प्रश्नावली 2.3 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 2: बहुपद · 5 प्रश्न (बहुपदों का गुणनखंडन)

प्रश्न 1

बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड $x + 1$ है:(i) $x^{3} + x^{2} + x + 1$ (ii) $x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$ (iii) $x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} + x + 1$ (iv) $x^{3} - x^{2} - (2 + 2) x + 2$

सूत्र (गुणनखंड प्रमेय):

(x + 1)

बहुपद

p (x)

का गुणनखंड है, यदि

p (- 1) = 0

हो। (क्योंकि

x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1

)

(i)

x^{3} + x^{2} + x + 1

p (- 1)

(- 1)^{3} + (- 1)^{2} + (- 1) + 1

(- 1) + 1 + (- 1) + 1

- 1 + 1 - 1 + 1

0 - 1 + 1

- 1 + 1

0

उत्तर:

p (- 1) = 0

, अतः

(x + 1)

गुणनखंड है।

(ii)

x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1

p (- 1)

(- 1)^{4} + (- 1)^{3} + (- 1)^{2} + (- 1) + 1

1 + (- 1) + 1 + (- 1) + 1

1 - 1 + 1 - 1 + 1

0 + 1 - 1 + 1

1 - 1 + 1

0 + 1

1

उत्तर:

p (- 1) = 1 \neq = 0

, अतः

(x + 1)

गुणनखंड नहीं है।

(iii)

x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} + x + 1

p (- 1)

(- 1)^{4} + 3 (- 1)^{3} + 3 (- 1)^{2} + (- 1) + 1

1 + 3 \times (- 1) + 3 \times 1 + (- 1) + 1

1 - 3 + 3 - 1 + 1

- 2 + 3 - 1 + 1

1 - 1 + 1

0 + 1

1

उत्तर:

p (- 1) = 1 \neq = 0

, अतः

(x + 1)

गुणनखंड नहीं है।

(iv)

x^{3} - x^{2} - (2 + 2) x + 2

p (- 1)

(- 1)^{3} - (- 1)^{2} - (2 + 2) (- 1) + 2

- 1 - 1 - (2 + 2) (- 1) + 2

कोष्ठक का गुणा, हर पद से अलग-अलग:

- (2 + 2) (- 1)

- [2 \times (- 1) + 2 \times (- 1)]

- [- 2 - 2]

2 + 2

p (- 1)

- 1 - 1 + 2 + 2 + 2

- 2 + 2 + 22

0 + 22

22

उत्तर:

p (- 1) = 22 \neq = 0

, अतः

(x + 1)

गुणनखंड नहीं है।

उत्तर:

(i) गुणनखंड है

(ii) गुणनखंड नहीं है

(iii) गुणनखंड नहीं है

(iv) गुणनखंड नहीं है

प्रश्न 2

गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में $g (x)$ , $p (x)$ का एक गुणनखंड है या नहीं:(i) $p (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1, g (x) = x + 1$ (ii) $p (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1, g (x) = x + 2$ (iii) $p (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6, g (x) = x - 3$

सूत्र (गुणनखंड प्रमेय):

g (x) = x - a

बहुपद

p (x)

का गुणनखंड है, यदि

p (a) = 0

।

(i)

p (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1, g (x) = x + 1

g (x)

0

x + 1

0

पक्षांतर: अचर पद दाएँ पक्ष में जाकर चिह्न बदल लेता है (+ से −, − से +)।

x

- 1

p (- 1)

2 (- 1)^{3} + (- 1)^{2} - 2 (- 1) - 1

2 \times (- 1) + 1 - 2 \times (- 1) - 1

- 2 + 1 + 2 - 1

- 1 + 2 - 1

1 - 1

0

उत्तर:

p (- 1) = 0

, अतः

g (x)

गुणनखंड है।

(ii)

p (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1, g (x) = x + 2

g (x)

0

x + 2

0

पक्षांतर: अचर पद दाएँ पक्ष में जाकर चिह्न बदल लेता है (+ से −, − से +)।

x

- 2

p (- 2)

(- 2)^{3} + 3 (- 2)^{2} + 3 (- 2) + 1

(- 8) + 3 \times 4 + 3 \times (- 2) + 1

- 8 + 12 - 6 + 1

4 - 6 + 1

- 2 + 1

- 1

उत्तर:

p (- 2) = - 1 \neq = 0

, अतः

g (x)

गुणनखंड नहीं है।

(iii)

p (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6, g (x) = x - 3

g (x)

0

x - 3

0

पक्षांतर: अचर पद दाएँ पक्ष में जाकर चिह्न बदल लेता है (+ से −, − से +)।

x

3

p (3)

(3)^{3} - 4 (3)^{2} + (3) + 6

27 - 4 \times 9 + 3 + 6

27 - 36 + 3 + 6

- 9 + 3 + 6

- 6 + 6

0

उत्तर:

p (3) = 0

, अतः

g (x)

गुणनखंड है।

उत्तर:

(i) हाँ

(ii) नहीं

(iii) हाँ

प्रश्न 3

k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में $(x - 1)$ , $p (x)$ का एक गुणनखंड हो:(i) $p (x) = x^{2} + x + k$ (ii) $p (x) = 2 x^{2} + k x + 2$ (iii) $p (x) = k x^{2} - 2 x + 1$ (iv) $p (x) = k x^{2} - 3 x + k$

सूत्र (गुणनखंड प्रमेय):

(x - 1)

गुणनखंड है, तो

p (1) = 0

होगा।

(i)

p (x) = x^{2} + x + k

p (1)

(1)^{2} + 1 + k

1 + 1 + k

2 + k

2 + k

0

पक्षांतर: +2 दाएँ पक्ष में −2 हो जाता है।

k

- 2

उत्तर:

k = - 2

(ii)

p (x) = 2 x^{2} + k x + 2

p (1)

2 (1)^{2} + k (1) + 2

2 \times 1 + k + 2

2 + k + 2

2 + k + 2

0

पक्षांतर: +2 और +√2 दाएँ पक्ष में −2 और −√2 हो जाते हैं।

k

- 2 - 2

k

- (2 + 2)

उत्तर:

k = - (2 + 2)

(iii)

p (x) = k x^{2} - 2 x + 1

p (1)

k (1)^{2} - 2 (1) + 1

k \times 1 - 2 + 1

k - 2 + 1

k - 2 + 1

0

पक्षांतर: −√2 दाएँ पक्ष में +√2 और +1 दाएँ पक्ष में −1 हो जाता है।

k

2 - 1

उत्तर:

k = 2 - 1

(iv)

p (x) = k x^{2} - 3 x + k

p (1)

k (1)^{2} - 3 (1) + k

k \times 1 - 3 + k

k - 3 + k

2 k - 3

2 k - 3

0

पक्षांतर: −3 दाएँ पक्ष में +3 हो जाता है।

2 k

3

पक्षांतर: k का गुणक 2 दाएँ पक्ष में भाग बनकर जाता है।

k

\frac{3}{2}

उत्तर:

k = \frac{3}{2}

उत्तर:

(i)

k = - 2

(ii)

k = - (2 + 2)

(iii)

k = 2 - 1

(iv)

k = \frac{3}{2}

प्रश्न 4

गुणनखंड ज्ञात कीजिए:(i) $12 x^{2} - 7 x + 1$ (ii) $2 x^{2} + 7 x + 3$ (iii) $6 x^{2} + 5 x - 6$ (iv) $3 x^{2} - x - 4$

(i)

12 x^{2} - 7 x + 1

सूत्र (मध्य पद विभाजन):

a x^{2} + b x + c

में ऐसी दो संख्याएँ m, n ढूँढें कि

m + n = b

और

m \times n = a \times c

।

a

12

b

- 7

c

1

a \times c

12 \times 1

12

ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $12$ और योग $- 7$ हो:

संख्याएँ	गुणनफल	योग
1, 12	1 × 12 = 12	1 + (12) = 13
−1, −12	−1 × (−12) = 12	−1 + (−12) = −13
2, 6	2 × 6 = 12	2 + (6) = 8
−2, −6	−2 × (−6) = 12	−2 + (−6) = −8
3, 4	3 × 4 = 12	3 + (4) = 7

अतः $- 3$ और $- 4$ लेते हैं ( $- 3 + (- 4) = - 7$ , $- 3 \times (- 4) = 12$ )। मध्य पद $- 7 x$ को तोड़ते हैं:

12 x^{2} - 7 x + 1

12 x^{2} - 3 x - 4 x + 1

(12 x^{2} - 3 x) + (- 4 x + 1)

3 x (4 x - 1) - 1 (4 x - 1)

(4 x - 1) (3 x - 1)

पहले समूह से $3 x$ और दूसरे समूह से $- 1$ उभयनिष्ठ निकाला; फिर $(4 x - 1)$ उभयनिष्ठ लिया।

जाँच (हर पद से अलग-अलग गुणा):

(4 x - 1) (3 x - 1)

4 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1)

12 x^{2} - 4 x - 3 x + 1

12 x^{2} - 7 x + 1

उत्तर:

(4 x - 1) (3 x - 1)

(ii)

2 x^{2} + 7 x + 3

सूत्र (मध्य पद विभाजन):

a x^{2} + b x + c

में ऐसी दो संख्याएँ m, n ढूँढें कि

m + n = b

और

m \times n = a \times c

।

a

2

b

7

c

3

a \times c

2 \times 3

6

ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $6$ और योग $7$ हो:

संख्याएँ	गुणनफल	योग

अतः $1$ और $6$ लेते हैं ( $1 + (6) = 7$ , $1 \times (6) = 6$ )। मध्य पद $7 x$ को तोड़ते हैं:

2 x^{2} + 7 x + 3

2 x^{2} + x + 6 x + 3

(2 x^{2} + x) + (6 x + 3)

x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1)

(2 x + 1) (x + 3)

पहले समूह से $x$ और दूसरे समूह से $3$ उभयनिष्ठ निकाला; फिर $(2 x + 1)$ उभयनिष्ठ लिया।

जाँच (हर पद से अलग-अलग गुणा):

(2 x + 1) (x + 3)

2 x (x + 3) + 1 (x + 3)

2 x^{2} + 6 x + x + 3

2 x^{2} + 7 x + 3

उत्तर:

(2 x + 1) (x + 3)

(iii)

6 x^{2} + 5 x - 6

सूत्र (मध्य पद विभाजन):

a x^{2} + b x + c

में ऐसी दो संख्याएँ m, n ढूँढें कि

m + n = b

और

m \times n = a \times c

।

a

6

b

5

c

- 6

a \times c

6 \times (- 6)

- 36

ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $- 36$ और योग $5$ हो:

संख्याएँ	गुणनफल	योग
1, −36	1 × (−36) = −36	1 + (−36) = −35
−1, 36	−1 × 36 = −36	−1 + (36) = 35
2, −18	2 × (−18) = −36	2 + (−18) = −16
−2, 18	−2 × 18 = −36	−2 + (18) = 16
3, −12	3 × (−12) = −36	3 + (−12) = −9
−3, 12	−3 × 12 = −36	−3 + (12) = 9
4, −9	4 × (−9) = −36	4 + (−9) = −5

अतः $- 4$ और $9$ लेते हैं ( $- 4 + (9) = 5$ , $- 4 \times (9) = - 36$ )। मध्य पद $5 x$ को तोड़ते हैं:

6 x^{2} + 5 x - 6

6 x^{2} - 4 x + 9 x - 6

(6 x^{2} - 4 x) + (9 x - 6)

2 x (3 x - 2) + 3 (3 x - 2)

(3 x - 2) (2 x + 3)

पहले समूह से $2 x$ और दूसरे समूह से $3$ उभयनिष्ठ निकाला; फिर $(3 x - 2)$ उभयनिष्ठ लिया।

जाँच (हर पद से अलग-अलग गुणा):

(3 x - 2) (2 x + 3)

3 x (2 x + 3) - 2 (2 x + 3)

6 x^{2} + 9 x - 4 x - 6

6 x^{2} + 5 x - 6

उत्तर:

(3 x - 2) (2 x + 3)

(iv)

3 x^{2} - x - 4

सूत्र (मध्य पद विभाजन):

a x^{2} + b x + c

में ऐसी दो संख्याएँ m, n ढूँढें कि

m + n = b

और

m \times n = a \times c

।

a

3

b

- 1

c

- 4

a \times c

3 \times (- 4)

- 12

ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $- 12$ और योग $- 1$ हो:

संख्याएँ	गुणनफल	योग
1, −12	1 × (−12) = −12	1 + (−12) = −11
−1, 12	−1 × 12 = −12	−1 + (12) = 11
2, −6	2 × (−6) = −12	2 + (−6) = −4
−2, 6	−2 × 6 = −12	−2 + (6) = 4

अतः $3$ और $- 4$ लेते हैं ( $3 + (- 4) = - 1$ , $3 \times (- 4) = - 12$ )। मध्य पद $- x$ को तोड़ते हैं:

3 x^{2} - x - 4

3 x^{2} + 3 x - 4 x - 4

(3 x^{2} + 3 x) + (- 4 x - 4)

3 x (x + 1) - 4 (x + 1)

(x + 1) (3 x - 4)

पहले समूह से $3 x$ और दूसरे समूह से $- 4$ उभयनिष्ठ निकाला; फिर $(x + 1)$ उभयनिष्ठ लिया।

जाँच (हर पद से अलग-अलग गुणा):

(x + 1) (3 x - 4)

x (3 x - 4) + 1 (3 x - 4)

3 x^{2} - 4 x + 3 x - 4

3 x^{2} - x - 4

उत्तर:

(x + 1) (3 x - 4)

उत्तर:

(i)

(4 x - 1) (3 x - 1)

(ii)

(2 x + 1) (x + 3)

(iii)

(3 x - 2) (2 x + 3)

(iv)

(x + 1) (3 x - 4)

प्रश्न 5

गुणनखंड ज्ञात कीजिए:(i) $x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ (ii) $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$ (iii) $x^{3} + 13 x^{2} + 32 x + 20$ (iv) $2 y^{3} + y^{2} - 2 y - 1$

(i)

x^{3} - 2 x^{2} - x + 2

माना $p (x) = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$ ।

सूत्र (गुणनखंड प्रमेय): यदि

p (a) = 0

हो, तो

(x - a)

बहुपद

p (x)

का एक गुणनखंड है।

अचर पद $2$ के गुणनखंड: $\pm 1$ , $\pm 2$ । इन्हें एक-एक करके रखकर देखते हैं:

p (1)

(1)^{3} - 2 (1)^{2} - (1) + 2

1 - 2 \times 1 - 1 + 2

1 - 2 - 1 + 2

- 1 - 1 + 2

- 2 + 2

0

$p (1) = 0$ , अतः $(x - 1)$ एक गुणनखंड है।

अब पदों को इस प्रकार तोड़ते हैं कि हर जोड़े में $(x - 1)$ उभयनिष्ठ निकले:

- 2 x^{2} = - x^{2} - x^{2}

और

- x = x - 2 x

p (x)

x^{3} - x^{2} - x^{2} + x - 2 x + 2

(x^{3} - x^{2}) + (- x^{2} + x) + (- 2 x + 2)

x^{2} (x - 1) - x (x - 1) - 2 (x - 1)

(x - 1) (x^{2} - x - 2)

अब द्विघात बहुपद $x^{2} - x - 2$ के गुणनखंड मध्य पद विभाजन से:

सूत्र (मध्य पद विभाजन):

a x^{2} + b x + c

में ऐसी दो संख्याएँ m, n ढूँढें कि

m + n = b

और

m \times n = a \times c

।

a

1

b

- 1

c

- 2

a \times c

1 \times (- 2)

- 2

ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $- 2$ और योग $- 1$ हो:

संख्याएँ	गुणनफल	योग

अतः $1$ और $- 2$ लेते हैं ( $1 + (- 2) = - 1$ , $1 \times (- 2) = - 2$ )। मध्य पद $- x$ को तोड़ते हैं:

x^{2} - x - 2

x^{2} + x - 2 x - 2

(x^{2} + x) + (- 2 x - 2)

x (x + 1) - 2 (x + 1)

(x + 1) (x - 2)

पहले समूह से $x$ और दूसरे समूह से $- 2$ उभयनिष्ठ निकाला; फिर $(x + 1)$ उभयनिष्ठ लिया।

p (x)

(x - 1) (x^{2} - x - 2)

(x - 1) (x + 1) (x - 2)

उत्तर:

(x - 1) (x + 1) (x - 2)

(ii)

x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5

माना $p (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$ ।

सूत्र (गुणनखंड प्रमेय): यदि

p (a) = 0

हो, तो

(x - a)

बहुपद

p (x)

का एक गुणनखंड है।

अचर पद $- 5$ के गुणनखंड: $\pm 1$ , $\pm 5$ । इन्हें एक-एक करके रखकर देखते हैं:

p (1)

(1)^{3} - 3 (1)^{2} - 9 (1) - 5

1 - 3 \times 1 - 9 \times 1 - 5

1 - 3 - 9 - 5

- 2 - 9 - 5

- 11 - 5

- 16

$p (1) = - 16 \neq = 0$ , अतः $(x - 1)$ गुणनखंड नहीं है।

p (- 1)

(- 1)^{3} - 3 (- 1)^{2} - 9 (- 1) - 5

(- 1) - 3 \times 1 - 9 \times (- 1) - 5

- 1 - 3 + 9 - 5

- 4 + 9 - 5

5 - 5

0

$p (- 1) = 0$ , अतः $(x + 1)$ एक गुणनखंड है।

अब पदों को इस प्रकार तोड़ते हैं कि हर जोड़े में $(x + 1)$ उभयनिष्ठ निकले:

- 3 x^{2} = x^{2} - 4 x^{2}

और

- 9 x = - 4 x - 5 x

p (x)

x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} - 4 x - 5 x - 5

(x^{3} + x^{2}) + (- 4 x^{2} - 4 x) + (- 5 x - 5)

x^{2} (x + 1) - 4 x (x + 1) - 5 (x + 1)

(x + 1) (x^{2} - 4 x - 5)

अब द्विघात बहुपद $x^{2} - 4 x - 5$ के गुणनखंड मध्य पद विभाजन से:

सूत्र (मध्य पद विभाजन):

a x^{2} + b x + c

में ऐसी दो संख्याएँ m, n ढूँढें कि

m + n = b

और

m \times n = a \times c

।

a

1

b

- 4

c

- 5

a \times c

1 \times (- 5)

- 5

ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $- 5$ और योग $- 4$ हो:

संख्याएँ	गुणनफल	योग

अतः $1$ और $- 5$ लेते हैं ( $1 + (- 5) = - 4$ , $1 \times (- 5) = - 5$ )। मध्य पद $- 4 x$ को तोड़ते हैं:

x^{2} - 4 x - 5

x^{2} + x - 5 x - 5

(x^{2} + x) + (- 5 x - 5)

x (x + 1) - 5 (x + 1)

(x + 1) (x - 5)

पहले समूह से $x$ और दूसरे समूह से $- 5$ उभयनिष्ठ निकाला; फिर $(x + 1)$ उभयनिष्ठ लिया।

p (x)

(x + 1) (x^{2} - 4 x - 5)

(x + 1) (x + 1) (x - 5)

(x + 1) (x + 1) (x - 5)

(x + 1)^{2} (x - 5)

उत्तर:

(x + 1)^{2} (x - 5)

(iii)

x^{3} + 13 x^{2} + 32 x + 20

माना $p (x) = x^{3} + 13 x^{2} + 32 x + 20$ ।

सूत्र (गुणनखंड प्रमेय): यदि

p (a) = 0

हो, तो

(x - a)

बहुपद

p (x)

का एक गुणनखंड है।

अचर पद $20$ के गुणनखंड: $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 4$ , $\pm 5$ , $\pm 10$ , $\pm 20$ । इन्हें एक-एक करके रखकर देखते हैं:

p (1)

(1)^{3} + 13 (1)^{2} + 32 (1) + 20

1 + 13 \times 1 + 32 \times 1 + 20

1 + 13 + 32 + 20

14 + 32 + 20

46 + 20

66

$p (1) = 66 \neq = 0$ , अतः $(x - 1)$ गुणनखंड नहीं है।

p (- 1)

(- 1)^{3} + 13 (- 1)^{2} + 32 (- 1) + 20

(- 1) + 13 \times 1 + 32 \times (- 1) + 20

- 1 + 13 - 32 + 20

12 - 32 + 20

- 20 + 20

0

$p (- 1) = 0$ , अतः $(x + 1)$ एक गुणनखंड है।

अब पदों को इस प्रकार तोड़ते हैं कि हर जोड़े में $(x + 1)$ उभयनिष्ठ निकले:

13 x^{2} = x^{2} + 12 x^{2}

और

32 x = 12 x + 20 x

p (x)

x^{3} + x^{2} + 12 x^{2} + 12 x + 20 x + 20

(x^{3} + x^{2}) + (12 x^{2} + 12 x) + (20 x + 20)

x^{2} (x + 1) + 12 x (x + 1) + 20 (x + 1)

(x + 1) (x^{2} + 12 x + 20)

अब द्विघात बहुपद $x^{2} + 12 x + 20$ के गुणनखंड मध्य पद विभाजन से:

सूत्र (मध्य पद विभाजन):

a x^{2} + b x + c

में ऐसी दो संख्याएँ m, n ढूँढें कि

m + n = b

और

m \times n = a \times c

।

a

1

b

12

c

20

a \times c

1 \times 20

20

ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $20$ और योग $12$ हो:

संख्याएँ	गुणनफल	योग
1, 20	1 × 20 = 20	1 + (20) = 21
−1, −20	−1 × (−20) = 20	−1 + (−20) = −21

अतः $2$ और $10$ लेते हैं ( $2 + (10) = 12$ , $2 \times (10) = 20$ )। मध्य पद $12 x$ को तोड़ते हैं:

x^{2} + 12 x + 20

x^{2} + 2 x + 10 x + 20

(x^{2} + 2 x) + (10 x + 20)

x (x + 2) + 10 (x + 2)

(x + 2) (x + 10)

पहले समूह से $x$ और दूसरे समूह से $10$ उभयनिष्ठ निकाला; फिर $(x + 2)$ उभयनिष्ठ लिया।

p (x)

(x + 1) (x^{2} + 12 x + 20)

(x + 1) (x + 2) (x + 10)

उत्तर:

(x + 1) (x + 2) (x + 10)

(iv)

2 y^{3} + y^{2} - 2 y - 1

माना $p (y) = 2 y^{3} + y^{2} - 2 y - 1$ ।

सूत्र (गुणनखंड प्रमेय): यदि

p (a) = 0

हो, तो

(y - a)

बहुपद

p (y)

का एक गुणनखंड है।

अचर पद $- 1$ के गुणनखंड: $\pm 1$ । इन्हें एक-एक करके रखकर देखते हैं:

p (1)

2 (1)^{3} + (1)^{2} - 2 (1) - 1

2 \times 1 + 1 - 2 \times 1 - 1

2 + 1 - 2 - 1

3 - 2 - 1

1 - 1

0

$p (1) = 0$ , अतः $(y - 1)$ एक गुणनखंड है।

अब पदों को इस प्रकार तोड़ते हैं कि हर जोड़े में $(y - 1)$ उभयनिष्ठ निकले:

y^{2} = - 2 y^{2} + 3 y^{2}

और

- 2 y = - 3 y + y

p (y)

2 y^{3} - 2 y^{2} + 3 y^{2} - 3 y + y - 1

(2 y^{3} - 2 y^{2}) + (3 y^{2} - 3 y) + (y - 1)

2 y^{2} (y - 1) + 3 y (y - 1) + 1 (y - 1)

(y - 1) (2 y^{2} + 3 y + 1)

अब द्विघात बहुपद $2 y^{2} + 3 y + 1$ के गुणनखंड मध्य पद विभाजन से:

सूत्र (मध्य पद विभाजन):

a y^{2} + b y + c

में ऐसी दो संख्याएँ m, n ढूँढें कि

m + n = b

और

m \times n = a \times c

।

a

2

b

3

c

1

a \times c

2 \times 1

2

ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $2$ और योग $3$ हो:

संख्याएँ	गुणनफल	योग

अतः $1$ और $2$ लेते हैं ( $1 + (2) = 3$ , $1 \times (2) = 2$ )। मध्य पद $3 y$ को तोड़ते हैं:

2 y^{2} + 3 y + 1

2 y^{2} + y + 2 y + 1

(2 y^{2} + y) + (2 y + 1)

y (2 y + 1) + 1 (2 y + 1)

(2 y + 1) (y + 1)

पहले समूह से $y$ और दूसरे समूह से $1$ उभयनिष्ठ निकाला; फिर $(2 y + 1)$ उभयनिष्ठ लिया।

p (y)

(y - 1) (2 y^{2} + 3 y + 1)

(y - 1) (2 y + 1) (y + 1)

उत्तर:

(y - 1) (2 y + 1) (y + 1)

उत्तर:

(i)

(x - 1) (x + 1) (x - 2)

(ii)

(x + 1)^{2} (x - 5)

(iii)

(x + 1) (x + 2) (x + 10)

(iv)

(y - 1) (2 y + 1) (y + 1)

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 2 ‘बहुपद’ (NCERT पाठ्यपुस्तक, पुनर्मुद्रण 2025-26) के अनुसार है।