प्रश्नावली 2.1 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 2: बहुपद · 5 प्रश्न (एक चर वाले बहुपद)

प्रश्न 1

निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर में बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए:(i) $4 x^{2} - 3 x + 7$ (ii) $y^{2} + 2$ (iii) $3 t + t 2$ (iv) $y + \frac{2}{y}$ (v) $x^{10} + y^{3} + t^{50}$

सूत्र (एक चर में बहुपद): जिस व्यंजक में केवल एक चर हो और चर की हर घात एक पूर्ण संख्या (0, 1, 2, 3, …) हो, वह एक चर में बहुपद है।

(i)

4 x^{2} - 3 x + 7

चर केवल x है। घातें: $x^{2}$ में 2, $x = x^{1}$ में 1, और $7 = 7 x^{0}$ में 0 — सभी पूर्ण संख्याएँ।

उत्तर: हाँ, यह एक चर x में बहुपद है।

(ii)

y^{2} + 2

चर केवल y है। घातें: $y^{2}$ में 2 और $2 = 2 y^{0}$ में 0 — पूर्ण संख्याएँ।

$2$ गुणांक (अचर) है, चर नहीं; गुणांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है।

उत्तर: हाँ, यह एक चर y में बहुपद है।

(iii)

3 t + t 2

3 t

3 t^{\frac{1}{2}}

यहाँ t की घात $\frac{1}{2}$ है, जो पूर्ण संख्या नहीं है।

उत्तर: नहीं, यह बहुपद नहीं है।

(iv)

y + \frac{2}{y}

\frac{2}{y}

2 y^{- 1}

यहाँ y की घात −1 है, जो पूर्ण संख्या नहीं है।

उत्तर: नहीं, यह बहुपद नहीं है।

(v)

x^{10} + y^{3} + t^{50}

इसमें तीन चर x, y और t हैं।

उत्तर: नहीं, यह एक चर में बहुपद नहीं है (यह तीन चरों में बहुपद है)।

उत्तर:

(i) हाँ

(ii) हाँ

(iii) नहीं

(iv) नहीं

(v) नहीं, एक चर में नहीं

प्रश्न 2

निम्नलिखित में से प्रत्येक में $x^{2}$ का गुणांक लिखिए:(i) $2 + x^{2} + x$ (ii) $2 - x^{2} + x^{3}$ (iii) $\frac{π}{2} x^{2} + x$ (iv) $2 x - 1$

सूत्र (गुणांक):

x^{2}

का गुणांक वह संख्या है जो

x^{2}

से गुणा हो रही है (चिह्न सहित)।

(i)

2 + x^{2} + x

2 + x^{2} + x

2 + 1 \cdot x^{2} + x

उत्तर:

x^{2}

का गुणांक =

1

(ii)

2 - x^{2} + x^{3}

2 - x^{2} + x^{3}

2 + (- 1) \cdot x^{2} + x^{3}

उत्तर:

x^{2}

का गुणांक =

- 1

(iii)

\frac{π}{2} x^{2} + x

\frac{π}{2} x^{2} + x

\frac{π}{2} \cdot x^{2} + x

उत्तर:

x^{2}

का गुणांक =

\frac{π}{2}

(iv)

2 x - 1

2 x - 1

0 \cdot x^{2} + 2 x - 1

उत्तर:

x^{2}

का गुणांक =

0

उत्तर:

(i) 1

(ii) −1

(iii)

\frac{π}{2}

(iv) 0

प्रश्न 3

घात 35 वाले द्विपद का और घात 100 वाले एकपदी का एक-एक उदाहरण दीजिए।

सूत्र (परिभाषाएँ):

(1)द्विपद: जिस बहुपद में दो पद हों।

(2)एकपदी: जिस बहुपद में केवल एक पद हो।

(3)घात: चर की सबसे बड़ी घात।

घात 35 वाला द्विपद

दो पद चाहिए और सबसे बड़ी घात 35 हो, जैसे $x^{35}$ और $- 1$ :

द्विपद=

x^{35} - 1

घात 100 वाला एकपदी

एक ही पद चाहिए जिसकी घात 100 हो:

एकपदी=

y^{100}

उत्तर: घात 35 का द्विपद:

x^{35} - 1

; घात 100 का एकपदी:

y^{100}

(अन्य उदाहरण भी सही हैं)

प्रश्न 4

निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए:(i) $5 x^{3} + 4 x^{2} + 7 x$ (ii) $4 - y^{2}$ (iii) $5 t - 7$ (iv) $3$

सूत्र (बहुपद की घात): बहुपद के पदों में चर की सबसे बड़ी घात।

(i)

5 x^{3} + 4 x^{2} + 7 x

हर पद की घात: $5 x^{3} \to 3, 4 x^{2} \to 2, 7 x \to 1$

उत्तर: सबसे बड़ी घात 3, अतः घात = 3

(ii)

4 - y^{2}

हर पद की घात: $4 \to 0, - y^{2} \to 2$

उत्तर: सबसे बड़ी घात 2, अतः घात = 2

(iii)

5 t - 7

हर पद की घात: $5 t \to 1, - 7 \to 0$

उत्तर: सबसे बड़ी घात 1, अतः घात = 1

(iv)

3

हर पद की घात: $3 = 3 x^{0} \to 0$

उत्तर: सबसे बड़ी घात 0, अतः घात = 0

उत्तर:

(i) 3

(ii) 2

(iii) 1

(iv) 0

प्रश्न 5

निम्नलिखित को रैखिक, द्विघाती और त्रिघाती बहुपदों में वर्गीकृत कीजिए:(i) $x^{2} + x$ (ii) $x - x^{3}$ (iii) $y + y^{2} + 4$ (iv) $1 + x$ (v) $3 t$ (vi) $r^{2}$ (vii) $7 x^{3}$

सूत्र (वर्गीकरण (घात के अनुसार)):

(1)घात 1 → रैखिक बहुपद

(2)घात 2 → द्विघाती बहुपद

(3)घात 3 → त्रिघाती बहुपद

(i)

x^{2} + x

सबसे बड़ी घात = 2

उत्तर: द्विघाती

(ii)

x - x^{3}

सबसे बड़ी घात = 3

उत्तर: त्रिघाती

(iii)

y + y^{2} + 4

सबसे बड़ी घात = 2

उत्तर: द्विघाती

(iv)

1 + x

सबसे बड़ी घात = 1

उत्तर: रैखिक

(v)

3 t

सबसे बड़ी घात = 1

उत्तर: रैखिक

(vi)

r^{2}

सबसे बड़ी घात = 2

उत्तर: द्विघाती

(vii)

7 x^{3}

सबसे बड़ी घात = 3

उत्तर: त्रिघाती

उत्तर:

(i) द्विघाती

(ii) त्रिघाती

(iii) द्विघाती

(iv) रैखिक

(v) रैखिक

(vi) द्विघाती

(vii) त्रिघाती

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 2 ‘बहुपद’ (NCERT पाठ्यपुस्तक, पुनर्मुद्रण 2025-26) के अनुसार है।