प्रश्नावली 2.2 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 2: बहुपद · 4 प्रश्न (बहुपद के शून्यक)

प्रश्न 1

निम्नलिखित पर बहुपद $5 x - 4 x^{2} + 3$ के मान ज्ञात कीजिए:(i) $x = 0$ (ii) $x = - 1$ (iii) $x = 2$

सूत्र (बहुपद का मान):

p (x)

में

x

के स्थान पर दी गई संख्या रखकर गणना करने से

p (a)

मिलता है।

माना $p (x) = 5 x - 4 x^{2} + 3$ ।

(i)

x = 0

p (0)

5 (0) - 4 (0)^{2} + 3

5 \times 0 - 4 \times 0 + 3

0 + 0 + 3

0 + 3

3

उत्तर: मान = 3

(ii)

x = - 1

p (- 1)

5 (- 1) - 4 (- 1)^{2} + 3

5 \times (- 1) - 4 \times 1 + 3

- 5 - 4 + 3

- 9 + 3

- 6

उत्तर: मान = −6

(iii)

x = 2

p (2)

5 (2) - 4 (2)^{2} + 3

5 \times 2 - 4 \times 4 + 3

10 - 16 + 3

- 6 + 3

- 3

उत्तर: मान = −3

उत्तर:

(i) 3

(ii) −6

(iii) −3

प्रश्न 2

निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p(0), p(1) और p(2) ज्ञात कीजिए:(i) $p (y) = y^{2} - y + 1$ (ii) $p (t) = 2 + t + 2 t^{2} - t^{3}$ (iii) $p (x) = x^{3}$ (iv) $p (x) = (x - 1) (x + 1)$

सूत्र (बहुपद का मान):

p (x)

में

x

के स्थान पर दी गई संख्या रखकर गणना करने से

p (a)

मिलता है।

(i)

p (y) = y^{2} - y + 1

माना $p (y) = y^{2} - y + 1$ ।

p (0)

(0)^{2} - (0) + 1

0 - 0 + 1

0 + 0 + 1

0 + 1

1

p (1)

(1)^{2} - (1) + 1

1 - 1 + 1

0 + 1

1

p (2)

(2)^{2} - (2) + 1

4 - 2 + 1

2 + 1

3

उत्तर: p(0) = 1, p(1) = 1, p(2) = 3

(ii)

p (t) = 2 + t + 2 t^{2} - t^{3}

माना $p (t) = 2 + t + 2 t^{2} - t^{3}$ ।

p (0)

2 + (0) + 2 (0)^{2} - (0)^{3}

2 + 0 + 2 \times 0 - 0

2 + 0 + 0 + 0

2 + 0 + 0

2 + 0

2

p (1)

2 + (1) + 2 (1)^{2} - (1)^{3}

2 + 1 + 2 \times 1 - 1

2 + 1 + 2 - 1

3 + 2 - 1

5 - 1

4

p (2)

2 + (2) + 2 (2)^{2} - (2)^{3}

2 + 2 + 2 \times 4 - 8

2 + 2 + 8 - 8

4 + 8 - 8

12 - 8

4

उत्तर: p(0) = 2, p(1) = 4, p(2) = 4

(iii)

p (x) = x^{3}

माना $p (x) = x^{3}$ ।

p (0)

(0)^{3}

0

p (1)

(1)^{3}

1

p (2)

(2)^{3}

8

उत्तर: p(0) = 0, p(1) = 1, p(2) = 8

(iv)

p (x) = (x - 1) (x + 1)

माना $p (x) = (x - 1) (x + 1)$ । हर बार दोनों कोष्ठकों में x का मान रखेंगे:

p (0)

(0 - 1) (0 + 1)

(- 1) (1)

- 1 \times 1

- 1

p (1)

(1 - 1) (1 + 1)

(0) (2)

0 \times 2

0

p (2)

(2 - 1) (2 + 1)

(1) (3)

1 \times 3

3

उत्तर: p(0) = −1, p(1) = 0, p(2) = 3

उत्तर:

(i) 1, 1, 3

(ii) 2, 4, 4

(iii) 0, 1, 8

(iv) −1, 0, 3

प्रश्न 3

सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं:(i) $p (x) = 3 x + 1; x = - \frac{1}{3}$ (ii) $p (x) = 5 x - π; x = \frac{4}{5}$ (iii) $p (x) = x^{2} - 1; x = 1, - 1$ (iv) $p (x) = (x + 1) (x - 2); x = - 1, 2$ (v) $p (x) = x^{2}; x = 0$ (vi) $p (x) = l x + m; x = - \frac{m}{l}$ (vii) $p (x) = 3 x^{2} - 1; x = - \frac{1}{3}, \frac{2}{3}$ (viii) $p (x) = 2 x + 1; x = \frac{1}{2}$

सूत्र (शून्यक): यदि

p (a) = 0

हो, तो संख्या a बहुपद

p (x)

का शून्यक है।

(i)

p (x) = 3 x + 1, x = - \frac{1}{3}

p (- \frac{1}{3})

3 (- \frac{1}{3}) + 1

- \frac{3}{3} + 1

- 1 + 1

0

उत्तर:

- \frac{1}{3}

शून्यक है।

(ii)

p (x) = 5 x - π, x = \frac{4}{5}

p (\frac{4}{5})

5 (\frac{4}{5}) - π

\frac{20}{5} - π

4 - π

π ≈ 3.14, अतः $4 - π \approx 0.86 \neq = 0$ ।

उत्तर:

\frac{4}{5}

शून्यक नहीं है।

(iii)

p (x) = x^{2} - 1, x = 1, - 1

p (1)

(1)^{2} - 1

1 - 1

0

p (- 1)

(- 1)^{2} - 1

1 - 1

0

उत्तर: 1 और −1 दोनों शून्यक हैं।

(iv)

p (x) = (x + 1) (x - 2), x = - 1, 2

p (- 1)

(- 1 + 1) (- 1 - 2)

(0) (- 3)

0 \times (- 3)

0

p (2)

(2 + 1) (2 - 2)

(3) (0)

3 \times 0

0

उत्तर: −1 और 2 दोनों शून्यक हैं।

(v)

p (x) = x^{2}, x = 0

p (0)

(0)^{2}

0

उत्तर: 0 शून्यक है।

(vi)

p (x) = l x + m, x = - \frac{m}{l}

p (- \frac{m}{l})

l (- \frac{m}{l}) + m

- \frac{l \times m}{l} + m

- m + m

0

l अंश और हर दोनों में है, कट गया।

उत्तर:

- \frac{m}{l}

शून्यक है।

(vii)

p (x) = 3 x^{2} - 1, x = - \frac{1}{3}, \frac{2}{3}

p (- \frac{1}{3})

3 (- \frac{1}{3})^{2} - 1

3 \times \frac{( - 1 ) ^{2}}{( 3 ) ^{2}} - 1

3 \times \frac{1}{3} - 1

\frac{3}{3} - 1

1 - 1

0

$- \frac{1}{3}$ शून्यक है।

p (\frac{2}{3})

3 (\frac{2}{3})^{2} - 1

3 \times \frac{2 ^{2}}{( 3 ) ^{2}} - 1

3 \times \frac{4}{3} - 1

\frac{12}{3} - 1

4 - 1

3

$p (\frac{2}{3}) = 3 \neq = 0$ ।

उत्तर:

- \frac{1}{3}

शून्यक है, पर

\frac{2}{3}

शून्यक नहीं है।

(viii)

p (x) = 2 x + 1, x = \frac{1}{2}

p (\frac{1}{2})

2 (\frac{1}{2}) + 1

\frac{2}{2} + 1

1 + 1

2

$2 \neq = 0$

उत्तर:

\frac{1}{2}

शून्यक नहीं है।

उत्तर:

(i) हाँ

(ii) नहीं

(iii) हाँ, दोनों

(iv) हाँ, दोनों

(v) हाँ

(vi) हाँ

(vii)

- \frac{1}{3}

हाँ,

\frac{2}{3}

नहीं

(viii) नहीं

प्रश्न 4

निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए:(i) $p (x) = x + 5$ (ii) $p (x) = x - 5$ (iii) $p (x) = 2 x + 5$ (iv) $p (x) = 3 x - 2$ (v) $p (x) = 3 x$ (vi) $p (x) = a x, a \neq = 0$ (vii) $p (x) = c x + d, c \neq = 0$ , c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।

सूत्र (शून्यक ज्ञात करना):

p (x) = 0

रखकर x का मान निकालें।

(i)

p (x) = x + 5

p (x)

0

x + 5

0

पक्षांतर: +5 दाएँ पक्ष में जाकर −5 हो जाता है।

x

- 5

उत्तर: शून्यक

- 5

(ii)

p (x) = x - 5

p (x)

0

x - 5

0

पक्षांतर: −5 दाएँ पक्ष में जाकर +5 हो जाता है।

x

5

उत्तर: शून्यक

5

(iii)

p (x) = 2 x + 5

p (x)

0

2 x + 5

0

पक्षांतर: +5 दाएँ पक्ष में जाकर −5 हो जाता है।

2 x

- 5

पक्षांतर: x का गुणक 2 दाएँ पक्ष में भाग बनकर जाता है।

x

- \frac{5}{2}

उत्तर: शून्यक

- \frac{5}{2}

(iv)

p (x) = 3 x - 2

p (x)

0

3 x - 2

0

पक्षांतर: −2 दाएँ पक्ष में जाकर +2 हो जाता है।

3 x

2

पक्षांतर: x का गुणक 3 दाएँ पक्ष में भाग बनकर जाता है।

x

\frac{2}{3}

उत्तर: शून्यक

\frac{2}{3}

(v)

p (x) = 3 x

p (x)

0

3 x

0

पक्षांतर: x का गुणक 3 दाएँ पक्ष में भाग बनकर जाता है।

x

\frac{0}{3}

x

0

उत्तर: शून्यक

0

(vi)

p (x) = a x, a \neq = 0

p (x)

0

a x

0

पक्षांतर: a ≠ 0 दाएँ पक्ष में भाग बनकर जाता है।

x

\frac{0}{a}

x

0

उत्तर: शून्यक 0

(vii)

p (x) = c x + d, c \neq = 0, c, d

वास्तविक संख्याएँ

p (x)

0

c x + d

0

पक्षांतर: +d दाएँ पक्ष में −d हो जाता है।

c x

- d

पक्षांतर: c ≠ 0 दाएँ पक्ष में भाग बनकर जाता है।

x

- \frac{d}{c}

उत्तर: शून्यक

- \frac{d}{c}

उत्तर:

(i)

- 5

(ii)

5

(iii)

- \frac{5}{2}

(iv)

\frac{2}{3}

(v)

0

(vi) 0

(vii)

- \frac{d}{c}

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 2 ‘बहुपद’ (NCERT पाठ्यपुस्तक, पुनर्मुद्रण 2025-26) के अनुसार है।