प्रश्नावली 1.5 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 1: संख्या पद्धति · 3 प्रश्न (वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक-नियम)

प्रश्न 1

ज्ञात कीजिए:(i) $6 4^{\frac{1}{2}}$ (ii) $3 2^{\frac{1}{5}}$ (iii) $12 5^{\frac{1}{3}}$

(i)

6 4^{\frac{1}{2}}

64 के अभाज्य गुणनखंड:

2	64
2	32
2	16
2	8
2	4
2	2
	1

64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

64

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2

2^{6}

सूत्र (घातांक नियम):

(a^{m})^{n} = a^{mn}

6 4^{\frac{1}{2}}

(2^{6})^{\frac{1}{2}}

2^{6 \times \frac{1}{2}}

2^{3}

8

(ii)

3 2^{\frac{1}{5}}

32 के अभाज्य गुणनखंड:

2	32
2	16
2	8
2	4
2	2
	1

32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2

32

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2

2^{5}

सूत्र (घातांक नियम):

(a^{m})^{n} = a^{mn}

3 2^{\frac{1}{5}}

(2^{5})^{\frac{1}{5}}

2^{5 \times \frac{1}{5}}

2^{1}

2

(iii)

12 5^{\frac{1}{3}}

125 के अभाज्य गुणनखंड:

5	125
5	25
5	5
	1

125 = 5 × 5 × 5

125

5 \times 5 \times 5

5^{3}

सूत्र (घातांक नियम):

(a^{m})^{n} = a^{mn}

12 5^{\frac{1}{3}}

(5^{3})^{\frac{1}{3}}

5^{3 \times \frac{1}{3}}

5^{1}

5

उत्तर:

(i) 8

(ii) 2

(iii) 5

प्रश्न 2

ज्ञात कीजिए:(i) $9^{\frac{3}{2}}$ (ii) $3 2^{\frac{2}{5}}$ (iii) $1 6^{\frac{3}{4}}$ (iv) $12 5^{- \frac{1}{3}}$

(i)

9^{\frac{3}{2}}

9 के अभाज्य गुणनखंड:

3	9
3	3
	1

9 = 3 × 3

9

3 \times 3

3^{2}

सूत्र (घातांक नियम):

(a^{m})^{n} = a^{mn}

9^{\frac{3}{2}}

(3^{2})^{\frac{3}{2}}

3^{2 \times \frac{3}{2}}

3^{3}

3 \times 3 \times 3

27

(ii)

3 2^{\frac{2}{5}}

32 के अभाज्य गुणनखंड:

2	32
2	16
2	8
2	4
2	2
	1

32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2

32

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2

2^{5}

सूत्र (घातांक नियम):

(a^{m})^{n} = a^{mn}

3 2^{\frac{2}{5}}

(2^{5})^{\frac{2}{5}}

2^{5 \times \frac{2}{5}}

2^{2}

2 \times 2

4

(iii)

1 6^{\frac{3}{4}}

16 के अभाज्य गुणनखंड:

2	16
2	8
2	4
2	2
	1

16 = 2 × 2 × 2 × 2

16

2 \times 2 \times 2 \times 2

2^{4}

सूत्र (घातांक नियम):

(a^{m})^{n} = a^{mn}

1 6^{\frac{3}{4}}

(2^{4})^{\frac{3}{4}}

2^{4 \times \frac{3}{4}}

2^{3}

2 \times 2 \times 2

8

(iv)

12 5^{- \frac{1}{3}}

125 के अभाज्य गुणनखंड:

5	125
5	25
5	5
	1

125 = 5 × 5 × 5

125

5 \times 5 \times 5

5^{3}

सूत्र (घातांक नियम):

(a^{m})^{n} = a^{mn}

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

12 5^{- \frac{1}{3}}

(5^{3})^{- \frac{1}{3}}

5^{3 \times (- \frac{1}{3})}

5^{- 1}

\frac{1}{5}

उत्तर:

(i) 27

(ii) 4

(iii) 8

(iv)

\frac{1}{5}

प्रश्न 3

सरल कीजिए:(i) $2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$ (ii) $(\frac{1}{3 ^{3}})^{7}$ (iii) $\frac{1 1 ^{\frac{1}{2}}}{1 1 ^{\frac{1}{4}}}$ (iv) $7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}$

(i)

2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}

सूत्र (घातांक नियम):

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}

2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{5}}

2^{\frac{2 \times 5 + 1 \times 3}{15}}

2^{\frac{10 + 3}{15}}

2^{\frac{13}{15}}

(ii)

(\frac{1}{3 ^{3}})^{7}

सूत्र (घातांक नियम):

\frac{1}{a ^{n}} = a^{- n}

(a^{m})^{n} = a^{mn}

(\frac{1}{3 ^{3}})^{7}

(3^{- 3})^{7}

3^{- 3 \times 7}

3^{- 21}

(iii)

\frac{1 1 ^{\frac{1}{2}}}{1 1 ^{\frac{1}{4}}}

सूत्र (घातांक नियम):

\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}

\frac{1 1 ^{\frac{1}{2}}}{1 1 ^{\frac{1}{4}}}

1 1^{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}}

1 1^{\frac{2 - 1}{4}}

1 1^{\frac{1}{4}}

(iv)

7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}

सूत्र (घातांक नियम):

a^{m} \cdot b^{m} = (ab)^{m}

7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}

(7 \times 8)^{\frac{1}{2}}

5 6^{\frac{1}{2}}

कर्णी रूप में सरल करने के लिए 56 के गुणनखंड:

56 के अभाज्य गुणनखंड:

2	56
2	28
2	14
7	7
	1

56 = 2 × 2 × 2 × 7

5 6^{\frac{1}{2}}

56

2 \times 2 \times 2 \times 7

(2 \times 2) \times 14

214

उत्तर:

(i)

2^{\frac{13}{15}}

(ii)

3^{- 21}

(iii)

1 1^{\frac{1}{4}}

(iv)

5 6^{\frac{1}{2}} = 214

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 1 ‘संख्या पद्धति’ (NCERT पाठ्यपुस्तक, पुनर्मुद्रण 2025-26) के अनुसार है।