प्रश्नावली 1.2 के हल

कक्षा 9 गणित · अध्याय 1: संख्या पद्धति · 4 प्रश्न (अपरिमेय संख्याएँ)

प्रश्न 1

नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए।(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिंदु $m$ के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है।(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।

याद रखें: वास्तविक संख्याएँ = सभी परिमेय संख्याएँ + सभी अपरिमेय संख्याएँ। संख्या रेखा का प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या है।

(i)

उत्तर: सत्य

वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों आती हैं, इसलिए हर अपरिमेय संख्या वास्तविक है।

(ii)

उत्तर: असत्य

ऋणात्मक संख्याएँ किसी प्राकृत संख्या का (धनात्मक) वर्गमूल नहीं हो सकतीं। उदाहरण: संख्या रेखा का बिंदु −3 किसी $m$ के बराबर नहीं है।

(iii)

उत्तर: असत्य

उदाहरण: 2 वास्तविक संख्या है, पर परिमेय है (अपरिमेय नहीं)।

उत्तर:

(i) सत्य

(ii) असत्य

(iii) असत्य

प्रश्न 2

क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं? यदि नहीं, तो एक ऐसी संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो एक परिमेय संख्या है।

नहीं। जिस धनात्मक पूर्णांक के अभाज्य गुणनखंड जोड़ों में बँट जाते हैं (पूर्ण वर्ग), उसका वर्गमूल परिमेय होता है। उदाहरण:

4 के अभाज्य गुणनखंड:

2	4
2	2
	1

4 = 2 × 2

4

2 \times 2

(2 \times 2)

2

9 के अभाज्य गुणनखंड:

3	9
3	3
	1

9 = 3 × 3

9

3 \times 3

(3 \times 3)

3

4 और 9 पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए इनके वर्गमूल 2 और 3 परिमेय हैं। जबकि $2$ , $3$ जैसे वर्गमूल अपरिमेय हैं।

उत्तर: नहीं, सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते। उदाहरण:

4 = 2

एक परिमेय संख्या है।

प्रश्न 3

दिखाइए कि संख्या रेखा पर $5$ को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है।

ज्ञात है

संख्या

5

ज्ञात करना है

संख्या रेखा पर

5

का निरूपण

सबसे पहले 5 को दो वर्गों के योग के रूप में लिखते हैं:

5

4 + 1

2^{2} + 1^{2}

रचना के चरण:

1. संख्या रेखा पर बिंदु O को 0 मानकर, O से दाईं ओर 2 इकाई पर बिंदु A अंकित कीजिए। अतः OA = 2 इकाई।

2. A पर OA के लंबवत 1 इकाई लंबा रेखाखंड AB खींचिए। अतः $∠ O A B = 9 0^{\circ}$ ।

3. O और B को मिलाइए।

सूत्र (पाइथागोरस प्रमेय): समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²

समकोण $△ O A B$ में:

O B^{2}

O A^{2} + A B^{2}

2^{2} + 1^{2}

4 + 1

5

OB

5

4. O को केंद्र मानकर OB त्रिज्या का चाप खींचिए, जो संख्या रेखा को O के दाईं ओर बिंदु P पर काटता है।

OP

OB

5

आकृति: संख्या रेखा पर √5 का निरूपण (OA = 2, AB = 1, OB = OP = √5)

उत्तर: संख्या रेखा पर बिंदु P, संख्या

5

को निरूपित करता है (

5 \approx 2.236

, यह 2 और 3 के बीच है)।

प्रश्न 4

कक्षा के लिए क्रियाकलाप (वर्गमूल सर्पिल की रचना): कागज़ की एक बड़ी शीट लीजिए और नीचे दी गई विधि से ‘वर्गमूल सर्पिल’ (square root spiral) की रचना कीजिए। सबसे पहले एक बिंदु O लीजिए और एकक लंबाई का रेखाखंड OP₁ खींचिए। एकक लंबाई वाले OP₁ पर लंब रेखाखंड P₁P₂ खींचिए। अब OP₂ पर लंब रेखाखंड P₂P₃ खींचिए। तब OP₃ पर लंब रेखाखंड P₃P₄ खींचिए। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए OPₙ₋₁ पर एकक लंबाई वाला लंब रेखाखंड खींचकर आप रेखाखंड Pₙ₋₁Pₙ प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रकार आप बिंदु O, P₁, P₂, P₃, …, Pₙ, … प्राप्त कर लेंगे और उन्हें मिलाकर $2, 3, 4, \dots$ को दर्शाने वाला एक सुंदर सर्पिल प्राप्त कर लेंगे।

रचना के चरण:

1. एक बिंदु O लीजिए और 1 इकाई लंबा रेखाखंड OP₁ खींचिए।

2. P₁ पर OP₁ के लंबवत 1 इकाई लंबा रेखाखंड P₁P₂ खींचिए। O और P₂ को मिलाइए।

3. P₂ पर OP₂ के लंबवत 1 इकाई का P₂P₃ खींचिए, फिर P₃ पर OP₃ के लंबवत P₃P₄, … इसी प्रकार आगे बढ़ते जाइए।

सूत्र (पाइथागोरस प्रमेय): समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²

समकोण $△ O P_{1} P_{2}$ में:

O P_{2}

O P_{1}^{2} + P_{1} P_{2}^{2}

1^{2} + 1^{2}

2

समकोण $△ O P_{2} P_{3}$ में:

O P_{3}

O P_{2}^{2} + P_{2} P_{3}^{2}

(2)^{2} + 1^{2}

2 + 1

3

समकोण $△ O P_{3} P_{4}$ में:

O P_{4}

(3)^{2} + 1^{2}

4

2 \times 2

2

इसी प्रकार हर बार 1 जुड़ता है:

O P_{n}

(n - 1)^{2} + 1^{2}

n

आकृति: वर्गमूल सर्पिल — OP₁ = 1, OP₂ = √2, OP₃ = √3, …, OP₈ = √8 = 2√2

उत्तर: बिंदुओं O, P₁, P₂, P₃, … को क्रम से मिलाने पर वर्गमूल सर्पिल बनता है, जिसमें

O P_{2} = 2, O P_{3} = 3, O P_{4} = 2, \dots, O P_{n} = n

।

← प्रश्नावली 1.1 प्रश्नावली 1.3 →

यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 9 गणित की पाठ्यपुस्तक के अध्याय 1 ‘संख्या पद्धति’ (NCERT पाठ्यपुस्तक, पुनर्मुद्रण 2025-26) के अनुसार है।