प्रश्नावली 1.4 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 1: संख्या पद्धति · 5 प्रश्न (वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाएँ)

प्रश्न 1

बताइए नीचे दी गई संख्याओं में कौन-कौन परिमेय हैं और कौन-कौन अपरिमेय हैं:(i) $2 - 5$ (ii) $(3 + 23) - 23$ (iii) $\frac{2 7}{7 7}$ (iv) $\frac{1}{2}$ (v) $2 π$

सूत्र (नियम):

(1)परिमेय ± अपरिमेय = अपरिमेय

(2)शून्येतर परिमेय × या ÷ अपरिमेय = अपरिमेय

(3)दो अपरिमेय संख्याओं का योग/अंतर/गुणनफल/भागफल परिमेय भी हो सकता है और अपरिमेय भी

(i)

2 - 5

2 परिमेय और $5$ अपरिमेय है (5 पूर्ण वर्ग नहीं)।

उत्तर: अपरिमेय (परिमेय − अपरिमेय)

(ii)

(3 + 23) - 23

(3 + 23) - 23

3 + 23 - 23

3

उत्तर: परिमेय

(iii)

\frac{2 7}{7 7}

\frac{2 7}{7 7}

\frac{2}{7}

$7$ अंश और हर दोनों में है, इसलिए कट जाता है।

उत्तर: परिमेय

(iv)

\frac{1}{2}

1 परिमेय और $2$ अपरिमेय है।

\frac{1}{2}

0.7071 \dots

उत्तर: अपरिमेय

(v)

2 π

2 परिमेय और π अपरिमेय है।

उत्तर: अपरिमेय (शून्येतर परिमेय × अपरिमेय)

उत्तर:

(i) अपरिमेय

(ii) परिमेय

(iii) परिमेय

(iv) अपरिमेय

(v) अपरिमेय

प्रश्न 2

निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक व्यंजक को सरल कीजिए:(i) $(3 + 3) (2 + 2)$ (ii) $(3 + 3) (3 - 3)$ (iii) $(5 + 2)^{2}$ (iv) $(5 - 2) (5 + 2)$

सूत्र (कर्णी गुणन):

a \times b = ab

a \times a = a

(i)

पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद से दूसरे कोष्ठक को गुणा करते हैं:

(3 + 3) (2 + 2)

3 (2 + 2) + 3 (2 + 2)

3 \times 2 + 3 \times 2 + 3 \times 2 + 3 \times 2

6 + 32 + 23 + 6

उत्तर:

6 + 32 + 23 + 6

(ii)

(3 + 3) (3 - 3)

3 (3 - 3) + 3 (3 - 3)

3 \times 3 - 3 \times 3 + 3 \times 3 - 3 \times 3

9 - 33 + 33 - 3

6

सर्वसमिका $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ से जाँच: $3^{2} - (3)^{2} = 9 - 3 = 6$ ✔

उत्तर: 6

(iii)

(5 + 2)^{2}

(5 + 2) (5 + 2)

5 (5 + 2) + 2 (5 + 2)

5 \times 5 + 5 \times 2 + 2 \times 5 + 2 \times 2

5 + 10 + 10 + 2

7 + 210

सर्वसमिका $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ से जाँच: $5 + 210 + 2 = 7 + 210$ ✔

उत्तर:

7 + 210

(iv)

(5 - 2) (5 + 2)

5 (5 + 2) - 2 (5 + 2)

5 \times 5 + 5 \times 2 - 2 \times 5 - 2 \times 2

5 + 10 - 10 - 2

3

सर्वसमिका $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ से जाँच: $5 - 2 = 3$ ✔

उत्तर: 3

उत्तर:

(i)

6 + 32 + 23 + 6

(ii) 6

(iii)

7 + 210

(iv) 3

प्रश्न 3

आपको याद होगा कि π को एक वृत्त की परिधि (मान लीजिए c) और उसके व्यास (मान लीजिए d) के अनुपात से परिभाषित किया जाता है, अर्थात $π = \frac{c}{d}$ है। यह इस तथ्य का अंतर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि π अपरिमेय है। इस अंतर्विरोध का निराकरण आप किस प्रकार करेंगे?

सूत्र (π की परिभाषा):

π = \frac{c}{d}

(c = परिधि, d = व्यास)

यहाँ कोई अंतर्विरोध नहीं है। परिमेय संख्या के लिए $\frac{p}{q}$ में p और q दोनों पूर्णांक होने चाहिए। किसी वृत्त में c और d दोनों एक साथ पूर्णांक नहीं हो सकते — यदि व्यास d परिमेय है तो परिधि c अपरिमेय होगी, और यदि c परिमेय है तो d अपरिमेय होगा।

जब हम पैमाने या धागे से c और d नापते हैं, तो वे केवल सन्निकट (लगभग) मान होते हैं, इसलिए $\frac{22}{7}$ या 3.14 भी π का सन्निकट मान ही है, सटीक मान नहीं।

उत्तर: π = c/d में c और d दोनों पूर्णांक नहीं होते (कम-से-कम एक अपरिमेय होता है), इसलिए π अपरिमेय है; नापकर मिला अनुपात केवल सन्निकट परिमेय मान है।

प्रश्न 4

संख्या रेखा पर $9.3$ को निरूपित कीजिए।

ज्ञात है

संख्या

9.3

ज्ञात करना है

संख्या रेखा पर

9.3

का निरूपण

रचना के चरण:

1. एक रेखा पर बिंदु A से AB = 9.3 इकाई अंकित कीजिए। B से आगे BC = 1 इकाई अंकित कीजिए। अतः AC = 9.3 + 1 = 10.3 इकाई।

2. AC का मध्य-बिंदु O ज्ञात कीजिए (AC का लंब समद्विभाजक खींचकर)।

O A

OC

\frac{10.3}{2}

5.15

इकाई

3. O को केंद्र और OC (= 5.15) को त्रिज्या मानकर अर्धवृत्त खींचिए।

4. B पर AC के लंबवत रेखा खींचिए, जो अर्धवृत्त को D पर काटती है। तब $B D = 9.3$ ।

सिद्ध करना कि $B D = 9.3$ :

O D

=त्रिज्या=

5.15

OB

OC - BC

5.15 - 1

4.15

सूत्र (पाइथागोरस प्रमेय): समकोण

△ OB D

में

O D^{2} = O B^{2} + B D^{2}

BD² को अकेला रखने के लिए OB² को पक्षांतर करते हैं:

पक्षांतर: बाएँ पक्ष का +OB² दाएँ पक्ष में −OB² बन जाता है।

B D^{2}

O D^{2} - O B^{2}

सूत्र (सर्वसमिका):

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

B D^{2}

(5.15)^{2} - (4.15)^{2}

(5.15 + 4.15) (5.15 - 4.15)

9.3 \times 1

9.3

B D

9.3

5. BC को संख्या रेखा मानें, जिसमें B = 0 और C = 1 है। B को केंद्र और BD त्रिज्या लेकर चाप खींचिए, जो संख्या रेखा को E पर काटता है।

BE

B D

9.3

आकृति: √9.3 का निरूपण — AB = 9.3, BC = 1, O मध्य-बिंदु, BD ⊥ AC, BD = BE = √9.3

उत्तर: संख्या रेखा पर बिंदु E, संख्या

9.3

को निरूपित करता है (

9.3 \approx 3.05

)।

प्रश्न 5

निम्नलिखित के हरों का परिमेयकरण कीजिए:(i) $\frac{1}{7}$ (ii) $\frac{1}{7 - 6}$ (iii) $\frac{1}{5 + 2}$ (iv) $\frac{1}{7 - 2}$

सूत्र (हर का परिमेयकरण): हर में

a

हो तो

a

से;

a \pm b

हो तो उसके संयुग्मी

a \mp b

से अंश और हर को गुणा करें।

(i)

\frac{1}{7}

\frac{1}{7}

\frac{1}{7} \times \frac{7}{7}

\frac{7}{7 \times 7}

\frac{7}{7}

उत्तर:

\frac{7}{7}

(ii)

\frac{1}{7 - 6}

हर का संयुग्मी $7 + 6$ है।

सूत्र (सर्वसमिका):

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

\frac{1}{7 - 6}

\frac{1}{7 - 6} \times \frac{7 + 6}{7 + 6}

\frac{7 + 6}{( 7 ) ^{2} - ( 6 ) ^{2}}

\frac{7 + 6}{7 - 6}

7 + 6

उत्तर:

7 + 6

(iii)

\frac{1}{5 + 2}

हर का संयुग्मी $5 - 2$ है।

सूत्र (सर्वसमिका):

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

\frac{1}{5 + 2}

\frac{1}{5 + 2} \times \frac{5 - 2}{5 - 2}

\frac{5 - 2}{( 5 ) ^{2} - ( 2 ) ^{2}}

\frac{5 - 2}{5 - 2}

\frac{5 - 2}{3}

उत्तर:

\frac{5 - 2}{3}

(iv)

\frac{1}{7 - 2}

हर का संयुग्मी $7 + 2$ है।

सूत्र (सर्वसमिका):

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

\frac{1}{7 - 2}

\frac{1}{7 - 2} \times \frac{7 + 2}{7 + 2}

\frac{7 + 2}{( 7 ) ^{2} - 2 ^{2}}

\frac{7 + 2}{7 - 4}

\frac{7 + 2}{3}

उत्तर:

\frac{7 + 2}{3}

उत्तर:

(i)

\frac{7}{7}

(ii)

7 + 6

(iii)

\frac{5 - 2}{3}

(iv)

\frac{7 + 2}{3}

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यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 1 ‘संख्या पद्धति’ (NCERT पाठ्यपुस्तक, पुनर्मुद्रण 2025-26) के अनुसार है।