प्रश्नावली 10.2 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 10: वृत्त · 13 प्रश्न (बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ)

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7 प्र. 8 प्र. 9 प्र. 10 प्र. 11 प्र. 12 प्र. 13

प्रश्न 1

एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm तथा Q की केंद्र से दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या है: (A) 7 cm (B) 12 cm (C) 15 cm (D) 24.5 cm

OP ⊥ PQ

सूत्र (प्रमेय 10.1): वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।

समकोण ΔOPQ में:

O Q^{2}

O P^{2} + P Q^{2}

2 5^{2}

r^{2} + 2 4^{2}

r^{2}

625 - 576

r^{2}

49

r

7 cm

जाँच:

$7^{2} + 2 4^{2} = 49 + 576 = 625 = 2 5^{2}$ ✔

उत्तर: (A) 7 cm

प्रश्न 2

यदि TP और TQ केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 110°, तो ∠PTQ बराबर है: (A) 60° (B) 70° (C) 80° (D) 90°

TP और TQ स्पर्श रेखाएँ

OP ⊥ TP और OQ ⊥ TQ, इसलिए ∠OPT = ∠OQT = 90°। चतुर्भुज OPTQ के कोणों का योग 360° है:

∠ PTQ + 9 0^{\circ} + 11 0^{\circ} + 9 0^{\circ}

36 0^{\circ}

∠ PTQ

36 0^{\circ} - 29 0^{\circ}

∠ PTQ

7 0^{\circ}

जाँच:

$7 0^{\circ} + 11 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ (संपूरक, जैसा प्र.10 में सिद्ध है) ✔

उत्तर: (B) 70°

प्रश्न 3

यदि एक बिंदु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA बराबर है: (A) 50° (B) 60° (C) 70° (D) 80°

PA और PB स्पर्श रेखाएँ

चतुर्भुज OAPB में ∠OAP = ∠OBP = 90°, इसलिए

∠ A OB

36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 8 0^{\circ}

∠ A OB

10 0^{\circ}

ΔOAP ≅ ΔOBP (OA = OB, PA = PB, OP उभयनिष्ठ; SSS), इसलिए OP, ∠AOB को समद्विभाजित करती है:

∠ PO A

\frac{10 0 ^{\circ}}{2}

∠ PO A

5 0^{\circ}

जाँच (ΔOAP के कोण):

$9 0^{\circ} + 5 0^{\circ} + 4 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ ✔

उत्तर: (A) 50°

प्रश्न 4

सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।

AB व्यास, PQ और RS स्पर्श रेखाएँ

दिया है

केंद्र O वाले वृत्त का व्यास AB; A पर स्पर्श रेखा PQ और B पर स्पर्श रेखा RS

सिद्ध करना है

PQ ∥ RS

उपपत्ति:

OA ⊥ PQ, इसलिए ∠OAQ = 90° …(1)

(प्रमेय 10.1)

OB ⊥ RS, इसलिए ∠OBR = 90° …(2)

(प्रमेय 10.1)

(1) और (2) से ∠BAQ = ∠ABR = 90°

(AB रेखा पर ही O है)

ये AB तिर्यक रेखा के एकांतर कोण हैं और बराबर हैं, अतः PQ ∥ RS

(एकांतर कोण बराबर हों तो रेखाएँ समांतर)

इति सिद्धम्

प्रश्न 5

सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।

AB स्पर्श रेखा, P स्पर्श बिंदु

दिया है

केंद्र O वाले वृत्त की P पर स्पर्श रेखा AB; P पर AB का लंब PX

सिद्ध करना है

PX केंद्र O से होकर जाता है

उपपत्ति:

मान लीजिए लंब PX केंद्र O से न जाकर किसी अन्य बिंदु Q से जाता है। तब ∠QPB = 90° …(1)

(कल्पना)

OP त्रिज्या है और AB स्पर्श रेखा है, इसलिए ∠OPB = 90° …(2)

(प्रमेय 10.1)

(1) और (2) से ∠QPB = ∠OPB, अर्थात् भाग, संपूर्ण के बराबर हो गया

यह तभी संभव है जब Q और O एक ही हों, अतः P पर स्पर्श रेखा का लंब केंद्र O से होकर जाता है

इति सिद्धम्

प्रश्न 6

केंद्र से 5 cm की दूरी पर स्थित एक बिंदु A से किसी वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

AP स्पर्श रेखा

OP ⊥ AP, इसलिए समकोण ΔOPA में:

O A^{2}

O P^{2} + A P^{2}

5^{2}

r^{2} + 4^{2}

r^{2}

25 - 16

r^{2}

9

r

3 cm

जाँच:

$3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$ ✔

उत्तर: वृत्त की त्रिज्या 3 cm है।

प्रश्न 7

दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।

AB बड़े वृत्त की जीवा, छोटे वृत्त को P पर छूती है

मान लीजिए बड़े वृत्त की जीवा AB छोटे वृत्त को P पर छूती है। OP = 3 cm, OB = 5 cm।

OP ⊥ AB, इसलिए समकोण ΔOPB में:

O B^{2}

O P^{2} + P B^{2}

P B^{2}

25 - 9

P B^{2}

16

PB

4 cm

केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए AP = PB:

A B

2 \times PB

2 \times 4

8 cm

जाँच:

$3^{2} + 4^{2} = 25 = 5^{2}$ ✔

उत्तर: जीवा की लंबाई 8 cm है।

प्रश्न 8

एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है। सिद्ध कीजिए: AB + CD = AD + BC

P, Q, R, S स्पर्श बिंदु

दिया है

चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ AB, BC, CD, DA वृत्त को क्रमशः P, Q, R, S पर छूती हैं

सिद्ध करना है

AB + CD = AD + BC

सूत्र (प्रमेय 10.2): बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

उपपत्ति:

AP = AS, BP = BQ, CR = CQ, DR = DS …(1)

(बाह्य बिंदु से खींची स्पर्श रेखाएँ बराबर)

AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD)

= AS + BQ + CQ + DS

((1) से)

= (AS + DS) + (BQ + CQ)

(पुनर्व्यवस्थित करने पर)

= AD + BC

इति सिद्धम्

प्रश्न 9

आकृति में XY तथा X′Y′, O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिंदु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X′Y′ को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠AOB = 90° है।

XY ∥ X′Y′; AB, C पर स्पर्श रेखा

दिया है

XY और X′Y′ समांतर स्पर्श रेखाएँ (स्पर्श बिंदु P, Q); C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A पर और X′Y′ को B पर काटती है

सिद्ध करना है

∠AOB = 90°

उपपत्ति:

ΔOPA और ΔOCA में: OP = OC (त्रिज्याएँ), AP = AC (बाह्य बिंदु A से स्पर्श रेखाएँ), OA उभयनिष्ठ

ΔOPA ≅ ΔOCA, अतः ∠PAO = ∠CAO, अर्थात् ∠OAB = ½∠PAB …(1)

(SSS, सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

इसी प्रकार ΔOQB ≅ ΔOCB, अतः ∠OBA = ½∠QBA …(2)

XY ∥ X′Y′ और AB तिर्यक रेखा है, इसलिए ∠PAB + ∠QBA = 180° …(3)

(तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण)

(1), (2), (3) से ∠OAB + ∠OBA = ½ × 180° = 90°

ΔAOB में ∠AOB = 180° − (∠OAB + ∠OBA) = 180° − 90° = 90°

(त्रिभुज के कोणों का योग 180°)

इति सिद्धम्

प्रश्न 10

सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक है।

PA और PB स्पर्श रेखाएँ

दिया है

केंद्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु P से स्पर्श रेखाएँ PA और PB

सिद्ध करना है

∠APB + ∠AOB = 180°

उपपत्ति:

OA ⊥ PA और OB ⊥ PB, इसलिए ∠OAP = ∠OBP = 90°

(प्रमेय 10.1)

चतुर्भुज OAPB में ∠OAP + ∠APB + ∠OBP + ∠AOB = 360°

(चतुर्भुज के कोणों का योग)

90° + ∠APB + 90° + ∠AOB = 360°

∠APB + ∠AOB = 180°

अतः स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक है

इति सिद्धम्

प्रश्न 11

सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत बना समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।

समांतर चतुर्भुज ABCD वृत्त के परिगत

दिया है

समांतर चतुर्भुज ABCD एक वृत्त के परिगत है

सिद्ध करना है

ABCD एक समचतुर्भुज है

उपपत्ति:

प्र.8 की भाँति, परिगत चतुर्भुज में AB + CD = AD + BC …(1)

(बाह्य बिंदुओं से स्पर्श रेखाएँ बराबर)

समांतर चतुर्भुज में AB = CD और AD = BC …(2)

(सम्मुख भुजाएँ बराबर)

(1) और (2) से 2AB = 2BC, अर्थात् AB = BC

अतः AB = BC = CD = DA

चारों भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए ABCD समचतुर्भुज है

इति सिद्धम्

प्रश्न 12

4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिंदु D द्वारा BC विभाजित है) की लंबाइयाँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।

BD = 8 cm, DC = 6 cm, r = 4 cm

मान लीजिए अंतःवृत्त AB को F और AC को E पर छूता है तथा AF = AE = x cm।

बाह्य बिंदुओं से स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं:

BF

B D = 8 cm

CE

C D = 6 cm

इसलिए भुजाएँ:

A B

x + 8

A C

x + 6

BC

14

s

\frac{( x + 8 ) + ( x + 6 ) + 14}{2}

x + 14

सूत्र (क्षेत्रफल):

(1)

Δ = r \times s

(अंतःत्रिज्या × अर्धपरिमाप)

(2)

Δ = s (s - a) (s - b) (s - c)

(हीरोन)

(1) से:

Δ

4 (x + 14)

(2) से:

Δ

(x + 14) \cdot x \cdot 6 \cdot 8

48 x (x + 14)

दोनों को बराबर रखकर वर्ग करने पर:

16 (x + 14)^{2}

48 x (x + 14)

16 (x + 14)

48 x

x + 14

3 x

2 x

14

x

7

A B

7 + 8 = 15 cm

A C

7 + 6 = 13 cm

जाँच:

$s = 21, 21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8 = 7056 = 84 = 4 \times 21$ ✔

उत्तर: AB = 15 cm, AC = 13 cm

प्रश्न 13

सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।

P, Q, R, S स्पर्श बिंदु

दिया है

चतुर्भुज ABCD केंद्र O वाले वृत्त के परिगत है; स्पर्श बिंदु P, Q, R, S

सिद्ध करना है

∠AOB + ∠COD = 180° और ∠AOD + ∠BOC = 180°

उपपत्ति:

OP, OQ, OR, OS को मिलाइए। ΔOAP ≅ ΔOAS (OP = OS, AP = AS, OA उभयनिष्ठ), अतः ∠AOP = ∠AOS = ∠1 (मान लीजिए)

(SSS)

इसी प्रकार ∠BOP = ∠BOQ = ∠2, ∠COQ = ∠COR = ∠3, ∠DOR = ∠DOS = ∠4

केंद्र O पर सभी कोणों का योग: 2(∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4) = 360°, अर्थात् ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180° …(1)

(एक बिंदु पर कोणों का योग 360°)

∠AOB = ∠1 + ∠2 और ∠COD = ∠3 + ∠4

(1) से ∠AOB + ∠COD = 180°

इसी प्रकार ∠AOD + ∠BOC = (∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠3) = 180°

इति सिद्धम्

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।