प्रश्नावली 2.2 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 2: बहुपद · 2 प्रश्न

प्रश्न 1

निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए: (i) $x^{2} - 2 x - 8$ (ii) $4 s^{2} - 4 s + 1$ (iii) $6 x^{2} - 3 - 7 x$ (iv) $4 u^{2} + 8 u$ (v) $t^{2} - 15$ (vi) $3 x^{2} - x - 4$

सूत्र (शून्यक और गुणांकों में संबंध):

a x^{2} + b x + c

के शून्यक

α

और

β

हों, तो

α + β = - \frac{b}{a}

और

α β = \frac{c}{a}

(i)

x^{2} - 2 x - 8

ज्ञात है

p (x) = x^{2} - 2 x - 8

ज्ञात करना है

शून्यक, तथा शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता

मध्य पद विभाजन: $a \times c = 1 \times (- 8) = - 8$ ; ऐसी दो संख्याएँ जिनका गुणनफल −8 और योग −2 हो: −4 और 2

x^{2} - 2 x - 8

x^{2} - 4 x + 2 x - 8

x (x - 4) + 2 (x - 4)

(x - 4) (x + 2)

शून्यक के लिए p(x) = 0 रखने पर $(x - 4) (x + 2) = 0$

x - 4

0

x

4

x + 2

0

x

- 2

अतः शून्यक 4 और −2 हैं।

शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच:

यहाँ $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = - 8$ तथा $α = 4$ , $β = - 2$

α + β

4 + (- 2)

2

- \frac{b}{a}

- \frac{( - 2 )}{1}

2

अतः $α + β = - \frac{b}{a}$ ✔

α β

4 \times (- 2)

- 8

\frac{c}{a}

\frac{- 8}{1}

- 8

अतः $α β = \frac{c}{a}$ ✔

(ii)

4 s^{2} - 4 s + 1

ज्ञात है

p (s) = 4 s^{2} - 4 s + 1

ज्ञात करना है

शून्यक तथा संबंध की सत्यता

मध्य पद विभाजन: $a \times c = 4 \times 1 = 4$ ; गुणनफल 4 और योग −4 वाली संख्याएँ: −2 और −2

4 s^{2} - 4 s + 1

4 s^{2} - 2 s - 2 s + 1

2 s (2 s - 1) - 1 (2 s - 1)

(2 s - 1) (2 s - 1)

p(s) = 0 रखने पर $(2 s - 1) (2 s - 1) = 0$

2 s - 1

0

2 s

1

s

\frac{1}{2}

अतः दोनों शून्यक $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{2}$ हैं।

शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच:

यहाँ $a = 4$ , $b = - 4$ , $c = 1$ तथा $α = \frac{1}{2}$ , $β = \frac{1}{2}$

α + β

\frac{1}{2} + \frac{1}{2}

\frac{2}{2}

1

- \frac{b}{a}

- \frac{( - 4 )}{4}

1

अतः $α + β = - \frac{b}{a}$ ✔

α β

\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

\frac{c}{a}

\frac{1}{4}

अतः $α β = \frac{c}{a}$ ✔

(iii)

6 x^{2} - 3 - 7 x

ज्ञात है

p (x) = 6 x^{2} - 3 - 7 x

ज्ञात करना है

शून्यक तथा संबंध की सत्यता

मानक रूप में लिखने पर

p (x)

6 x^{2} - 7 x - 3

मध्य पद विभाजन: $a \times c = 6 \times (- 3) = - 18$ ; गुणनफल −18 और योग −7 वाली संख्याएँ: −9 और 2

6 x^{2} - 7 x - 3

6 x^{2} - 9 x + 2 x - 3

3 x (2 x - 3) + 1 (2 x - 3)

(2 x - 3) (3 x + 1)

p(x) = 0 रखने पर $(2 x - 3) (3 x + 1) = 0$

2 x - 3

0

2 x

3

x

\frac{3}{2}

3 x + 1

0

3 x

- 1

x

- \frac{1}{3}

अतः शून्यक $\frac{3}{2}$ और $- \frac{1}{3}$ हैं।

शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच:

यहाँ $a = 6$ , $b = - 7$ , $c = - 3$ तथा $α = \frac{3}{2}$ , $β = - \frac{1}{3}$

α + β

\frac{3}{2} + (- \frac{1}{3})

\frac{9 - 2}{6}

\frac{7}{6}

- \frac{b}{a}

- \frac{( - 7 )}{6}

\frac{7}{6}

अतः $α + β = - \frac{b}{a}$ ✔

α β

\frac{3}{2} \times (- \frac{1}{3})

- \frac{3}{6}

- \frac{1}{2}

\frac{c}{a}

\frac{- 3}{6}

- \frac{1}{2}

अतः $α β = \frac{c}{a}$ ✔

(iv)

4 u^{2} + 8 u

ज्ञात है

p (u) = 4 u^{2} + 8 u

ज्ञात करना है

शून्यक तथा संबंध की सत्यता

यहाँ अचर पद नहीं है (c = 0), इसलिए उभयनिष्ठ गुणनखंड 4u बाहर निकालेंगे।

4 u^{2} + 8 u

4 u (u + 2)

p(u) = 0 रखने पर $4 u (u + 2) = 0$

4 u

0

u

0

u + 2

0

u

- 2

अतः शून्यक 0 और −2 हैं।

शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच:

यहाँ $a = 4$ , $b = 8$ , $c = 0$ तथा $α = 0$ , $β = - 2$

α + β

0 + (- 2)

- 2

- \frac{b}{a}

- \frac{8}{4}

- 2

अतः $α + β = - \frac{b}{a}$ ✔

α β

0 \times (- 2)

0

\frac{c}{a}

\frac{0}{4}

0

अतः $α β = \frac{c}{a}$ ✔

(v)

t^{2} - 15

ज्ञात है

p (t) = t^{2} - 15

ज्ञात करना है

शून्यक तथा संबंध की सत्यता

सूत्र (सर्वसमिका):

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

15 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए $15 = (15)^{2}$ लिखेंगे।

t^{2} - 15

t^{2} - (15)^{2}

(t - 15) (t + 15)

p(t) = 0 रखने पर $(t - 15) (t + 15) = 0$

t - 15

0

t

15

t + 15

0

t

- 15

अतः शून्यक $15$ और $- 15$ हैं।

शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच:

यहाँ $a = 1$ , $b = 0$ , $c = - 15$ तथा $α = 15$ , $β = - 15$

α + β

15 + (- 15)

0

- \frac{b}{a}

- \frac{0}{1}

0

अतः $α + β = - \frac{b}{a}$ ✔

α β

15 \times (- 15)

- (15)^{2}

- 15

\frac{c}{a}

\frac{- 15}{1}

- 15

अतः $α β = \frac{c}{a}$ ✔

(vi)

3 x^{2} - x - 4

ज्ञात है

p (x) = 3 x^{2} - x - 4

ज्ञात करना है

शून्यक तथा संबंध की सत्यता

मध्य पद विभाजन: $a \times c = 3 \times (- 4) = - 12$ ; गुणनफल −12 और योग −1 वाली संख्याएँ: −4 और 3

3 x^{2} - x - 4

3 x^{2} - 4 x + 3 x - 4

x (3 x - 4) + 1 (3 x - 4)

(3 x - 4) (x + 1)

p(x) = 0 रखने पर $(3 x - 4) (x + 1) = 0$

3 x - 4

0

3 x

4

x

\frac{4}{3}

x + 1

0

x

- 1

अतः शून्यक $\frac{4}{3}$ और −1 हैं।

शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच:

यहाँ $a = 3$ , $b = - 1$ , $c = - 4$ तथा $α = \frac{4}{3}$ , $β = - 1$

α + β

\frac{4}{3} + (- 1)

\frac{4 - 3}{3}

\frac{1}{3}

- \frac{b}{a}

- \frac{( - 1 )}{3}

\frac{1}{3}

अतः $α + β = - \frac{b}{a}$ ✔

α β

\frac{4}{3} \times (- 1)

- \frac{4}{3}

\frac{c}{a}

\frac{- 4}{3}

- \frac{4}{3}

अतः $α β = \frac{c}{a}$ ✔

उत्तर: (i) 4, −2 (ii)

\frac{1}{2}, \frac{1}{2}

(iii)

\frac{3}{2}, - \frac{1}{3}

(iv) 0, −2 (v)

15, - 15

(vi)

\frac{4}{3}

, −1

प्रश्न 2

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं: (i) $\frac{1}{4}, - 1$ (ii) $2, \frac{1}{3}$ (iii) $0, 5$ (iv) 1, 1 (v) $- \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ (vi) 4, 1

सूत्र (द्विघात बहुपद बनाना): यदि शून्यकों का योग S और गुणनफल P हो, तो

p (x) = k [x^{2} - S x + P]

, जहाँ k शून्येतर अचर है।

(i)

ज्ञात है

शून्यकों का योग

S = \frac{1}{4}

, गुणनफल

P = - 1

ज्ञात करना है

द्विघात बहुपद

p (x)

x^{2} - (\frac{1}{4}) x + (- 1)

x^{2} - \frac{x}{4} - 1

भिन्न हटाने के लिए k = 4 लेकर सभी पदों को 4 से गुणा करने पर

p (x)

4 (x^{2} - \frac{x}{4} - 1)

4 x^{2} - x - 4

अतः अभीष्ट द्विघात बहुपद $4 x^{2} - x - 4$ है।

(ii)

ज्ञात है

शून्यकों का योग

S = 2

, गुणनफल

P = \frac{1}{3}

ज्ञात करना है

द्विघात बहुपद

p (x)

x^{2} - 2 x + \frac{1}{3}

भिन्न हटाने के लिए k = 3 लेकर सभी पदों को 3 से गुणा करने पर

p (x)

3 (x^{2} - 2 x + \frac{1}{3})

3 x^{2} - 32 x + 1

अतः अभीष्ट द्विघात बहुपद $3 x^{2} - 32 x + 1$ है।

(iii)

ज्ञात है

शून्यकों का योग

S = 0

, गुणनफल

P = 5

ज्ञात करना है

द्विघात बहुपद

p (x)

x^{2} - 0 \cdot x + 5

p (x)

x^{2} + 5

अतः अभीष्ट द्विघात बहुपद $x^{2} + 5$ है।

(iv)

ज्ञात है

शून्यकों का योग

S = 1

, गुणनफल

P = 1

ज्ञात करना है

द्विघात बहुपद

p (x)

x^{2} - 1 \cdot x + 1

p (x)

x^{2} - x + 1

अतः अभीष्ट द्विघात बहुपद $x^{2} - x + 1$ है।

(v)

ज्ञात है

शून्यकों का योग

S = - \frac{1}{4}

, गुणनफल

P = \frac{1}{4}

ज्ञात करना है

द्विघात बहुपद

p (x)

x^{2} - (- \frac{1}{4}) x + \frac{1}{4}

x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{4}

भिन्न हटाने के लिए k = 4 लेकर सभी पदों को 4 से गुणा करने पर

p (x)

4 (x^{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{4})

4 x^{2} + x + 1

अतः अभीष्ट द्विघात बहुपद $4 x^{2} + x + 1$ है।

(vi)

ज्ञात है

शून्यकों का योग

S = 4

, गुणनफल

P = 1

ज्ञात करना है

द्विघात बहुपद

p (x)

x^{2} - 4 x + 1

अतः अभीष्ट द्विघात बहुपद $x^{2} - 4 x + 1$ है।

उत्तर: (i)

4 x^{2} - x - 4

, (ii)

3 x^{2} - 32 x + 1

, (iii)

x^{2} + 5

, (iv)

x^{2} - x + 1

, (v)

4 x^{2} + x + 1

, (vi)

x^{2} - 4 x + 1

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