प्रश्नावली 7.2 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 7: निर्देशांक ज्यामिति · 10 प्रश्न (विभाजन सूत्र)

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7 प्र. 8 प्र. 9 प्र. 10

प्रश्न 1

उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं (−1, 7) और (4, −3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

सूत्र (विभाजन सूत्र): बिंदु P जो

A (x_{1}, y_{1})

और

B (x_{2}, y_{2})

को

m_{1} : m_{2}

में अंतःविभाजित करे:

(1)

x = \frac{m _{1} x _{2} + m _{2} x _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(2)

y = \frac{m _{1} y _{2} + m _{2} y _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(3)मध्य-बिंदु:

(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

A(−1, 7), B(4, −3), $m_{1} : m_{2} = 2 : 3$

x

\frac{2 \times 4 + 3 \times ( - 1 )}{2 + 3}

\frac{5}{5}

1

y

\frac{2 \times ( - 3 ) + 3 \times 7}{2 + 3}

\frac{15}{5}

3

उत्तर: अभीष्ट बिंदु (1, 3) है।

प्रश्न 2

बिंदुओं (4, −1) और (−2, −3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

सूत्र (विभाजन सूत्र): बिंदु P जो

A (x_{1}, y_{1})

और

B (x_{2}, y_{2})

को

m_{1} : m_{2}

में अंतःविभाजित करे:

(1)

x = \frac{m _{1} x _{2} + m _{2} x _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(2)

y = \frac{m _{1} y _{2} + m _{2} y _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(3)मध्य-बिंदु:

(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

A(4, −1), B(−2, −3)। सम-त्रिभाजन बिंदु P और Q रेखाखंड को 1 : 2 और 2 : 1 में बाँटते हैं।

P (1 : 2)

x

\frac{1 \times ( - 2 ) + 2 \times 4}{1 + 2}

\frac{6}{3}

2

y

\frac{1 \times ( - 3 ) + 2 \times ( - 1 )}{1 + 2}

\frac{- 5}{3}

- \frac{5}{3}

Q (2 : 1)

x

\frac{2 \times ( - 2 ) + 1 \times 4}{2 + 1}

\frac{0}{3}

0

y

\frac{2 \times ( - 3 ) + 1 \times ( - 1 )}{2 + 1}

\frac{- 7}{3}

- \frac{7}{3}

जाँच:

PQ का मध्य-बिंदु AB के मध्य-बिंदु के बराबर होना चाहिए: $(\frac{2 + 0}{2}, \frac{- \frac{5}{3} - \frac{7}{3}}{2}) = (1, - 2)$ और $(\frac{4 - 2}{2}, \frac{- 1 - 3}{2}) = (1, - 2)$ ✔

उत्तर: सम-त्रिभाजन बिंदु:

(i)

(2, - \frac{5}{3})

(ii)

(0, - \frac{7}{3})

प्रश्न 3

आपके स्कूल में खेलकूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1 m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1 m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 1/4 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1/5 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड़ देती है। दोनों झंडों के बीच की दूरी कितनी है? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी पर गाड़ना हो, तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए?

सूत्र (विभाजन सूत्र): बिंदु P जो

A (x_{1}, y_{1})

और

B (x_{2}, y_{2})

को

m_{1} : m_{2}

में अंतःविभाजित करे:

(1)

x = \frac{m _{1} x _{2} + m _{2} x _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(2)

y = \frac{m _{1} y _{2} + m _{2} y _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(3)मध्य-बिंदु:

(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

हरी झंडी G(2, 25), लाल झंडी R(8, 20), नीली झंडी B मध्य-बिंदु

A को मूल-बिंदु, AB को x-अक्ष (पंक्तियाँ) और AD को y-अक्ष (गमले, 1 m के अंतर पर, कुल 100 m) लीजिए।

निहारिका:

\frac{1}{4} \times 100

25 m

दूसरी पंक्ति पर, इसलिए हरी झंडी G(2, 25)

प्रीत:

\frac{1}{5} \times 100

20 m

आठवीं पंक्ति पर, इसलिए लाल झंडी R(8, 20)

सूत्र (दूरी सूत्र):

PQ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

GR

(8 - 2)^{2} + (20 - 25)^{2}

6^{2} + (- 5)^{2}

36 + 25

61

नीली झंडी GR के मध्य-बिंदु पर:

B

(\frac{2 + 8}{2}, \frac{25 + 20}{2})

(5, 22.5)

उत्तर:

(i) दोनों झंडियों के बीच की दूरी √61 m है।

(ii) नीली झंडी पाँचवीं पंक्ति पर AD की दिशा में 22.5 m की दूरी पर लगानी चाहिए।

प्रश्न 4

बिंदुओं (−3, 10) और (6, −8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु (−1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है?

सूत्र (विभाजन सूत्र): बिंदु P जो

A (x_{1}, y_{1})

और

B (x_{2}, y_{2})

को

m_{1} : m_{2}

में अंतःविभाजित करे:

(1)

x = \frac{m _{1} x _{2} + m _{2} x _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(2)

y = \frac{m _{1} y _{2} + m _{2} y _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(3)मध्य-बिंदु:

(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

मान लीजिए P(−1, 6) बिंदुओं A(−3, 10) और B(6, −8) को k : 1 में बाँटता है।

\frac{6 k - 3}{k + 1}

- 1

6 k - 3

- k - 1

7 k

2

k

\frac{2}{7}

अतः अनुपात $\frac{2}{7} : 1$ = 2 : 7

जाँच (y-निर्देशांक से):

y

\frac{2 \times ( - 8 ) + 7 \times 10}{2 + 7}

\frac{54}{9}

6

y = 6 ✔

उत्तर: अनुपात 2 : 7 (अंतःविभाजन)

प्रश्न 5

वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें A(1, −5) और B(−4, 5) को मिलाने वाला रेखाखंड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

सूत्र (विभाजन सूत्र): बिंदु P जो

A (x_{1}, y_{1})

और

B (x_{2}, y_{2})

को

m_{1} : m_{2}

में अंतःविभाजित करे:

(1)

x = \frac{m _{1} x _{2} + m _{2} x _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(2)

y = \frac{m _{1} y _{2} + m _{2} y _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(3)मध्य-बिंदु:

(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

मान लीजिए x-अक्ष, A(1, −5) और B(−4, 5) को k : 1 में बाँटता है। x-अक्ष पर y = 0 होता है।

\frac{5 k - 5}{k + 1}

0

5 k - 5

0

k

1

अनुपात 1 : 1, अर्थात् x-अक्ष AB को समद्विभाजित करता है।

x

\frac{1 \times ( - 4 ) + 1 \times 1}{2}

- \frac{3}{2}

उत्तर:

(i) अनुपात 1 : 1

(ii) विभाजन बिंदु

(- \frac{3}{2}, 0)

प्रश्न 6

यदि (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5), इसी क्रम में लिए जाने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।

सूत्र (विभाजन सूत्र): बिंदु P जो

A (x_{1}, y_{1})

और

B (x_{2}, y_{2})

को

m_{1} : m_{2}

में अंतःविभाजित करे:

(1)

x = \frac{m _{1} x _{2} + m _{2} x _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(2)

y = \frac{m _{1} y _{2} + m _{2} y _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(3)मध्य-बिंदु:

(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

मान लीजिए A(1, 2), B(4, y), C(x, 6), D(3, 5)। समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं, इसलिए AC का मध्य-बिंदु = BD का मध्य-बिंदु।

(\frac{1 + x}{2}, \frac{2 + 6}{2})

(\frac{4 + 3}{2}, \frac{y + 5}{2})

x-निर्देशांक बराबर रखने पर:

1 + x

7

x

6

y-निर्देशांक बराबर रखने पर:

8

y + 5

y

3

जाँच:

AC का मध्य-बिंदु (3.5, 4), BD का मध्य-बिंदु (3.5, 4) ✔

उत्तर:

(i) x = 6

(ii) y = 3

प्रश्न 7

बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2, −3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।

सूत्र (विभाजन सूत्र): बिंदु P जो

A (x_{1}, y_{1})

और

B (x_{2}, y_{2})

को

m_{1} : m_{2}

में अंतःविभाजित करे:

(1)

x = \frac{m _{1} x _{2} + m _{2} x _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(2)

y = \frac{m _{1} y _{2} + m _{2} y _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(3)मध्य-बिंदु:

(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

केंद्र O(2, −3) व्यास AB का मध्य-बिंदु है, B(1, 4)। मान लीजिए A(x, y)।

\frac{x + 1}{2}

2

x

3

\frac{y + 4}{2}

- 3

y

- 10

जाँच:

A(3, −10) और B(1, 4) का मध्य-बिंदु $(\frac{4}{2}, \frac{- 6}{2}) = (2, - 3)$ ✔

उत्तर: A के निर्देशांक (3, −10) हैं।

प्रश्न 8

यदि A और B क्रमशः (−2, −2) और (2, −4) हों तो बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = (3/7) AB हो और P रेखाखंड AB पर स्थित हो।

सूत्र (विभाजन सूत्र): बिंदु P जो

A (x_{1}, y_{1})

और

B (x_{2}, y_{2})

को

m_{1} : m_{2}

में अंतःविभाजित करे:

(1)

x = \frac{m _{1} x _{2} + m _{2} x _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(2)

y = \frac{m _{1} y _{2} + m _{2} y _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(3)मध्य-बिंदु:

(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

A(−2, −2), B(2, −4) और $A P = \frac{3}{7} A B$ , इसलिए $PB = \frac{4}{7} A B$ , अर्थात् AP : PB = 3 : 4

x

\frac{3 \times 2 + 4 \times ( - 2 )}{3 + 4}

\frac{- 2}{7}

- \frac{2}{7}

y

\frac{3 \times ( - 4 ) + 4 \times ( - 2 )}{3 + 4}

\frac{- 20}{7}

- \frac{20}{7}

उत्तर: P के निर्देशांक

(- \frac{2}{7}, - \frac{20}{7})

हैं।

प्रश्न 9

A(−2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

सूत्र (विभाजन सूत्र): बिंदु P जो

A (x_{1}, y_{1})

और

B (x_{2}, y_{2})

को

m_{1} : m_{2}

में अंतःविभाजित करे:

(1)

x = \frac{m _{1} x _{2} + m _{2} x _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(2)

y = \frac{m _{1} y _{2} + m _{2} y _{1}}{m _{1} + m _{2}}

(3)मध्य-बिंदु:

(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

A(−2, 2), B(2, 8)। बिंदु P, Q, R रेखाखंड को चार बराबर भागों में बाँटते हैं: Q, AB का मध्य-बिंदु; P, AQ का मध्य-बिंदु; R, QB का मध्य-बिंदु।

Q

(\frac{- 2 + 2}{2}, \frac{2 + 8}{2})

(0, 5)

P

(\frac{- 2 + 0}{2}, \frac{2 + 5}{2})

(- 1, \frac{7}{2})

R

(\frac{0 + 2}{2}, \frac{5 + 8}{2})

(1, \frac{13}{2})

उत्तर:

(i) P

(- 1, \frac{7}{2})

(ii) Q (0, 5)

(iii) R

(1, \frac{13}{2})

प्रश्न 10

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष इसी क्रम में (3, 0), (4, 5), (−1, 4) और (−2, −1) हैं। [संकेत: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 (उसके विकर्णों का गुणनफल)]

सूत्र (दूरी सूत्र):

PQ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

सूत्र (समचतुर्भुज का क्षेत्रफल):

\frac{1}{2} \times d_{1} \times d_{2}

(d₁, d₂ विकर्ण)

A(3, 0), B(4, 5), C(−1, 4), D(−2, −1)

A C

(- 1 - 3)^{2} + (4 - 0)^{2}

(- 4)^{2} + 4^{2}

16 + 16

32

42

B D

(- 2 - 4)^{2} + (- 1 - 5)^{2}

(- 6)^{2} + (- 6)^{2}

36 + 36

72

62

क्षेत्रफल=

\frac{1}{2} \times 42 \times 62

\frac{1}{2} \times 24 \times 2

24

उत्तर: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग मात्रक है।

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।