 4 \times (- 5)

(3 x)^{2} + (4 - 5) (3 x) - 20

3^{2} \times x^{2} + (- 1) (3 x) - 20

9 x^{2} - 3 x - 20

उत्तर:

9 x^{2} - 3 x - 20

(iv)

(y^{2} + \frac{3}{2}) (y^{2} - \frac{3}{2})

सूत्र (2) में $a = y^{2}, b = \frac{3}{2}$ :

(y^{2} + \frac{3}{2}) (y^{2} - \frac{3}{2})

(y^{2})^{2} - (\frac{3}{2})^{2}

y^{2 \times 2} - \frac{3 ^{2}}{2 ^{2}}

y^{4} - \frac{9}{4}

उत्तर:

y^{4} - \frac{9}{4}

(v)

(3 - 2 x) (3 + 2 x)

(3 - 2 x) (3 + 2 x)

(3 + 2 x) (3 - 2 x)

सूत्र (2) में $a = 3, b = 2 x$ :

(3 + 2 x) (3 - 2 x)

3^{2} - (2 x)^{2}

9 - 2^{2} \times x^{2}

9 - 4 x^{2}

उत्तर:

9 - 4 x^{2}

उत्तर:

(i)

x^{2} + 14 x + 40

(ii)

x^{2} - 2 x - 80

(iii)

9 x^{2} - 3 x - 20

(iv)

y^{4} - \frac{9}{4}

(v)

9 - 4 x^{2}

प्रश्न 2

सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए:(i) $103 \times 107$ (ii) $95 \times 96$ (iii) $104 \times 96$

सूत्र (सर्वसमिकाएँ):

(1)

(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab

(2)

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

(i)

103 \times 107

103 \times 107

(100 + 3) (100 + 7)

सूत्र (1) में $x = 100, a = 3, b = 7$ :

103 \times 107

10 0^{2} + (3 + 7) \times 100 + 3 \times 7

10000 + 10 \times 100 + 21

10000 + 1000 + 21

11000 + 21

11021

उत्तर:

11021

(ii)

95 \times 96

95 \times 96

(100 - 5) (100 - 4)

(100 + (- 5)) (100 + (- 4))

सूत्र (1) में $x = 100, a = - 5, b = - 4$ :

95 \times 96

10 0^{2} + ((- 5) + (- 4)) \times 100 + (- 5) \times (- 4)

10000 + (- 9) \times 100 + 20

10000 - 900 + 20

9100 + 20

9120

उत्तर:

9120

(iii)

104 \times 96

104 \times 96

(100 + 4) (100 - 4)

सूत्र (2) में $a = 100, b = 4$ :

104 \times 96

10 0^{2} - 4^{2}

10000 - 16

9984

उत्तर:

9984

उत्तर:

(i) 11021

(ii) 9120

(iii) 9984

प्रश्न 3

उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखंडन कीजिए:(i) $9 x^{2} + 6 x y + y^{2}$ (ii) $4 y^{2} - 4 y + 1$ (iii) $x^{2} - \frac{y ^{2}}{100}$

सूत्र (सर्वसमिकाएँ):

(1)

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}

(2)

a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

(3)

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

(i)

9 x^{2} + 6 x y + y^{2}

9 x^{2}

3^{2} \times x^{2}

(3 x)^{2}

6 x y

2 \times 3 x \times y

2 (3 x) (y)

9 x^{2} + 6 x y + y^{2}

(3 x)^{2} + 2 (3 x) (y) + (y)^{2}

सूत्र (1) में $a = 3 x, b = y$ :

9 x^{2} + 6 x y + y^{2}

(3 x + y)^{2}

(3 x + y) (3 x + y)

उत्तर:

(3 x + y) (3 x + y)

(ii)

4 y^{2} - 4 y + 1

4 y^{2}

2^{2} \times y^{2}

(2 y)^{2}

4 y

2 \times 2 y \times 1

2 (2 y) (1)

1

1^{2}

4 y^{2} - 4 y + 1

(2 y)^{2} - 2 (2 y) (1) + (1)^{2}

सूत्र (2) में $a = 2 y, b = 1$ :

4 y^{2} - 4 y + 1

(2 y - 1)^{2}

(2 y - 1) (2 y - 1)

उत्तर:

(2 y - 1) (2 y - 1)

(iii)

x^{2} - \frac{y ^{2}}{100}

\frac{y ^{2}}{100}

\frac{y ^{2}}{1 0 ^{2}}

(\frac{y}{10})^{2}

x^{2} - \frac{y ^{2}}{100}

(x)^{2} - (\frac{y}{10})^{2}

सूत्र (3) में $a = x, b = \frac{y}{10}$ :

x^{2} - \frac{y ^{2}}{100}

(x + \frac{y}{10}) (x - \frac{y}{10})

उत्तर:

(x + \frac{y}{10}) (x - \frac{y}{10})

उत्तर:

(i)

(3 x + y) (3 x + y)

(ii)

(2 y - 1) (2 y - 1)

(iii)

(x + \frac{y}{10}) (x - \frac{y}{10})

प्रश्न 4

उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए:(i) $(x + 2 y + 4 z)^{2}$ (ii) $(2 x - y + z)^{2}$ (iii) $(- 2 x + 3 y + 2 z)^{2}$ (iv) $(3 a - 7 b - c)^{2}$ (v) $(- 2 x + 5 y - 3 z)^{2}$ (vi) $(\frac{1}{4} a - \frac{1}{2} b + 1)^{2}$

(i)

(x + 2 y + 4 z)^{2}

सूत्र (सर्वसमिका IV):

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a

x + 2 y + 4 z

(x) + (2 y) + (4 z)

a

x

b

2 y

c

4 z

सूत्र में मान रखने पर:

(x + 2 y + 4 z)^{2}

(x)^{2} + (2 y)^{2} + (4 z)^{2} + 2 (x) (2 y) + 2 (2 y) (4 z) + 2 (4 z) (x)

अब हर पद को अलग-अलग हल करते हैं:

(x)^{2}

x^{2}

(2 y)^{2}

2^{2} \times (y)^{2}

4 y^{2}

(4 z)^{2}

4^{2} \times (z)^{2}

16 z^{2}

2 (x) (2 y)

2 \times 2 \times x \times y

4 x y

2 (2 y) (4 z)

2 \times 2 \times 4 \times y \times z

16 yz

2 (4 z) (x)

2 \times 4 \times z \times x

8 x z

सभी पद जोड़ने पर:

(x + 2 y + 4 z)^{2}

x^{2} + 4 y^{2} + 16 z^{2} + 4 x y + 16 yz + 8 x z

उत्तर:

x^{2} + 4 y^{2} + 16 z^{2} + 4 x y + 16 yz + 8 x z

(ii)

(2 x - y + z)^{2}

सूत्र (सर्वसमिका IV):

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a

2 x - y + z

(2 x) + (- y) + (z)

a

2 x

b

- y

c

z

सूत्र में मान रखने पर:

(2 x - y + z)^{2}

(2 x)^{2} + (- y)^{2} + (z)^{2} + 2 (2 x) (- y) + 2 (- y) (z) + 2 (z) (2 x)

अब हर पद को अलग-अलग हल करते हैं:

(2 x)^{2}

2^{2} \times (x)^{2}

4 x^{2}

(- y)^{2}

(- 1)^{2} \times (y)^{2}

y^{2}

(z)^{2}

z^{2}

2 (2 x) (- y)

2 \times 2 \times (- 1) \times x \times y

- 4 x y

2 (- y) (z)

2 \times (- 1) \times y \times z

- 2 yz

2 (z) (2 x)

2 \times 2 \times z \times x

4 x z

सभी पद जोड़ने पर:

(2 x - y + z)^{2}

4 x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x y - 2 yz + 4 x z

उत्तर:

4 x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x y - 2 yz + 4 x z

(iii)

(- 2 x + 3 y + 2 z)^{2}

सूत्र (सर्वसमिका IV):

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a

- 2 x + 3 y + 2 z

(- 2 x) + (3 y) + (2 z)

a

- 2 x

b

3 y

c

2 z

सूत्र में मान रखने पर:

(- 2 x + 3 y + 2 z)^{2}

(- 2 x)^{2} + (3 y)^{2} + (2 z)^{2} + 2 (- 2 x) (3 y) + 2 (3 y) (2 z) + 2 (2 z) (- 2 x)

अब हर पद को अलग-अलग हल करते हैं:

(- 2 x)^{2}

(- 2)^{2} \times (x)^{2}

4 x^{2}

(3 y)^{2}

3^{2} \times (y)^{2}

9 y^{2}

(2 z)^{2}

2^{2} \times (z)^{2}

4 z^{2}

2 (- 2 x) (3 y)

2 \times (- 2) \times 3 \times x \times y

- 12 x y

2 (3 y) (2 z)

2 \times 3 \times 2 \times y \times z

12 yz

2 (2 z) (- 2 x)

2 \times 2 \times (- 2) \times z \times x

- 8 x z

सभी पद जोड़ने पर:

(- 2 x + 3 y + 2 z)^{2}

4 x^{2} + 9 y^{2} + 4 z^{2} - 12 x y + 12 yz - 8 x z

उत्तर:

4 x^{2} + 9 y^{2} + 4 z^{2} - 12 x y + 12 yz - 8 x z

(iv)

(3 a - 7 b - c)^{2}

सूत्र (सर्वसमिका IV):

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a

3 a - 7 b - c

(3 a) + (- 7 b) + (- c)

a

3 a

b

- 7 b

c

- c

सूत्र में मान रखने पर:

(3 a - 7 b - c)^{2}

(3 a)^{2} + (- 7 b)^{2} + (- c)^{2} + 2 (3 a) (- 7 b) + 2 (- 7 b) (- c) + 2 (- c) (3 a)

अब हर पद को अलग-अलग हल करते हैं:

(3 a)^{2}

3^{2} \times (a)^{2}

9 a^{2}

(- 7 b)^{2}

(- 7)^{2} \times (b)^{2}

49 b^{2}

(- c)^{2}

(- 1)^{2} \times (c)^{2}

c^{2}

2 (3 a) (- 7 b)

2 \times 3 \times (- 7) \times a \times b

- 42 ab

2 (- 7 b) (- c)

2 \times (- 7) \times (- 1) \times b \times c

14 b c

2 (- c) (3 a)

2 \times (- 1) \times 3 \times c \times a

- 6 a c

सभी पद जोड़ने पर:

(3 a - 7 b - c)^{2}

9 a^{2} + 49 b^{2} + c^{2} - 42 ab + 14 b c - 6 a c

उत्तर:

9 a^{2} + 49 b^{2} + c^{2} - 42 ab + 14 b c - 6 a c

(v)

(- 2 x + 5 y - 3 z)^{2}

सूत्र (सर्वसमिका IV):

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a

- 2 x + 5 y - 3 z

(- 2 x) + (5 y) + (- 3 z)

a

- 2 x

b

5 y

c

- 3 z

सूत्र में मान रखने पर:

(- 2 x + 5 y - 3 z)^{2}

(- 2 x)^{2} + (5 y)^{2} + (- 3 z)^{2} + 2 (- 2 x) (5 y) + 2 (5 y) (- 3 z) + 2 (- 3 z) (- 2 x)

अब हर पद को अलग-अलग हल करते हैं:

(- 2 x)^{2}

(- 2)^{2} \times (x)^{2}

4 x^{2}

(5 y)^{2}

5^{2} \times (y)^{2}

25 y^{2}

(- 3 z)^{2}

(- 3)^{2} \times (z)^{2}

9 z^{2}

2 (- 2 x) (5 y)

2 \times (- 2) \times 5 \times x \times y

- 20 x y

2 (5 y) (- 3 z)

2 \times 5 \times (- 3) \times y \times z

- 30 yz

2 (- 3 z) (- 2 x)

2 \times (- 3) \times (- 2) \times z \times x

12 x z

सभी पद जोड़ने पर:

(- 2 x + 5 y - 3 z)^{2}

4 x^{2} + 25 y^{2} + 9 z^{2} - 20 x y - 30 yz + 12 x z

उत्तर:

4 x^{2} + 25 y^{2} + 9 z^{2} - 20 x y - 30 yz + 12 x z

(vi)

(\frac{1}{4} a - \frac{1}{2} b + 1)^{2}

सूत्र (सर्वसमिका IV):

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a

\frac{1}{4} a - \frac{1}{2} b + 1

(\frac{1}{4} a) + (- \frac{1}{2} b) + (1)

a

\frac{1}{4} a

b

- \frac{1}{2} b

c

1

सूत्र में मान रखने पर:

(\frac{1}{4} a - \frac{1}{2} b + 1)^{2}

(\frac{1}{4} a)^{2} + (- \frac{1}{2} b)^{2} + (1)^{2} + 2 (\frac{1}{4} a) (- \frac{1}{2} b) + 2 (- \frac{1}{2} b) (1) + 2 (1) (\frac{1}{4} a)

अब हर पद को अलग-अलग हल करते हैं:

(\frac{1}{4} a)^{2}

(\frac{1}{4})^{2} \times (a)^{2}

\frac{1}{16} a^{2}

(- \frac{1}{2} b)^{2}

(- \frac{1}{2})^{2} \times (b)^{2}

\frac{1}{4} b^{2}

(1)^{2}

1

2 (\frac{1}{4} a) (- \frac{1}{2} b)

2 \times (\frac{1}{4}) \times (- \frac{1}{2}) \times a \times b

- \frac{1}{4} ab

2 (- \frac{1}{2} b) (1)

2 \times (- \frac{1}{2}) \times b

- b

2 (1) (\frac{1}{4} a)

2 \times (\frac{1}{4}) \times a

\frac{1}{2} a

सभी पद जोड़ने पर:

(\frac{1}{4} a - \frac{1}{2} b + 1)^{2}

\frac{1}{16} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + 1 - \frac{1}{4} ab - b + \frac{1}{2} a

उत्तर:

\frac{1}{16} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + 1 - \frac{1}{4} ab - b + \frac{1}{2} a

उत्तर:

(i)

x^{2} + 4 y^{2} + 16 z^{2} + 4 x y + 16 yz + 8 x z

(ii)

4 x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x y - 2 yz + 4 x z

(iii)

4 x^{2} + 9 y^{2} + 4 z^{2} - 12 x y + 12 yz - 8 x z

(iv)

9 a^{2} + 49 b^{2} + c^{2} - 42 ab + 14 b c - 6 a c

(v)

4 x^{2} + 25 y^{2} + 9 z^{2} - 20 x y - 30 yz + 12 x z

(vi)

\frac{1}{16} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + 1 - \frac{1}{4} ab - b + \frac{1}{2} a

प्रश्न 5

गुणनखंडन कीजिए:(i) $4 x^{2} + 9 y^{2} + 16 z^{2} + 12 x y - 24 yz - 16 x z$ (ii) $2 x^{2} + y^{2} + 8 z^{2} - 22 x y + 42 yz - 8 x z$

(i)

4 x^{2} + 9 y^{2} + 16 z^{2} + 12 x y - 24 yz - 16 x z

सूत्र (सर्वसमिका IV):

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a

4 x^{2}

2^{2} \times x^{2}

(2 x)^{2}

9 y^{2}

3^{2} \times y^{2}

(3 y)^{2}

16 z^{2}

4^{2} \times z^{2}

(4 z)^{2}

बीच वाले पदों ( $2 ab, 2 b c, 2 c a$ ) के चिह्न देखकर a, b, c के चिह्न तय करते हैं:

$+ 12 x y$ धनात्मक है, अतः $2 x$ और $3 y$ का चिह्न एक-सा; $- 24 yz$ और $- 16 x z$ ऋणात्मक हैं, अतः $4 z$ का चिह्न उलटा, यानी $c = - 4 z$ ।

a

2 x

b

3 y

c

- 4 z

जाँच (हर बीच वाला पद अलग-अलग):

2 (2 x) (3 y)

2 \times 2 \times 3 \times x \times y

12 x y

2 (3 y) (- 4 z)

2 \times 3 \times (- 4) \times y \times z

- 24 yz

2 (- 4 z) (2 x)

2 \times (- 4) \times 2 \times z \times x

- 16 x z

माना $E = 4 x^{2} + 9 y^{2} + 16 z^{2} + 12 x y - 24 yz - 16 x z$ । तब

E

(2 x)^{2} + (3 y)^{2} + (- 4 z)^{2} + 2 (2 x) (3 y) + 2 (3 y) (- 4 z) + 2 (- 4 z) (2 x)

(2 x + 3 y - 4 z)^{2}

उत्तर:

(2 x + 3 y - 4 z)^{2}

(2 x + 3 y - 4 z) (2 x + 3 y - 4 z)

(ii)

2 x^{2} + y^{2} + 8 z^{2} - 22 x y + 42 yz - 8 x z

सूत्र (सर्वसमिका IV):

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a

2 x^{2}

(2)^{2} \times x^{2}

(2 x)^{2}

y^{2}

(y)^{2}

8 z^{2}

4 \times 2 \times z^{2}

2^{2} \times (2)^{2} \times z^{2}

(22 z)^{2}

बीच वाले पदों ( $2 ab, 2 b c, 2 c a$ ) के चिह्न देखकर a, b, c के चिह्न तय करते हैं:

$+ 42 yz$ धनात्मक है, अतः $y$ और $22 z$ का चिह्न एक-सा; $- 22 x y$ और $- 8 x z$ ऋणात्मक हैं, अतः $2 x$ का चिह्न उलटा, यानी $a = - 2 x$ ।

a

- 2 x

b

y

c

22 z

जाँच (हर बीच वाला पद अलग-अलग):

2 (- 2 x) (y)

2 \times (- 2) \times x \times y

- 22 x y

2 (y) (22 z)

2 \times 22 \times y \times z

42 yz

2 (22 z) (- 2 x)

2 \times 22 \times (- 2) \times z \times x

- 8 x z

माना $E = 2 x^{2} + y^{2} + 8 z^{2} - 22 x y + 42 yz - 8 x z$ । तब

E

(- 2 x)^{2} + (y)^{2} + (22 z)^{2} + 2 (- 2 x) (y) + 2 (y) (22 z) + 2 (22 z) (- 2 x)

(- 2 x + y + 22 z)^{2}

उत्तर:

(- 2 x + y + 22 z)^{2}

(- 2 x + y + 22 z) (- 2 x + y + 22 z)

उत्तर:

(i)

(2 x + 3 y - 4 z) (2 x + 3 y - 4 z)

(ii)

(- 2 x + y + 22 z) (- 2 x + y + 22 z)

प्रश्न 6

निम्नलिखित घनों में से प्रत्येक का प्रसारित रूप लिखिए:(i) $(2 x + 1)^{3}$ (ii) $(2 a - 3 b)^{3}$ (iii) $(\frac{3}{2} x + 1)^{3}$ (iv) $(x - \frac{2}{3} y)^{3}$

(i)

(2 x + 1)^{3}

सूत्र (सर्वसमिका VI):

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

2 x + 1

(2 x) + (1)

a

2 x

b

1

सूत्र में मान रखने पर:

(2 x + 1)^{3}

(2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} (1) + 3 (2 x) (1)^{2} + (1)^{3}

अब हर पद को अलग-अलग हल करते हैं:

(2 x)^{3}

2^{3} \times (x)^{3}

2 \times 2 \times 2 \times x^{3}

8 x^{3}

(2 x)^{2}

2^{2} \times (x)^{2}

4 x^{2}

(1)^{2}

1

3 (2 x)^{2} (1)

3 \times 4 \times x^{2}

12 x^{2}

3 (2 x) (1)^{2}

3 \times 2 \times x

6 x

(1)^{3}

1

सभी पद रखने पर:

(2 x + 1)^{3}

8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1

उत्तर:

8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1

(ii)

(2 a - 3 b)^{3}

सूत्र (सर्वसमिका VII):

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

2 a - 3 b

(2 a) - (3 b)

a

2 a

b

3 b

सूत्र में मान रखने पर:

(2 a - 3 b)^{3}

(2 a)^{3} - 3 (2 a)^{2} (3 b) + 3 (2 a) (3 b)^{2} - (3 b)^{3}

अब हर पद को अलग-अलग हल करते हैं:

(2 a)^{3}

2^{3} \times (a)^{3}

2 \times 2 \times 2 \times a^{3}

8 a^{3}

(2 a)^{2}

2^{2} \times (a)^{2}

4 a^{2}

(3 b)^{2}

3^{2} \times (b)^{2}

9 b^{2}

3 (2 a)^{2} (3 b)

3 \times 4 \times 3 \times a^{2} \times b

36 a^{2} b

3 (2 a) (3 b)^{2}

3 \times 2 \times 9 \times a \times b^{2}

54 a b^{2}

(3 b)^{3}

3^{3} \times (b)^{3}

3 \times 3 \times 3 \times b^{3}

27 b^{3}

सभी पद रखने पर:

(2 a - 3 b)^{3}

8 a^{3} - 36 a^{2} b + 54 a b^{2} - 27 b^{3}

उत्तर:

8 a^{3} - 36 a^{2} b + 54 a b^{2} - 27 b^{3}

(iii)

(\frac{3}{2} x + 1)^{3}

सूत्र (सर्वसमिका VI):

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

\frac{3}{2} x + 1

(\frac{3}{2} x) + (1)

a

\frac{3}{2} x

b

1

सूत्र में मान रखने पर:

(\frac{3}{2} x + 1)^{3}

(\frac{3}{2} x)^{3} + 3 (\frac{3}{2} x)^{2} (1) + 3 (\frac{3}{2} x) (1)^{2} + (1)^{3}

अब हर पद को अलग-अलग हल करते हैं:

(\frac{3}{2} x)^{3}

(\frac{3}{2})^{3} \times (x)^{3}

(\frac{3}{2}) \times (\frac{3}{2}) \times (\frac{3}{2}) \times x^{3}

\frac{27}{8} x^{3}

(\frac{3}{2} x)^{2}

(\frac{3}{2})^{2} \times (x)^{2}

\frac{9}{4} x^{2}

(1)^{2}

1

3 (\frac{3}{2} x)^{2} (1)

3 \times (\frac{9}{4}) \times x^{2}

\frac{27}{4} x^{2}

3 (\frac{3}{2} x) (1)^{2}

3 \times (\frac{3}{2}) \times x

\frac{9}{2} x

(1)^{3}

1

सभी पद रखने पर:

(\frac{3}{2} x + 1)^{3}

\frac{27}{8} x^{3} + \frac{27}{4} x^{2} + \frac{9}{2} x + 1

उत्तर:

\frac{27}{8} x^{3} + \frac{27}{4} x^{2} + \frac{9}{2} x + 1

(iv)

(x - \frac{2}{3} y)^{3}

सूत्र (सर्वसमिका VII):

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

x - \frac{2}{3} y

(x) - (\frac{2}{3} y)

a

x

b

\frac{2}{3} y

सूत्र में मान रखने पर:

(x - \frac{2}{3} y)^{3}

(x)^{3} - 3 (x)^{2} (\frac{2}{3} y) + 3 (x) (\frac{2}{3} y)^{2} - (\frac{2}{3} y)^{3}

अब हर पद को अलग-अलग हल करते हैं:

(x)^{3}

x^{3}

(x)^{2}

x^{2}

(\frac{2}{3} y)^{2}

(\frac{2}{3})^{2} \times (y)^{2}

\frac{4}{9} y^{2}

3 (x)^{2} (\frac{2}{3} y)

3 \times (\frac{2}{3}) \times x^{2} \times y

2 x^{2} y

3 (x) (\frac{2}{3} y)^{2}

3 \times (\frac{4}{9}) \times x \times y^{2}

\frac{4}{3} x y^{2}

(\frac{2}{3} y)^{3}

(\frac{2}{3})^{3} \times (y)^{3}

(\frac{2}{3}) \times (\frac{2}{3}) \times (\frac{2}{3}) \times y^{3}

\frac{8}{27} y^{3}

सभी पद रखने पर:

(x - \frac{2}{3} y)^{3}

x^{3} - 2 x^{2} y + \frac{4}{3} x y^{2} - \frac{8}{27} y^{3}

उत्तर:

x^{3} - 2 x^{2} y + \frac{4}{3} x y^{2} - \frac{8}{27} y^{3}

उत्तर:

(i)

8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1

(ii)

8 a^{3} - 36 a^{2} b + 54 a b^{2} - 27 b^{3}

(iii)

\frac{27}{8} x^{3} + \frac{27}{4} x^{2} + \frac{9}{2} x + 1

(iv)

x^{3} - 2 x^{2} y + \frac{4}{3} x y^{2} - \frac{8}{27} y^{3}

प्रश्न 7

उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:(i) $(99)^{3}$ (ii) $(102)^{3}$ (iii) $(998)^{3}$

(i)

9 9^{3}

सूत्र (सर्वसमिका VII):

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

99

100 - 1

a

100

b

1

9 9^{3}

(100 - 1)^{3}

(100)^{3} - 3 \times (100)^{2} \times 1 + 3 \times 100 \times (1)^{2} - (1)^{3}

1000000 - 3 \times 10000 \times 1 + 3 \times 100 \times 1 - 1

1000000 - 30000 + 300 - 1

9 9^{3}

970000 + 300 - 1

970300 - 1

970299

उत्तर:

970299

(ii)

10 2^{3}

सूत्र (सर्वसमिका VI):

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

102

100 + 2

a

100

b

2

10 2^{3}

(100 + 2)^{3}

(100)^{3} + 3 \times (100)^{2} \times 2 + 3 \times 100 \times (2)^{2} + (2)^{3}

1000000 + 3 \times 10000 \times 2 + 3 \times 100 \times 4 + 8

1000000 + 60000 + 1200 + 8

10 2^{3}

1060000 + 1200 + 8

1061200 + 8

1061208

उत्तर:

1061208

(iii)

99 8^{3}

सूत्र (सर्वसमिका VII):

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

998

1000 - 2

a

1000

b

2

99 8^{3}

(1000 - 2)^{3}

(1000)^{3} - 3 \times (1000)^{2} \times 2 + 3 \times 1000 \times (2)^{2} - (2)^{3}

1000000000 - 3 \times 1000000 \times 2 + 3 \times 1000 \times 4 - 8

1000000000 - 6000000 + 12000 - 8

99 8^{3}

994000000 + 12000 - 8

994012000 - 8

994011992

उत्तर:

994011992

उत्तर:

(i) 970299

(ii) 1061208

(iii) 994011992

प्रश्न 8

गुणनखंडन कीजिए:(i) $8 a^{3} + b^{3} + 12 a^{2} b + 6 a b^{2}$ (ii) $8 a^{3} - b^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2}$ (iii) $27 - 125 a^{3} - 135 a + 225 a^{2}$ (iv) $64 a^{3} - 27 b^{3} - 144 a^{2} b + 108 a b^{2}$ (v) $27 p^{3} - \frac{1}{216} - \frac{9}{2} p^{2} + \frac{1}{4} p$

(i)

8 a^{3} + b^{3} + 12 a^{2} b + 6 a b^{2}

सूत्र (सर्वसमिका VI):

a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = (a + b)^{3}

पहले घन वाले पद पहचानते हैं:

8 a^{3}

2 \times 2 \times 2 \times a^{3}

2^{3} \times a^{3}

(2 a)^{3}

b^{3}

(b)^{3}

a

2 a

b

b

अब बीच वाले पद जाँचते हैं:

(2 a)^{2}

2^{2} \times (a)^{2}

4 a^{2}

(b)^{2}

b^{2}

3 (2 a)^{2} (b)

3 \times 4 \times a^{2} \times b

12 a^{2} b

3 (2 a) (b)^{2}

3 \times 2 \times a \times b^{2}

6 a b^{2}

दोनों पद दिए गए व्यंजक में हैं। पदों को सूत्र के क्रम में लिखने पर:

माना $E = 8 a^{3} + b^{3} + 12 a^{2} b + 6 a b^{2}$ । तब

E

(2 a)^{3} + 3 (2 a)^{2} (b) + 3 (2 a) (b)^{2} + (b)^{3}

(2 a + b)^{3}

उत्तर:

(2 a + b)^{3}

(2 a + b) (2 a + b) (2 a + b)

(ii)

8 a^{3} - b^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2}

सूत्र (सर्वसमिका VII):

a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = (a - b)^{3}

पहले घन वाले पद पहचानते हैं:

8 a^{3}

2 \times 2 \times 2 \times a^{3}

(2 a)^{3}

b^{3}

(b)^{3}

a

2 a

b

b

अब बीच वाले पद जाँचते हैं:

(2 a)^{2}

2^{2} \times (a)^{2}

4 a^{2}

(b)^{2}

b^{2}

3 (2 a)^{2} (b)

3 \times 4 \times a^{2} \times b

12 a^{2} b

3 (2 a) (b)^{2}

3 \times 2 \times a \times b^{2}

6 a b^{2}

दोनों पद दिए गए व्यंजक में हैं। पदों को सूत्र के क्रम में लिखने पर:

माना $E = 8 a^{3} - b^{3} - 12 a^{2} b + 6 a b^{2}$ । तब

E

(2 a)^{3} - 3 (2 a)^{2} (b) + 3 (2 a) (b)^{2} - (b)^{3}

(2 a - b)^{3}

उत्तर:

(2 a - b)^{3}

(2 a - b) (2 a - b) (2 a - b)

(iii)

27 - 125 a^{3} - 135 a + 225 a^{2}

सूत्र (सर्वसमिका VII):

a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = (a - b)^{3}

पहले घन वाले पद पहचानते हैं:

27

3 \times 3 \times 3

3^{3}

125 a^{3}

5 \times 5 \times 5 \times a^{3}

(5 a)^{3}

a

3

b

5 a

अब बीच वाले पद जाँचते हैं:

(3)^{2}

9

(5 a)^{2}

5^{2} \times (a)^{2}

25 a^{2}

3 (3)^{2} (5 a)

3 \times 9 \times 5 \times a

135 a

3 (3) (5 a)^{2}

3 \times 3 \times 25 \times a^{2}

225 a^{2}

दोनों पद दिए गए व्यंजक में हैं। पदों को सूत्र के क्रम में लिखने पर:

माना $E = 27 - 125 a^{3} - 135 a + 225 a^{2}$ । तब

E

(3)^{3} - 3 (3)^{2} (5 a) + 3 (3) (5 a)^{2} - (5 a)^{3}

(3 - 5 a)^{3}

उत्तर:

(3 - 5 a)^{3}

(3 - 5 a) (3 - 5 a) (3 - 5 a)

(iv)

64 a^{3} - 27 b^{3} - 144 a^{2} b + 108 a b^{2}

सूत्र (सर्वसमिका VII):

a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = (a - b)^{3}

पहले घन वाले पद पहचानते हैं:

64 a^{3}

4 \times 4 \times 4 \times a^{3}

(4 a)^{3}

27 b^{3}

3 \times 3 \times 3 \times b^{3}

(3 b)^{3}

a

4 a

b

3 b

अब बीच वाले पद जाँचते हैं:

(4 a)^{2}

4^{2} \times (a)^{2}

16 a^{2}

(3 b)^{2}

3^{2} \times (b)^{2}

9 b^{2}

3 (4 a)^{2} (3 b)

3 \times 16 \times 3 \times a^{2} \times b

144 a^{2} b

3 (4 a) (3 b)^{2}

3 \times 4 \times 9 \times a \times b^{2}

108 a b^{2}

दोनों पद दिए गए व्यंजक में हैं। पदों को सूत्र के क्रम में लिखने पर:

माना $E = 64 a^{3} - 27 b^{3} - 144 a^{2} b + 108 a b^{2}$ । तब

E

(4 a)^{3} - 3 (4 a)^{2} (3 b) + 3 (4 a) (3 b)^{2} - (3 b)^{3}

(4 a - 3 b)^{3}

उत्तर:

(4 a - 3 b)^{3}

(4 a - 3 b) (4 a - 3 b) (4 a - 3 b)

(v)

27 p^{3} - \frac{1}{216} - \frac{9}{2} p^{2} + \frac{1}{4} p

सूत्र (सर्वसमिका VII):

a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = (a - b)^{3}

पहले घन वाले पद पहचानते हैं:

27 p^{3}

3 \times 3 \times 3 \times p^{3}

(3 p)^{3}

\frac{1}{216}

\frac{1}{6 \times 6 \times 6}

(\frac{1}{6})^{3}

a

3 p

b

\frac{1}{6}

अब बीच वाले पद जाँचते हैं:

(3 p)^{2}

3^{2} \times (p)^{2}

9 p^{2}

(\frac{1}{6})^{2}

(\frac{1}{6}) \times (\frac{1}{6})

\frac{1}{36}

3 (3 p)^{2} (\frac{1}{6})

3 \times 9 \times (\frac{1}{6}) \times p^{2}

\frac{9}{2} p^{2}

3 (3 p) (\frac{1}{6})^{2}

3 \times 3 \times (\frac{1}{36}) \times p

\frac{1}{4} p

दोनों पद दिए गए व्यंजक में हैं। पदों को सूत्र के क्रम में लिखने पर:

माना $E = 27 p^{3} - \frac{1}{216} - \frac{9}{2} p^{2} + \frac{1}{4} p$ । तब

E

(3 p)^{3} - 3 (3 p)^{2} (\frac{1}{6}) + 3 (3 p) (\frac{1}{6})^{2} - (\frac{1}{6})^{3}

(3 p - \frac{1}{6})^{3}

उत्तर:

(3 p - \frac{1}{6})^{3}

(3 p - \frac{1}{6}) (3 p - \frac{1}{6}) (3 p - \frac{1}{6})

उत्तर:

(i)

(2 a + b) (2 a + b) (2 a + b)

(ii)

(2 a - b) (2 a - b) (2 a - b)

(iii)

(3 - 5 a) (3 - 5 a) (3 - 5 a)

(iv)

(4 a - 3 b) (4 a - 3 b) (4 a - 3 b)

(v)

(3 p - \frac{1}{6}) (3 p - \frac{1}{6}) (3 p - \frac{1}{6})

प्रश्न 9

सत्यापित कीजिए:(i) $x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ (ii) $x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$

(i)

x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})

दायाँ पक्ष लेते हैं और पहले कोष्ठक के हर पद से दूसरे कोष्ठक को अलग-अलग गुणा करते हैं:

RHS

(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})

x (x^{2} - x y + y^{2}) + y (x^{2} - x y + y^{2})

x (x^{2} - x y + y^{2})

x \times x^{2} - x \times x y + x \times y^{2}

x^{3} - x^{2} y + x y^{2}

y (x^{2} - x y + y^{2})

y \times x^{2} - y \times x y + y \times y^{2}

x^{2} y - x y^{2} + y^{3}

RHS

x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + x^{2} y - x y^{2} + y^{3}

x^{3} + (- x^{2} y + x^{2} y) + (x y^{2} - x y^{2}) + y^{3}

x^{3} + 0 + 0 + y^{3}

x^{3} + y^{3}

LHS

उत्तर: सत्यापित।

(ii)

x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})

RHS

(x - y) (x^{2} + x y + y^{2})

x (x^{2} + x y + y^{2}) - y (x^{2} + x y + y^{2})

x (x^{2} + x y + y^{2})

x \times x^{2} + x \times x y + x \times y^{2}

x^{3} + x^{2} y + x y^{2}

y (x^{2} + x y + y^{2})

y \times x^{2} + y \times x y + y \times y^{2}

x^{2} y + x y^{2} + y^{3}

RHS

x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - (x^{2} y + x y^{2} + y^{3})

x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - x^{2} y - x y^{2} - y^{3}

x^{3} + (x^{2} y - x^{2} y) + (x y^{2} - x y^{2}) - y^{3}

x^{3} + 0 + 0 - y^{3}

x^{3} - y^{3}

LHS

उत्तर: सत्यापित।

प्रश्न 10

गुणनखंडन कीजिए:(i) $27 y^{3} + 125 z^{3}$ (ii) $64 m^{3} - 343 n^{3}$

सूत्र (सर्वसमिकाएँ):

(1)

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

(2)

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

(i)

27 y^{3} + 125 z^{3}

27 y^{3}

3 \times 3 \times 3 \times y^{3}

(3 y)^{3}

125 z^{3}

5 \times 5 \times 5 \times z^{3}

(5 z)^{3}

सूत्र (1) में $a = 3 y, b = 5 z$ :

27 y^{3} + 125 z^{3}

(3 y)^{3} + (5 z)^{3}

(3 y + 5 z) [(3 y)^{2} - (3 y) (5 z) + (5 z)^{2}]

(3 y + 5 z) [3^{2} \times y^{2} - 3 \times 5 \times y \times z + 5^{2} \times z^{2}]

(3 y + 5 z) (9 y^{2} - 15 yz + 25 z^{2})

उत्तर:

(3 y + 5 z) (9 y^{2} - 15 yz + 25 z^{2})

(ii)

64 m^{3} - 343 n^{3}

64 m^{3}

4 \times 4 \times 4 \times m^{3}

(4 m)^{3}

343 n^{3}

7 \times 7 \times 7 \times n^{3}

(7 n)^{3}

सूत्र (2) में $a = 4 m, b = 7 n$ :

64 m^{3} - 343 n^{3}

(4 m)^{3} - (7 n)^{3}

(4 m - 7 n) [(4 m)^{2} + (4 m) (7 n) + (7 n)^{2}]

(4 m - 7 n) [4^{2} \times m^{2} + 4 \times 7 \times m \times n + 7^{2} \times n^{2}]

(4 m - 7 n) (16 m^{2} + 28 mn + 49 n^{2})

उत्तर:

(4 m - 7 n) (16 m^{2} + 28 mn + 49 n^{2})

उत्तर:

(i)

(3 y + 5 z) (9 y^{2} - 15 yz + 25 z^{2})

(ii)

(4 m - 7 n) (16 m^{2} + 28 mn + 49 n^{2})

प्रश्न 11

गुणनखंडन कीजिए: $27 x^{3} + y^{3} + z^{3} - 9 x yz$

सूत्र (सर्वसमिका VIII):

a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 ab c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - c a)

27 x^{3}

3 \times 3 \times 3 \times x^{3}

(3 x)^{3}

9 x yz

3 \times 3 x \times y \times z

3 (3 x) (y) (z)

27 x^{3} + y^{3} + z^{3} - 9 x yz

(3 x)^{3} + (y)^{3} + (z)^{3} - 3 (3 x) (y) (z)

सूत्र में $a = 3 x, b = y, c = z$ :

27 x^{3} + y^{3} + z^{3} - 9 x yz

(3 x + y + z) [(3 x)^{2} + y^{2} + z^{2} - (3 x) (y) - (y) (z) - (z) (3 x)]

(3 x + y + z) (9 x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3 x y - yz - 3 z x)

उत्तर:

(3 x + y + z) (9 x^{2} + y^{2} + z^{2} - 3 x y - yz - 3 z x)

प्रश्न 12

सत्यापित कीजिए: $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x yz = \frac{1}{2} (x + y + z) [(x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}]$

दायाँ पक्ष (RHS) लेते हैं। पहले बड़े कोष्ठक के तीनों वर्ग अलग-अलग:

सूत्र (सर्वसमिका II):

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(x - y)^{2}

x^{2} - 2 x y + y^{2}

(y - z)^{2}

y^{2} - 2 yz + z^{2}

(z - x)^{2}

z^{2} - 2 z x + x^{2}

(x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}

x^{2} - 2 x y + y^{2} + y^{2} - 2 yz + z^{2} + z^{2} - 2 z x + x^{2}

(x^{2} + x^{2}) + (y^{2} + y^{2}) + (z^{2} + z^{2}) - 2 x y - 2 yz - 2 z x

2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} - 2 x y - 2 yz - 2 z x

2 (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - yz - z x)

RHS

\frac{1}{2} (x + y + z) \times 2 (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - yz - z x)

\frac{2}{2} (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - yz - z x)

(x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - yz - z x)

अब पहले कोष्ठक के हर पद से दूसरे कोष्ठक को अलग-अलग गुणा करते हैं:

x (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - yz - z x)

x^{3} + x y^{2} + x z^{2} - x^{2} y - x yz - x^{2} z

y (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - yz - z x)

x^{2} y + y^{3} + y z^{2} - x y^{2} - y^{2} z - x yz

z (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - yz - z x)

x^{2} z + y^{2} z + z^{3} - x yz - y z^{2} - x z^{2}

तीनों को जोड़ते हैं। समान पद आपस में कट जाते हैं:

RHS

x^{3} + y^{3} + z^{3} + (x y^{2} - x y^{2}) + (x z^{2} - x z^{2}) + (x^{2} y - x^{2} y) + (y z^{2} - y z^{2}) + (x^{2} z - x^{2} z) + (y^{2} z - y^{2} z) - x yz - x yz - x yz

x^{3} + y^{3} + z^{3} + 0 - 3 x yz

x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x yz

LHS

उत्तर: सत्यापित।

प्रश्न 13

दर्शाइए कि $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3 x yz$ होता है, यदि $x + y + z = 0$ हो।

सूत्र (सर्वसमिका VIII):

x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x yz = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - yz - z x)

दिया है: $x + y + z = 0$ । सूत्र में रखने पर:

x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x yz

(0) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - yz - z x)

0

x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x yz

0

पक्षांतर:

- 3 x yz

दाएँ पक्ष में

+ 3 x yz

हो जाता है।

x^{3} + y^{3} + z^{3}

3 x yz

उत्तर: सिद्ध हुआ:

x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3 x yz

प्रश्न 14

वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए:(i) $(- 12)^{3} + (7)^{3} + (5)^{3}$ (ii) $(28)^{3} + (- 15)^{3} + (- 13)^{3}$

सूत्र (प्रश्न 13 का परिणाम): यदि

a + b + c = 0

हो, तो

a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 ab c

।

(i)

(- 12)^{3} + (7)^{3} + (5)^{3}

a

- 12

b

7

c

5

a + b + c

- 12 + 7 + 5

- 5 + 5

0

(- 12)^{3} + (7)^{3} + (5)^{3}

3 \times (- 12) \times 7 \times 5

(- 36) \times 7 \times 5

(- 252) \times 5

- 1260

उत्तर:

- 1260

(ii)

(28)^{3} + (- 15)^{3} + (- 13)^{3}

a

28

b

- 15

c

- 13

a + b + c

28 + (- 15) + (- 13)

28 - 15 - 13

13 - 13

0

(28)^{3} + (- 15)^{3} + (- 13)^{3}

3 \times 28 \times (- 15) \times (- 13)

84 \times (- 15) \times (- 13)

(- 1260) \times (- 13)

16380

उत्तर:

16380

उत्तर:

(i) −1260

(ii) 16380

प्रश्न 15

नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लंबाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए:(i) क्षेत्रफल: $25 a^{2} - 35 a + 12$ (ii) क्षेत्रफल: $35 y^{2} + 13 y - 12$

सूत्र (आयत का क्षेत्रफल):

A = l \times b

(A = क्षेत्रफल, l = लंबाई, b = चौड़ाई)

अतः क्षेत्रफल के व्यंजक के दो गुणनखंड ही लंबाई और चौड़ाई होंगे।

(i) क्षेत्रफल

25 a^{2} - 35 a + 12

सूत्र (मध्य पद विभाजन):

a a^{2} + ba + c

में ऐसी दो संख्याएँ m, n ढूँढें कि

m + n = b

और

m \times n = a \times c

।

a

25

b

- 35

c

12

a \times c

25 \times 12

300

ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $300$ और योग $- 35$ हो:

संख्याएँ	गुणनफल	योग
1, 300	1 × 300 = 300	1 + (300) = 301
−1, −300	−1 × (−300) = 300	−1 + (−300) = −301
2, 150	2 × 150 = 300	2 + (150) = 152
−2, −150	−2 × (−150) = 300	−2 + (−150) = −152
3, 100	3 × 100 = 300	3 + (100) = 103
−3, −100	−3 × (−100) = 300	−3 + (−100) = −103
4, 75	4 × 75 = 300	4 + (75) = 79
−4, −75	−4 × (−75) = 300	−4 + (−75) = −79
5, 60	5 × 60 = 300	5 + (60) = 65
−5, −60	−5 × (−60) = 300	−5 + (−60) = −65
6, 50	6 × 50 = 300	6 + (50) = 56
−6, −50	−6 × (−50) = 300	−6 + (−50) = −56
10, 30	10 × 30 = 300	10 + (30) = 40
−10, −30	−10 × (−30) = 300	−10 + (−30) = −40
12, 25	12 × 25 = 300	12 + (25) = 37
−12, −25	−12 × (−25) = 300	−12 + (−25) = −37
15, 20	15 × 20 = 300	15 + (20) = 35

अतः $- 15$ और $- 20$ लेते हैं ( $- 15 + (- 20) = - 35$ , $- 15 \times (- 20) = 300$ )। मध्य पद $- 35 a$ को तोड़ते हैं:

25 a^{2} - 35 a + 12

25 a^{2} - 15 a - 20 a + 12

(25 a^{2} - 15 a) + (- 20 a + 12)

5 a (5 a - 3) - 4 (5 a - 3)

(5 a - 3) (5 a - 4)

पहले समूह से $5 a$ और दूसरे समूह से $- 4$ उभयनिष्ठ निकाला; फिर $(5 a - 3)$ उभयनिष्ठ लिया।

उत्तर: लंबाई और चौड़ाई के संभव व्यंजक:

(5 a - 3)

और

(5 a - 4)

(ii) क्षेत्रफल

35 y^{2} + 13 y - 12

सूत्र (मध्य पद विभाजन):

a y^{2} + b y + c

में ऐसी दो संख्याएँ m, n ढूँढें कि

m + n = b

और

m \times n = a \times c

।

a

35

b

13

c

- 12

a \times c

35 \times (- 12)

- 420

ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $- 420$ और योग $13$ हो:

संख्याएँ	गुणनफल	योग
1, −420	1 × (−420) = −420	1 + (−420) = −419
−1, 420	−1 × 420 = −420	−1 + (420) = 419
2, −210	2 × (−210) = −420	2 + (−210) = −208
−2, 210	−2 × 210 = −420	−2 + (210) = 208
3, −140	3 × (−140) = −420	3 + (−140) = −137
−3, 140	−3 × 140 = −420	−3 + (140) = 137
4, −105	4 × (−105) = −420	4 + (−105) = −101
−4, 105	−4 × 105 = −420	−4 + (105) = 101
5, −84	5 × (−84) = −420	5 + (−84) = −79
−5, 84	−5 × 84 = −420	−5 + (84) = 79
6, −70	6 × (−70) = −420	6 + (−70) = −64
−6, 70	−6 × 70 = −420	−6 + (70) = 64
7, −60	7 × (−60) = −420	7 + (−60) = −53
−7, 60	−7 × 60 = −420	−7 + (60) = 53
10, −42	10 × (−42) = −420	10 + (−42) = −32
−10, 42	−10 × 42 = −420	−10 + (42) = 32
12, −35	12 × (−35) = −420	12 + (−35) = −23
−12, 35	−12 × 35 = −420	−12 + (35) = 23
14, −30	14 × (−30) = −420	14 + (−30) = −16
−14, 30	−14 × 30 = −420	−14 + (30) = 16
15, −28	15 × (−28) = −420	15 + (−28) = −13

अतः $- 15$ और $28$ लेते हैं ( $- 15 + (28) = 13$ , $- 15 \times (28) = - 420$ )। मध्य पद $13 y$ को तोड़ते हैं:

35 y^{2} + 13 y - 12

35 y^{2} - 15 y + 28 y - 12

(35 y^{2} - 15 y) + (28 y - 12)

5 y (7 y - 3) + 4 (7 y - 3)

(7 y - 3) (5 y + 4)

पहले समूह से $5 y$ और दूसरे समूह से $4$ उभयनिष्ठ निकाला; फिर $(7 y - 3)$ उभयनिष्ठ लिया।

उत्तर: लंबाई और चौड़ाई के संभव व्यंजक:

(7 y - 3)

और

(5 y + 4)

उत्तर:

(i)

(5 a - 3)

और

(5 a - 4)

(ii)

(7 y - 3)

और

(5 y + 4)

प्रश्न 16

घनाभों, जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, की विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं?(i) आयतन: $3 x^{2} - 12 x$ (ii) आयतन: $12 k y^{2} + 8 k y - 20 k$

सूत्र (घनाभ का आयतन):

V = l \times b \times h

(लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई)

अतः आयतन के व्यंजक के तीन गुणनखंड ही विमाएँ होंगी।

(i) आयतन

3 x^{2} - 12 x

3 x^{2}

3 \times x \times x

12 x

3 \times 4 \times x

दोनों पदों में $3 x$ उभयनिष्ठ है:

3 x^{2} - 12 x

3 x \times x - 3 x \times 4

3 x (x - 4)

3 \times x \times (x - 4)

उत्तर: विमाओं के संभव व्यंजक:

3, x

और

(x - 4)

(ii) आयतन

12 k y^{2} + 8 k y - 20 k

12 k y^{2}

4 k \times 3 y^{2}

8 k y

4 k \times 2 y

20 k

4 k \times 5

तीनों पदों में $4 k$ उभयनिष्ठ है:

12 k y^{2} + 8 k y - 20 k

4 k \times 3 y^{2} + 4 k \times 2 y - 4 k \times 5

4 k (3 y^{2} + 2 y - 5)

अब $3 y^{2} + 2 y - 5$ के गुणनखंड:

सूत्र (मध्य पद विभाजन):

a y^{2} + b y + c

में ऐसी दो संख्याएँ m, n ढूँढें कि

m + n = b

और

m \times n = a \times c

।

a

3

b

2

c

- 5

a \times c

3 \times (- 5)

- 15

ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $- 15$ और योग $2$ हो:

संख्याएँ	गुणनफल	योग
1, −15	1 × (−15) = −15	1 + (−15) = −14
−1, 15	−1 × 15 = −15	−1 + (15) = 14
3, −5	3 × (−5) = −15	3 + (−5) = −2

अतः $- 3$ और $5$ लेते हैं ( $- 3 + (5) = 2$ , $- 3 \times (5) = - 15$ )। मध्य पद $2 y$ को तोड़ते हैं:

3 y^{2} + 2 y - 5

3 y^{2} - 3 y + 5 y - 5

(3 y^{2} - 3 y) + (5 y - 5)

3 y (y - 1) + 5 (y - 1)

(y - 1) (3 y + 5)

पहले समूह से $3 y$ और दूसरे समूह से $5$ उभयनिष्ठ निकाला; फिर $(y - 1)$ उभयनिष्ठ लिया।

12 k y^{2} + 8 k y - 20 k

4 k (y - 1) (3 y + 5)

उत्तर: विमाओं के संभव व्यंजक:

4 k, (3 y + 5)

और

(y - 1)

उत्तर:

(i)

3, x, (x - 4)

(ii)

4 k, (3 y + 5), (y - 1)

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 2 ‘बहुपद’ (NCERT पाठ्यपुस्तक, पुनर्मुद्रण 2025-26) के अनुसार है।