प्रश्नावली 7.1 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 7: निर्देशांक ज्यामिति · 10 प्रश्न (दूरी सूत्र)

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7 प्र. 8 प्र. 9 प्र. 10

प्रश्न 1

बिंदुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए:(i) (2, 3), (4, 1)(ii) (−5, 7), (−1, 3)(iii) (a, b), (−a, −b)

सूत्र (दूरी सूत्र):

PQ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

(i)

मान लीजिए A(2, 3) और B(4, 1)

A B

(4 - 2)^{2} + (1 - 3)^{2}

2^{2} + (- 2)^{2}

4 + 4

8

22

(ii)

मान लीजिए A(−5, 7) और B(−1, 3)

A B

(- 1 - (- 5))^{2} + (3 - 7)^{2}

4^{2} + (- 4)^{2}

16 + 16

32

42

(iii)

मान लीजिए A(a, b) और B(−a, −b)

A B

(- a - a)^{2} + (- b - b)^{2}

(- 2 a)^{2} + (- 2 b)^{2}

4 a^{2} + 4 b^{2}

2 a^{2} + b^{2}

उत्तर:

(i)

22

इकाई

(ii)

42

इकाई

(iii)

2 a^{2} + b^{2}

इकाई

प्रश्न 2

बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?

सूत्र (दूरी सूत्र):

PQ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

मान लीजिए O(0, 0) और P(36, 15)

OP

(36 - 0)^{2} + (15 - 0)^{2}

1296 + 225

1521

39

अनुच्छेद 7.2 में शहर A को (0, 0) पर और शहर B को (36, 15) पर लिया गया है (दूरी km में), इसलिए दोनों शहरों के बीच की दूरी भी 39 km है।

उत्तर:

(i) दूरी 39 इकाई

(ii) हाँ, दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी 39 km है।

प्रश्न 3

निर्धारित कीजिए कि क्या बिंदु (1, 5), (2, 3) और (−2, −11) संरेख हैं।

सूत्र (दूरी सूत्र):

PQ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

मान लीजिए A(1, 5), B(2, 3) और C(−2, −11)। तीनों बिंदु संरेख होंगे, यदि किन्हीं दो दूरियों का योग तीसरी दूरी के बराबर हो।

A B

(2 - 1)^{2} + (3 - 5)^{2}

1^{2} + (- 2)^{2}

1 + 4

5

BC

(- 2 - 2)^{2} + (- 11 - 3)^{2}

(- 4)^{2} + (- 14)^{2}

16 + 196

212

253

A C

(- 2 - 1)^{2} + (- 11 - 5)^{2}

(- 3)^{2} + (- 16)^{2}

9 + 256

265

सन्निकट मान: $A B \approx 2.24, BC \approx 14.56, A C \approx 16.28$

A B + BC

2.24 + 14.56

16.80

$16.80 \neq = 16.28$ , अर्थात् $A B + BC \neq = A C$ ; अन्य दो योग भी तीसरी दूरी के बराबर नहीं हैं ( $A B + A C \neq = BC, BC + A C \neq = A B$ )।

उत्तर: बिंदु (1, 5), (2, 3) और (−2, −11) संरेख नहीं हैं।

प्रश्न 4

जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (5, −2), (6, 4) और (7, −2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

सूत्र (दूरी सूत्र):

PQ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

मान लीजिए A(5, −2), B(6, 4) और C(7, −2)

A B

(6 - 5)^{2} + (4 - (- 2))^{2}

1^{2} + 6^{2}

1 + 36

37

BC

(7 - 6)^{2} + (- 2 - 4)^{2}

1^{2} + (- 6)^{2}

1 + 36

37

A C

(7 - 5)^{2} + (- 2 - (- 2))^{2}

2^{2} + 0^{2}

4 + 0

4

2

AB = BC = $37$ , अर्थात् दो भुजाएँ बराबर हैं।

उत्तर: हाँ, बिंदु (5, −2), (6, 4) और (7, −2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

प्रश्न 5

एक कक्षा में, 4 मित्र बिंदुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है (A(3, 4), B(6, 7), C(9, 4), D(6, 1))। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, 'क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?' चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है।

सूत्र (दूरी सूत्र):

PQ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

आकृति से चारों मित्रों की स्थितियाँ: A(3, 4), B(6, 7), C(9, 4) और D(6, 1)

A B

(6 - 3)^{2} + (7 - 4)^{2}

3^{2} + 3^{2}

9 + 9

18

32

BC

(9 - 6)^{2} + (4 - 7)^{2}

3^{2} + (- 3)^{2}

9 + 9

18

32

C D

(6 - 9)^{2} + (1 - 4)^{2}

(- 3)^{2} + (- 3)^{2}

9 + 9

18

32

D A

(3 - 6)^{2} + (4 - 1)^{2}

(- 3)^{2} + 3^{2}

9 + 9

18

32

विकर्ण:

A C

(9 - 3)^{2} + (4 - 4)^{2}

6^{2} + 0^{2}

36 + 0

36

6

B D

(6 - 6)^{2} + (1 - 7)^{2}

0^{2} + (- 6)^{2}

0 + 36

36

6

चारों भुजाएँ बराबर हैं और दोनों विकर्ण बराबर हैं, अतः ABCD एक वर्ग है।

उत्तर: चंपा सही है; ABCD एक वर्ग है।

प्रश्न 6

निम्नलिखित बिंदुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए:(i) (−1, −2), (1, 0), (−1, 2), (−3, 0)(ii) (−3, 5), (3, 1), (0, 3), (−1, −4)(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

सूत्र (दूरी सूत्र):

PQ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

(i)

A(−1, −2), B(1, 0), C(−1, 2), D(−3, 0)

A B

(1 - (- 1))^{2} + (0 - (- 2))^{2}

2^{2} + 2^{2}

4 + 4

8

22

BC

(- 1 - 1)^{2} + (2 - 0)^{2}

(- 2)^{2} + 2^{2}

4 + 4

8

22

C D

(- 3 - (- 1))^{2} + (0 - 2)^{2}

(- 2)^{2} + (- 2)^{2}

4 + 4

8

22

D A

(- 1 - (- 3))^{2} + (- 2 - 0)^{2}

2^{2} + (- 2)^{2}

4 + 4

8

22

A C

(- 1 - (- 1))^{2} + (2 - (- 2))^{2}

0^{2} + 4^{2}

0 + 16

16

4

B D

(- 3 - 1)^{2} + (0 - 0)^{2}

(- 4)^{2} + 0^{2}

16 + 0

16

4

चारों भुजाएँ बराबर और दोनों विकर्ण बराबर, अतः वर्ग।

(ii)

A(−3, 5), B(3, 1), C(0, 3), D(−1, −4)

A B

(3 - (- 3))^{2} + (1 - 5)^{2}

6^{2} + (- 4)^{2}

36 + 16

52

213

A C

(0 - (- 3))^{2} + (3 - 5)^{2}

3^{2} + (- 2)^{2}

9 + 4

13

CB

(3 - 0)^{2} + (1 - 3)^{2}

3^{2} + (- 2)^{2}

9 + 4

13

A C + CB

13 + 13

213

A B

अतः A, C, B संरेख हैं, इसलिए इन चार बिंदुओं से कोई चतुर्भुज नहीं बनता।

(iii)

A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3), D(1, 2)

A B

(7 - 4)^{2} + (6 - 5)^{2}

3^{2} + 1^{2}

9 + 1

10

BC

(4 - 7)^{2} + (3 - 6)^{2}

(- 3)^{2} + (- 3)^{2}

9 + 9

18

32

C D

(1 - 4)^{2} + (2 - 3)^{2}

(- 3)^{2} + (- 1)^{2}

9 + 1

10

D A

(4 - 1)^{2} + (5 - 2)^{2}

3^{2} + 3^{2}

9 + 9

18

32

A C

(4 - 4)^{2} + (3 - 5)^{2}

0^{2} + (- 2)^{2}

0 + 4

4

2

B D

(1 - 7)^{2} + (2 - 6)^{2}

(- 6)^{2} + (- 4)^{2}

36 + 16

52

213

सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं, पर विकर्ण बराबर नहीं, अतः समांतर चतुर्भुज।

उत्तर:

(i) वर्ग

(ii) कोई चतुर्भुज नहीं बनता (A, C, B संरेख हैं)

(iii) समांतर चतुर्भुज

प्रश्न 7

x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, −5) और (−2, 9) से समदूरस्थ है।

सूत्र (दूरी सूत्र):

PQ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

x-अक्ष पर बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है। मान लीजिए वह बिंदु P(x, 0) है, A(2, −5) और B(−2, 9)।

PA = PB, इसलिए $P A^{2} = P B^{2}$

(x - 2)^{2} + (0 + 5)^{2}

(x + 2)^{2} + (0 - 9)^{2}

x^{2} - 4 x + 4 + 25

x^{2} + 4 x + 4 + 81

- 4 x - 4 x

85 - 29

- 8 x

56

x

- 7

जाँच:

P A^{2}

(- 7 - 2)^{2} + 5^{2}

81 + 25

106

P B^{2}

(- 7 + 2)^{2} + (- 9)^{2}

25 + 81

106

PA = PB ✔

उत्तर: अभीष्ट बिंदु (−7, 0) है।

प्रश्न 8

y का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु P(2, −3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।

सूत्र (दूरी सूत्र):

PQ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

P(2, −3), Q(10, y) और PQ = 10

(10 - 2)^{2} + (y + 3)^{2}

10

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

64 + (y + 3)^{2}

100

(y + 3)^{2}

36

y + 3

\pm 6

दोनों स्थितियाँ अलग पंक्ति में:

y

6 - 3 = 3

y

- 6 - 3 = - 9

जाँच:

y = 3: $64 + (3 + 3)^{2} = 100 = 10$ ✔

y = −9: $64 + (- 9 + 3)^{2} = 100 = 10$ ✔

उत्तर: y = 3 या y = −9

प्रश्न 9

यदि Q(0, 1) बिंदुओं P(5, −3) और R(x, 6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।

सूत्र (दूरी सूत्र):

PQ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

Q(0, 1), P(5, −3), R(x, 6) और QP = QR, इसलिए $Q P^{2} = Q R^{2}$

(5 - 0)^{2} + (- 3 - 1)^{2}

(x - 0)^{2} + (6 - 1)^{2}

25 + 16

x^{2} + 25

x^{2}

16

x

\pm 4

अतः R(4, 6) या R(−4, 6)।

QR

41

QP

25 + 16

41

R(4, 6) के लिए:

PR

(4 - 5)^{2} + (6 - (- 3))^{2}

(- 1)^{2} + 9^{2}

1 + 81

82

R(−4, 6) के लिए:

PR

(- 4 - 5)^{2} + (6 - (- 3))^{2}

(- 9)^{2} + 9^{2}

81 + 81

162

92

उत्तर:

(i) x = 4 या x = −4

(ii) QR = √41

(iii) PR = √82 (जब x = 4) या PR = 9√2 (जब x = −4)

प्रश्न 10

x और y में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु (x, y) बिंदुओं (3, 6) और (−3, 4) से समदूरस्थ हो।

सूत्र (दूरी सूत्र):

PQ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

मान लीजिए P(x, y), A(3, 6) और B(−3, 4)। PA = PB, इसलिए $P A^{2} = P B^{2}$

P A^{2}

(x - 3)^{2} + (y - 6)^{2}

x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} - 12 y + 36

P B^{2}

(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2}

x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} - 8 y + 16

PA² = PB² रखकर दोनों पक्षों से $x^{2} + y^{2} + 9$ हटाने पर

- 6 x - 12 y + 36

6 x - 8 y + 16

- 12 x - 4 y + 20

0

दोनों पक्षों को −4 से भाग देने पर

3 x + y - 5

0

जाँच:

AB का मध्य-बिंदु (0, 5) दोनों से समदूरस्थ है: $3 (0) + 5 - 5 = 0$ ✔

उत्तर: x और y में संबंध: 3x + y − 5 = 0

← अध्याय 7 प्रश्नावली 7.2 →

यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।