कक्षा 10 गणित (स्टैंडर्ड) — माशिमं आधिकारिक मॉडल प्रश्नपत्र 2026-27 का हल

सभी 23 प्रश्न, हर उपप्रश्न और हर “अथवा” प्रश्न का चरणबद्ध हल — चित्र सहित, हिंदी माध्यम

प्रश्नपत्र स्रोत: माध्यमिक शिक्षा मंडल, मध्यप्रदेश (mpbse.nic.in) का आधिकारिक नमूना प्रश्नपत्र 2026-27; हल educationdew.com द्वारा।
हाई स्कूल परीक्षा 2027 · विषय: गणित (स्टैंडर्ड) · कुल प्रश्न 23 · पूर्णांक 75 · समय 3 घंटे

खंड अ — वस्तुनिष्ठ प्रश्नप्रश्न 1 से 5 · प्रत्येक उपप्रश्न 1 अंक · 30 अंक

प्रश्न 1

सही विकल्प चुनकर लिखिए : (1×6 = 6)

(i)

7 और 5 का समांतर माध्य है :

(a) 1(b) 12(c) 6 ✔(d) 35

सूत्र (समांतर माध्य): दो संख्याओं

a

और

b

का समांतर माध्य

= \frac{a + b}{2}

समांतर माध्य=

\frac{7 + 5}{2}

\frac{12}{2}

6

उत्तर: (c) 6

(ii)

\frac{1 - tan ^{2} 4 5 ^{\circ}}{1 + tan ^{2} 4 5 ^{\circ}} =

(a) 0 ✔(b) 2(c) -2(d) -1

सूत्र (त्रिकोणमितीय मान):

tan 4 5^{\circ} = 1

\frac{1 - tan ^{2} 4 5 ^{\circ}}{1 + tan ^{2} 4 5 ^{\circ}}

\frac{1 - ( 1 ) ^{2}}{1 + ( 1 ) ^{2}}

\frac{1 - 1}{1 + 1}

\frac{0}{2}

0

उत्तर: (a) 0

(iii)

रैखिक समीकरणों के एक युग्म

2 x - 3 y = 5

और

6 x - 9 y - 15 = 0

द्वारा निरूपित रेखाएँ परस्पर :

(a) प्रतिच्छेदी है।(b) समांतर है।(c) संपाती है। ✔(d) लंबवत है।

सूत्र (संपाती रेखाएँ):

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}

हो तो रेखाएँ संपाती होती हैं।

पहला समीकरण: $2 x - 3 y - 5 = 0$ (5 का पक्षांतर करके), दूसरा: $6 x - 9 y - 15 = 0$

\frac{a _{1}}{a _{2}}

\frac{2}{6}

\frac{1}{3}

\frac{b _{1}}{b _{2}}

\frac{- 3}{- 9}

\frac{1}{3}

\frac{c _{1}}{c _{2}}

\frac{- 5}{- 15}

\frac{1}{3}

तीनों अनुपात बराबर हैं, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं।

उत्तर: (c) संपाती है।

(iv)

द्विघात समीकरण

x^{2} - 3 x + 4 = 0

का विविक्तकर है :

(a) 25(b) -25(c) 7(d) -7 ✔

सूत्र (विविक्तकर):

D = b^{2} - 4 a c

$a = 1, b = - 3, c = 4$

D

(- 3)^{2} - 4 \times 1 \times 4

9 - 16

- 7

उत्तर: (d) -7

(v)

एक बाह्य बिंदु से एक वृत्त पर अधिकतम कितनी स्पर्श रेखाएँ खींचीं जा सकती हैं?

(a) 1(b) 4(c) अनंत(d) 2 ✔

वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

उत्तर: (d) 2

(vi)

त्रिज्या

r

वाले वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल है :

(a)

4 π r^{2}

(b)

\frac{1}{4} π r^{2}

✔(c)

2 π r^{2}

(d)

\frac{3}{4} π r^{2}

चतुर्थांश = वृत्त का चौथाई भाग (केंद्र पर कोण 90°)।

चतुर्थांश का क्षेत्रफल=

\frac{9 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}

\frac{1}{4} π r^{2}

उत्तर: (b)

\frac{1}{4} π r^{2}

प्रश्न 2

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए : (1×6 = 6)

(i)

cot^{2} 3 0^{\circ} =

……………

सूत्र (त्रिकोणमितीय मान):

cot 3 0^{\circ} = 3

cot^{2} 3 0^{\circ}

(3)^{2}

3

उत्तर: 3

(ii)

घात तीन के बहुपद को …………… बहुपद कहते हैं।

जिस बहुपद की घात 3 हो, जैसे $x^{3} - 2 x + 1$ , वह त्रिघात बहुपद है।

उत्तर: त्रिघात

(iii)

वह घटना जिसका केवल एक ही परिणाम हो एक …………… घटना कहलाती है।

केवल एक परिणाम वाली घटना को प्रारंभिक (प्राथमिक) घटना कहते हैं।

उत्तर: प्रारंभिक

(iv)

द्विघात समीकरण का मानक रूप …………… है।

उत्तर:

a x^{2} + b x + c = 0

, जहाँ

a \neq = 0

(v)

समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ …………… होती हैं।

समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर और संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में होती हैं।

उत्तर: समानुपाती (एक ही अनुपात में)

(vi)

वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर …………… होती है।

उत्तर: लंब (लंबवत)

प्रश्न 3

निम्नलिखित में सत्य/असत्य लिखिए : (1×6 = 6)

(i)

किसी वृत्त के लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल उसके संगत लघु वृत्तखंड के क्षेत्रफल से अधिक होता है।

लघु त्रिज्यखंड=लघु वृत्तखंड

+

त्रिभुज

इसलिए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल वृत्तखंड से अधिक होता है।

उत्तर: सत्य

(ii)

द्विघात बहुपद का ग्राफ एक परवलय होता है।

$y = a x^{2} + b x + c$ का ग्राफ ऊपर या नीचे खुलने वाला वक्र (परवलय) होता है।

उत्तर: सत्य

(iii)

दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के आश्रित युग्म का एक अद्वितीय हल होता है।

आश्रित युग्म की रेखाएँ संपाती होती हैं, इसलिए अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।

उत्तर: असत्य

(iv)

किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ लंबवत होती हैं।

दोनों स्पर्श रेखाएँ उसी व्यास पर लंब होती हैं, इसलिए वे परस्पर समांतर होती हैं, लंबवत नहीं।

उत्तर: असत्य

(v)

केन्द्रीय प्रवृत्ति के तीनों मापकों में आनुभविक संबंध “3 माध्यक =2 माध्य + बहुलक” होता है।

3 \times

माध्यक=बहुलक

+ 2 \times

माध्य

उत्तर: सत्य

(vi)

एक निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।

उत्तर: सत्य

प्रश्न 4

सही जोड़ी बनाइए : (1×6 = 6)

स्तम्भ “A”	स्तम्भ “B”
(i) बिन्दु (-5, -7) की X-अक्ष से दूरी	(a) $\frac{1}{3} π r^{2} h$
(ii) $sec 6 0^{\circ} =$	(b) $\frac{2}{3} π r^{3}$
(iii) समांतर श्रेढ़ी (AP): 3, 8, 13, . . . का सार्व अंतर	(c) 7
(iv) दो सहअभाज्य संख्याओं का HCF	(d) 2
(v) अर्धगोले का आयतन	(e) 1
(vi) शंकु का आयतन	(f) 5

(i)

बिन्दु (-5, -7) की X-अक्ष से दूरी

किसी बिंदु की X-अक्ष से दूरी = उसके y-निर्देशांक का संख्यात्मक मान।

दूरी=

∣ - 7∣

7

उत्तर: (i) → (c) 7

(ii)

sec 6 0^{\circ} =

सूत्र (प्रयुक्त):

sec θ = \frac{1}{cos θ}

sec 6 0^{\circ}

\frac{1}{cos 6 0 ^{\circ}}

\frac{1}{\frac{1}{2}}

2

उत्तर: (ii) → (d) 2

(iii)

समांतर श्रेढ़ी (AP): 3, 8, 13, . . . का सार्व अंतर

d

8 - 3

5

उत्तर: (iii) → (f) 5

(iv)

दो सहअभाज्य संख्याओं का HCF

सहअभाज्य संख्याओं का 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता।

उत्तर: (iv) → (e) 1

(v)

अर्धगोले का आयतन

उत्तर: (v) → (b)

\frac{2}{3} π r^{3}

(vi)

शंकु का आयतन

उत्तर: (vi) → (a)

\frac{1}{3} π r^{2} h

उत्तर:

(i) → (c)

(ii) → (d)

(iii) → (f)

(iv) → (e)

(v) → (b)

(vi) → (a)

प्रश्न 5

एक शब्द/वाक्य में उत्तर लिखिए : (1×6 = 6)

(i)

द्विघात समीकरण

x^{2} + 2 x + 1 = 0

के मूलों की प्रकृति लिखिए।

सूत्र (विविक्तकर):

D = b^{2} - 4 a c

;

D = 0

हो तो दो बराबर वास्तविक मूल

$a = 1, b = 2, c = 1$

D

(2)^{2} - 4 \times 1 \times 1

4 - 4

0

उत्तर: दो बराबर (समान) वास्तविक मूल

(ii)

यदि द्विघात बहुपद

x^{2} - 2 x + 3 k

का एक शून्यक -1 है, तो

k

का मान लिखिए।

$- 1$ शून्यक है, इसलिए $p (- 1) = 0$

(- 1)^{2} - 2 \times (- 1) + 3 k

0

1 + 2 + 3 k

0

3 + 3 k

0

3 k

0 - 3

3 k

- 3

k

\frac{- 3}{3}

k

- 1

उत्तर:

k = - 1

(iii)

यदि दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के एक युग्म द्वारा प्रदर्शित रेखाएं संपाती हैं, तो उनके हलों की संख्या लिखिए।

संपाती रेखाओं का हर बिंदु उभयनिष्ठ होता है।

उत्तर: अपरिमित रूप से अनेक (अनंत) हल

(iv)

किसी घड़ी के मिनट की सुई द्वारा 10 मिनट में बनाए गए कोण का मान लिखिए।

मिनट की सुई 60 मिनट में 360° घूमती है।

1 मिनट में कोण=

\frac{36 0 ^{\circ}}{60}

6^{\circ}

10 मिनट में कोण=

10 \times 6^{\circ}

6 0^{\circ}

उत्तर: 60°

(v)

समांतर श्रेढ़ी (AP): 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, . . . का अगला पद लिखिए।

d

1.7 - 0.6

1.1

अगला पद=

3.9 + 1.1

5.0

उत्तर: 5.0

(vi)

दृष्टि-रेखा को परिभाषित कीजिए।

उत्तर: प्रेक्षक की आँख को, प्रेक्षक द्वारा देखी जा रही वस्तु के बिंदु से मिलाने वाली रेखा को दृष्टि-रेखा कहते हैं।

खंड ब — 2 अंक वाले प्रश्नप्रश्न 6 से 17 · प्रत्येक 2 अंक · 24 अंक

प्रश्न 6

अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 6, 72 और 120 का LCM ज्ञात कीजिए। [2 अंक]

ज्ञात है

संख्याएँ 6, 72 और 120

ज्ञात करना है

अभाज्य गुणनखंड विधि से LCM

6 के अभाज्य गुणनखंड:

2	6
3	3
	1

6 = 2 × 3

72 के अभाज्य गुणनखंड:

2	72
2	36
2	18
3	9
3	3
	1

72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

120 के अभाज्य गुणनखंड:

2	120
2	60
2	30
3	15
5	5
	1

120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5

LCM = प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल (2 तीन बार, 3 दो बार, 5 एक बार)।

L CM

2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5

8 \times 9 \times 5

72 \times 5

360

उत्तर: LCM = 360

प्रश्न 7

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः $\frac{3}{4}$ और $\frac{5}{6}$ हैं। [2 अंक]

ज्ञात है

शून्यकों का योग

α + β = \frac{3}{4}

शून्यकों का गुणनफल

α β = \frac{5}{6}

ज्ञात करना है

द्विघात बहुपद

सूत्र (द्विघात बहुपद):

p (x) = k [x^{2} - (α + β) x + α β]

, जहाँ

k

कोई अशून्य वास्तविक संख्या है

p (x)

k [x^{2} - \frac{3}{4} x + \frac{5}{6}]

$k = 12$ लेकर सभी पदों को 12 से गुणा करने पर,

p (x)

12 \times x^{2} - 12 \times \frac{3}{4} x + 12 \times \frac{5}{6}

12 x^{2} - 3 \times 3 x + 2 \times 5

12 x^{2} - 9 x + 10

जाँच:

α + β

- \frac{b}{a}

\frac{9}{12}

\frac{3}{4}

α β

\frac{c}{a}

\frac{10}{12}

\frac{5}{6}

✔

उत्तर:

12 x^{2} - 9 x + 10

प्रश्न 8

वर्ग समीकरण $2 x^{2} + 7 x + 52 = 0$ के मूल ज्ञात कीजिए। [2 अंक]

ज्ञात है

द्विघात समीकरण

2 x^{2} + 7 x + 52 = 0

ज्ञात करना है

समीकरण के मूल

मध्य पद विभक्त करने के लिए पहले $a \times c$ ज्ञात करते हैं:

a \times c

2 \times 52

5 \times 2 \times 2

5 \times 2

10

ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 7 और गुणनफल 10 हो: 5 और 2 $(5 + 2 = 7, 5 \times 2 = 10)$

2 x^{2} + 7 x + 52

0

2 x^{2} + 5 x + 2 x + 52

0

$2 x = 2 \times 2 x$ लिखने पर,

x (2 x + 5) + 2 (2 x + 5)

0

(2 x + 5) (x + 2)

0

प्रत्येक गुणनखंड को अलग-अलग शून्य रखने पर,

2 x + 5

0

2 x

- 5

x

\frac{- 5}{2}

x

\frac{- 5}{2} \times \frac{2}{2}

x

- \frac{5 2}{2}

x + 2

0

x

- 2

उत्तर: मूल

- \frac{5 2}{2}

और

- 2

हैं।

प्रश्न 9

समांतर श्रेढ़ी (AP) : 3, 8, 13, 18, . . . का कौन सा पद 78 है? [2 अंक]

ज्ञात है

AP: 3, 8, 13, 18, …

a = 3

a_{n} = 78

ज्ञात करना है

n

(पद की स्थिति)

सूत्र (n वाँ पद):

a_{n} = a + (n - 1) d

d

8 - 3

5

a + (n - 1) d

a_{n}

3 + (n - 1) \times 5

78

(n - 1) \times 5

78 - 3

(n - 1) \times 5

75

n - 1

\frac{75}{5}

n - 1

15

n

15 + 1

n

16

उत्तर: 78, दी गई AP का 16वाँ पद है।

प्रश्न 10

किसी ΔABC की भुजाओं AB और AC पर क्रमशः बिंदु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि DE ∥ BC एवं AD=2 cm, DB=3 cm, AE=4 cm, तो EC ज्ञात कीजिए। [2 अंक]

ज्ञात है

ΔABC में DE ∥ BC
AD = 2 cm, DB = 3 cm, AE = 4 cm

ज्ञात करना है

ΔABC में DE ∥ BC

सूत्र (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय): त्रिभुज में DE ∥ BC हो तो

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{EC}

\frac{A D}{D B}

\frac{A E}{EC}

\frac{2}{3}

\frac{4}{EC}

वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर,

2 \times EC

3 \times 4

2 \times EC

12

EC

\frac{12}{2}

EC

6 cm

उत्तर: EC = 6 cm

प्रश्न 11

सिद्ध कीजिए $(sec θ + tan θ) (1 - sin θ) = cos θ$ [2 अंक]

ज्ञात है

LHS =

(sec θ + tan θ) (1 - sin θ)

ज्ञात करना है

LHS = RHS =

cos θ

सूत्र (प्रयुक्त):

(1)

sec θ = \frac{1}{cos θ}

(2)

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}

(3)

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

⇒

1 - sin^{2} θ = cos^{2} θ

LHS

(sec θ + tan θ) (1 - sin θ)

(\frac{1}{cos θ} + \frac{sin θ}{cos θ}) (1 - sin θ)

\frac{1 + sin θ}{cos θ} \times (1 - sin θ)

\frac{( 1 + sin θ ) ( 1 - sin θ )}{cos θ}

\frac{1 - sin θ + sin θ - sin ^{2} θ}{cos θ}

\frac{1 - sin ^{2} θ}{cos θ}

\frac{cos ^{2} θ}{cos θ}

cos θ

RHS

इति सिद्धम्

उत्तर: LHS = RHS, अतः

(sec θ + tan θ) (1 - sin θ) = cos θ

सिद्ध हुआ।

प्रश्न 12

एक बिंदु A से, जो एक वृत्त के केंद्र से 5 cm दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। [2 अंक]

ज्ञात है

OA = 5 cm (केंद्र से बिंदु A की दूरी)
AP = 4 cm (स्पर्श रेखा की लंबाई)

ज्ञात करना है

त्रिज्या OP = r

केंद्र O, स्पर्श रेखा AP, ∠OPA = 90°

सूत्र (प्रयुक्त): स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है, अतः

∠ OP A = 9 0^{\circ}

(1)पाइथागोरस प्रमेय:

(O A)^{2} = (OP)^{2} + (A P)^{2}

समकोण ΔOPA में,

O A^{2}

O P^{2} + A P^{2}

5^{2}

r^{2} + 4^{2}

25

r^{2} + 16

25 - 16

r^{2}

r^{2}

9

r

9

\underline{3 \times 3}

3 cm

उत्तर: वृत्त की त्रिज्या 3 cm है।

प्रश्न 13

X-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (-2, 9) से समदूरस्थ है। [2 अंक]

ज्ञात है

A(2, −5) और B(−2, 9)
बिंदु P, X-अक्ष पर है, अतः P(

x

, 0)

ज्ञात करना है

P जिसके लिए PA = PB

सूत्र (प्रयुक्त):

(1)दूरी सूत्र:

d^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

(2)

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(3)

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

PA = PB है, इसलिए $P A^{2} = P B^{2}$ ।

P A^{2}

(x - 2)^{2} + (0 - (- 5))^{2}

(x - 2)^{2} + (5)^{2}

x^{2} - 2 \times x \times 2 + 2^{2} + 25

x^{2} - 4 x + 4 + 25

x^{2} - 4 x + 29

P B^{2}

(x - (- 2))^{2} + (0 - 9)^{2}

(x + 2)^{2} + (- 9)^{2}

x^{2} + 2 \times x \times 2 + 2^{2} + 81

x^{2} + 4 x + 4 + 81

x^{2} + 4 x + 85

P A^{2}

P B^{2}

x^{2} - 4 x + 29

x^{2} + 4 x + 85

दोनों पक्षों से $x^{2}$ कटने पर, फिर $4 x$ को बाएँ और 29 को दाएँ पक्षांतर करने पर,

x^{2} - 4 x - x^{2} - 4 x

85 - 29

- 4 x - 4 x

85 - 29

- 8 x

56

x

\frac{56}{- 8}

x

- 7

उत्तर: X-अक्ष पर अभीष्ट बिंदु (−7, 0) है।

प्रश्न 14

एक पेटी में 90 डिस्क हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो डिस्क पर अंकित संख्या के पूर्ण वर्ग संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। [2 अंक]

ज्ञात है

डिस्क 1 से 90 तक, कुल 90

ज्ञात करना है

P(पूर्ण वर्ग संख्या)

सूत्र (प्रायिकता):

P (E) = \frac{n ( E )}{n ( S )}

n (S)

90

1 से 90 तक पूर्ण वर्ग संख्याएँ: 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81 (10² = 100 > 90)

n (E)

9

P (E)

\frac{9}{90}

\frac{1}{10}

उत्तर:

\frac{1}{10}

प्रश्न 15

वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदुओं (-3, 10) और (6, -8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को बिंदु (-1, 6) विभाजित करता है। [2 अंक]

ज्ञात है

A(−3, 10), B(6, −8)
बिंदु P(−1, 6), रेखाखंड AB पर

ज्ञात करना है

अनुपात

m_{1} : m_{2}

सूत्र (विभाजन सूत्र):

x = \frac{m _{1} x _{2} + m _{2} x _{1}}{m _{1} + m _{2}}

y = \frac{m _{1} y _{2} + m _{2} y _{1}}{m _{1} + m _{2}}

$x_{1} = - 3, y_{1} = 10, x_{2} = 6, y_{2} = - 8, x = - 1$

\frac{m _{1} \times 6 + m _{2} \times ( - 3 )}{m _{1} + m _{2}}

- 1

\frac{6 m _{1} - 3 m _{2}}{m _{1} + m _{2}}

- 1

वज्र-गुणन करने पर,

6 m_{1} - 3 m_{2}

- 1 \times (m_{1} + m_{2})

6 m_{1} - 3 m_{2}

- m_{1} - m_{2}

पक्षांतर करने पर ( $- m_{1}$ बाएँ, $- 3 m_{2}$ दाएँ),

6 m_{1} + m_{1}

- m_{2} + 3 m_{2}

7 m_{1}

2 m_{2}

\frac{m _{1}}{m _{2}}

\frac{2}{7}

जाँच (y-निर्देशांक से):

y

\frac{2 \times ( - 8 ) + 7 \times 10}{2 + 7}

\frac{- 16 + 70}{9}

\frac{54}{9}

6

✔ y = 6 मिला

उत्तर: बिंदु (−1, 6) रेखाखंड को 2 : 7 के अनुपात में (अंतः) विभाजित करता है।

प्रश्न 16

दी गई आकृति में, यदि PQ ∥ RS, तो सिद्ध कीजिए कि ΔPOQ ~ ΔSOR है। [2 अंक]

PQ ∥ RS

ज्ञात है

PQ ∥ RS; PS और QR बिंदु O पर काटती हैं

ज्ञात करना है

ΔPOQ ~ ΔSOR

PQ ∥ RS; बराबर कोण एक जैसे चिह्नों से दिखाए गए हैं

सूत्र (AA समरूपता कसौटी): यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।

उपपत्ति:

PQ ∥ RS और PS तिर्यक रेखा है, इसलिए

∠ QPO = ∠ RSO

…(1)

(एकांतर कोण)

PQ ∥ RS और QR तिर्यक रेखा है, इसलिए

∠ PQO = ∠ SRO

…(2)

(एकांतर कोण)

∠ POQ = ∠ SOR

…(3)

(शीर्षाभिमुख कोण)

(1), (2) और (3) से ΔPOQ और ΔSOR के संगत कोण बराबर हैं, इसलिए

△ POQ \sim △ SOR

(AA (AAA) समरूपता कसौटी)

इति सिद्धम्

उत्तर: ΔPOQ ~ ΔSOR (AA समरूपता से)

प्रश्न 17

हरप्रीत दो भिन्न-भिन्न सिक्कों को एक साथ उछालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह कम से कम एक चित प्राप्त करेगी? [2 अंक]

ज्ञात है

दो भिन्न-भिन्न सिक्के एक साथ उछाले गए

ज्ञात करना है

P(कम से कम एक चित)

चित = H, पट = T

S

{HH, H T, T H, TT}

n (S)

4

कम से कम एक चित वाले परिणाम: HH, HT, TH

n (E)

3

सूत्र (प्रायिकता):

P (E) = \frac{n ( E )}{n ( S )}

P (E)

\frac{3}{4}

उत्तर:

\frac{3}{4}

खंड स — 3 अंक वाले प्रश्नप्रश्न 18 से 20 · प्रत्येक 3 अंक · 9 अंक (आंतरिक विकल्प सहित)

प्रश्न 18

6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। [3 अंक]

ज्ञात है

r = 6 cm

θ = 6 0^{\circ}

π = \frac{22}{7}

ज्ञात करना है

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

त्रिज्यखंड OAB, θ = 60°

सूत्र (त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल):

\frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}

क्षेत्रफल=

\frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6

\frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 36

\frac{22}{7} \times 6

\frac{132}{7}

18.86 cm^{2}

उत्तर:

\frac{132}{7} cm^{2} = 18 \frac{6}{7} cm^{2}

≈ 18.86 cm²

अथवा / OR

एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है।

ज्ञात है

परिधि

2 π r = 22 cm

π = \frac{22}{7}

ज्ञात करना है

चतुर्थांश का क्षेत्रफल

चतुर्थांश (केंद्र पर 90°)

सूत्र (प्रयुक्त):

(1)परिधि

= 2 π r

(2)चतुर्थांश का क्षेत्रफल

= \frac{1}{4} π r^{2}

2 π r

22

2 \times \frac{22}{7} \times r

22

\frac{44}{7} \times r

22

r

22 \times \frac{7}{44}

r

\frac{154}{44}

r

\frac{7}{2}

r

3.5 cm

क्षेत्रफल=

\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}

\frac{1}{4} \times \frac{22 \times 7}{2 \times 2}

\frac{1}{4} \times \frac{154}{4}

\frac{154}{16}

\frac{77}{8}

9.625 cm^{2}

उत्तर:

\frac{77}{8} cm^{2} = 9.625 cm^{2}

प्रश्न 19

सिद्ध कीजिए कि $3$ एक अपरिमेय संख्या है। [3 अंक]

ज्ञात है

3

ज्ञात करना है

3

अपरिमेय है

सूत्र (प्रमेय): यदि अभाज्य संख्या

p

a^{2}

को विभाजित करे, तो

p

a

को भी विभाजित करती है।

माना $3$ परिमेय है (विरोधाभास विधि)। तब ऐसे सहअभाज्य पूर्णांक $a$ और $b (b \neq = 0)$ होंगे कि

3

\frac{a}{b}

3 b

a

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

(3 b)^{2}

a^{2}

3 b^{2}

a^{2}

अतः $a^{2}$ , 3 से विभाज्य है, इसलिए प्रमेय से $a$ भी 3 से विभाज्य है। माना $a = 3 c$ ।

3 b^{2}

(3 c)^{2}

3 b^{2}

9 c^{2}

b^{2}

\frac{9 c ^{2}}{3}

b^{2}

3 c^{2}

अतः $b^{2}$ , 3 से विभाज्य है, इसलिए $b$ भी 3 से विभाज्य है।

इस प्रकार $a$ और $b$ दोनों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 है। यह हमारी मान्यता ( $a$ और $b$ सहअभाज्य हैं) का विरोधाभास है।

अतः हमारी मान्यता गलत है, और $3$ एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

उत्तर:

3

अपरिमेय संख्या है।

अथवा / OR

जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या

n

के लिए, संख्या

6^{n}

अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।

ज्ञात है

संख्या

6^{n}

n

प्राकृत संख्या

ज्ञात करना है

क्या

6^{n}

का अंतिम अंक 0 हो सकता है?

सूत्र (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय): प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही प्रकार (अद्वितीय रूप) से व्यक्त किया जा सकता है।

यदि कोई संख्या अंक 0 पर समाप्त हो, तो वह 10 से विभाज्य होगी।

10

2 \times 5

अर्थात् उसके अभाज्य गुणनखंडों में 2 और 5 दोनों होने चाहिए।

6

2 \times 3

6^{n}

(2 \times 3)^{n}

2^{n} \times 3^{n}

$6^{n}$ के अभाज्य गुणनखंडों में केवल 2 और 3 हैं, अभाज्य संख्या 5 नहीं है। आधारभूत प्रमेय (अद्वितीयता) से इसमें 5 कभी नहीं आ सकता।

अतः किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए $6^{n}$ अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकती।

उत्तर: नहीं,

6^{n}

किसी भी प्राकृत संख्या

n

के लिए अंक 0 पर समाप्त नहीं होती।

प्रश्न 20

7 cm भुजा वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है। अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है ? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। [3 अंक]

ज्ञात है

घन की भुजा

a = 7 cm

π = \frac{22}{7}

ज्ञात करना है

(i) अर्धगोले का अधिकतम व्यास (ii) ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल

7 cm भुजा का घन, ऊपर अर्धगोला

अर्धगोला घन के ऊपरी फलक (7 cm × 7 cm) पर रखा है, इसलिए उसका व्यास घन की भुजा से बड़ा नहीं हो सकता।

अधिकतम व्यास=

7 cm

r

\frac{7}{2} cm

सूत्र (प्रयुक्त):

(1)घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 6 a^{2}

(2)वृत्त का क्षेत्रफल

= π r^{2}

(3)अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2 π r^{2}

ठोस का पृष्ठ = घन का पृष्ठ − अर्धगोले के नीचे ढका वृत्त + अर्धगोले का वक्र पृष्ठ

पृष्ठीय क्षेत्रफल=

6 a^{2} - π r^{2} + 2 π r^{2}

6 a^{2} + π r^{2}

6 a^{2}

6 \times 7 \times 7

6 \times 49

294 cm^{2}

π r^{2}

\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}

\frac{22 \times 7}{2 \times 2}

\frac{154}{4}

38.5 cm^{2}

पृष्ठीय क्षेत्रफल=

294 + 38.5

332.5 cm^{2}

उत्तर:

(i) अधिकतम व्यास = 7 cm

(ii) ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 332.5 cm²

अथवा / OR

एक ठोस खिलौना एक अर्धगोले के आकार का है जिस पर एक लंब वृत्तीय शंकु अध्यारोपित है। इस शंकु की ऊँचाई 2 cm और आधार का व्यास 4 cm है। इस खिलौने का आयतन ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

शंकु की ऊँचाई

h = 2 cm

आधार का व्यास 4 cm,

π = \frac{22}{7}

ज्ञात करना है

खिलौने का आयतन

खिलौना: अर्धगोले पर शंकु (h = 2 cm, r = 2 cm)

r

\frac{4}{2}

2 cm

(अर्धगोले की त्रिज्या भी 2 cm)

सूत्र (प्रयुक्त):

(1)अर्धगोले का आयतन

= \frac{2}{3} π r^{3}

(2)शंकु का आयतन

= \frac{1}{3} π r^{2} h

अर्धगोले का आयतन=

\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 2 \times 2 \times 2

\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 8

\frac{2 \times 22 \times 8}{3 \times 7}

\frac{352}{21} cm^{3}

शंकु का आयतन=

\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 2 \times 2 \times 2

\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 8

\frac{22 \times 8}{3 \times 7}

\frac{176}{21} cm^{3}

खिलौने का आयतन=

\frac{352}{21} + \frac{176}{21}

\frac{528}{21}

\frac{176}{7}

25.14 cm^{3}

उत्तर:

\frac{176}{7} cm^{3}

≈ 25.14 cm³

खंड द — 4 अंक वाले प्रश्नप्रश्न 21 से 23 · प्रत्येक 4 अंक · 12 अंक (आंतरिक विकल्प सहित)

प्रश्न 21

भूमि के एक बिंदु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। [4 अंक]

ज्ञात है

भवन BC = 20 m, मीनार CD = h

∠ BPC = 4 5^{\circ}

∠ BP D = 6 0^{\circ}

ज्ञात करना है

मीनार की ऊँचाई h

BC = भवन, CD = मीनार, P = भूमि पर बिंदु

सूत्र (प्रयुक्त):

(1)

tan θ = \frac{P}{B}

(लंब / आधार)

(2)

tan 4 5^{\circ} = 1

tan 6 0^{\circ} = 3

माना PB = $x$ m। समकोण ΔPBC में,

tan 4 5^{\circ}

\frac{BC}{PB}

1

\frac{20}{x}

x

20 m

समकोण ΔPBD में, BD = BC + CD = 20 + h

tan 6 0^{\circ}

\frac{B D}{PB}

3

\frac{20 + h}{20}

वज्र-गुणन करने पर,

203

20 + h

h

203 - 20

h

20 (3 - 1)

20 \times (1.732 - 1)

20 \times 0.732

14.64 m

उत्तर: मीनार की ऊँचाई

20 (3 - 1)

m ≈ 14.64 m

अथवा / OR

एक 80 m चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरियाँ ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

AB = CD = h (खंभे), BD = 80 m

∠ A PB = 6 0^{\circ}

∠ CP D = 3 0^{\circ}

ज्ञात करना है

h, BP और PD

खंभे AB और CD, सड़क पर बिंदु P

सूत्र (प्रयुक्त):

(1)

tan 6 0^{\circ} = 3

(2)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}

माना BP = $x$ m, तब PD = $(80 - x)$ m

समकोण ΔABP में,

tan 6 0^{\circ}

\frac{A B}{BP}

3

\frac{h}{x}

h

3 x \dots (1)

समकोण ΔCDP में,

tan 3 0^{\circ}

\frac{C D}{P D}

\frac{1}{3}

\frac{h}{80 - x}

वज्र-गुणन करने पर,

3 h

80 - x

(1) से $h = 3 x$ रखने पर,

3 \times 3 x

80 - x

3 x

80 - x

3 x + x

80

4 x

80

x

\frac{80}{4}

x

20

h

3 \times 20

203

20 \times 1.732

34.64 m

P D

80 - 20

60 m

उत्तर:

(i) खंभों की ऊँचाई =

203

m ≈ 34.64 m

(ii) 60° वाले खंभे से बिंदु की दूरी = 20 m

(iii) 30° वाले खंभे से बिंदु की दूरी = 60 m

प्रश्न 22

यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह 9/11 हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह 5/6 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए। [4 अंक]

ज्ञात है

अंश और हर में 2 जोड़ने पर भिन्न

\frac{9}{11}

अंश और हर में 3 जोड़ने पर भिन्न

\frac{5}{6}

ज्ञात करना है

भिन्न

माना भिन्न $\frac{x}{y}$ है।

पहली शर्त से:

\frac{x + 2}{y + 2}

\frac{9}{11}

वज्र-गुणन करने पर,

11 (x + 2)

9 (y + 2)

11 x + 22

9 y + 18

11 x - 9 y

18 - 22

11 x - 9 y

- 4 \dots (1)

दूसरी शर्त से:

\frac{x + 3}{y + 3}

\frac{5}{6}

वज्र-गुणन करने पर,

6 (x + 3)

5 (y + 3)

6 x + 18

5 y + 15

6 x - 5 y

15 - 18

6 x - 5 y

- 3 \dots (2)

विलोपन विधि: समीकरण (1) को 5 से और (2) को 9 से गुणा करने पर,

5 \times (11 x - 9 y)

5 \times (- 4)

55 x - 45 y

- 20 \dots (3)

9 \times (6 x - 5 y)

9 \times (- 3)

54 x - 45 y

- 27 \dots (4)

(3) में से (4) घटाने पर,

55 x - 54 x - 45 y + 45 y

- 20 - (- 27)

x

- 20 + 27

x

7

$x = 7$ को (2) में रखने पर,

6 \times 7 - 5 y

- 3

42 - 5 y

- 3

- 5 y

- 3 - 42

- 5 y

- 45

y

\frac{- 45}{- 5}

y

9

जाँच:

\frac{7 + 2}{9 + 2}

\frac{9}{11}

\frac{7 + 3}{9 + 3}

\frac{10}{12}

\frac{5}{6}

✔

उत्तर: अभीष्ट भिन्न

\frac{7}{9}

है।

अथवा / OR

दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 12 है। इस संख्या का सात गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का चार गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

ज्ञात है

अंकों का योग 12
7 × संख्या = 4 × (अंक पलटने से बनी संख्या)

ज्ञात करना है

दो अंकों की संख्या

माना दहाई का अंक $x$ और इकाई का अंक $y$ है।

संख्या=

10 x + y

अंक पलटने पर संख्या=

10 y + x

पहली शर्त से:

x + y

12 \dots (1)

दूसरी शर्त से:

7 (10 x + y)

4 (10 y + x)

70 x + 7 y

40 y + 4 x

70 x - 4 x

40 y - 7 y

66 x

33 y

y

\frac{66 x}{33}

y

2 x \dots (2)

(2) को (1) में रखने पर,

x + 2 x

12

3 x

12

x

\frac{12}{3}

x

4

y

2 \times 4

8

संख्या=

10 \times 4 + 8

40 + 8

48

जाँच:

7 \times 48

336

4 \times 84

336

✔

उत्तर: अभीष्ट संख्या 48 है।

प्रश्न 23

निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए। [4 अंक]

साक्षरता दर (% में)	45-55	55-65	65-75	75-85	85-95
नगरों की संख्या	3	10	11	8	3

ज्ञात है

5 वर्ग अंतराल और उनकी बारंबारता (कुल 35 नगर)

ज्ञात करना है

माध्य साक्षरता दर

सूत्र (माध्य (प्रत्यक्ष विधि)):

\overset{x}{ˉ} = \frac{\sum f _{i} x _{i}}{\sum f _{i}}

, जहाँ

x_{i} = \frac{l _{1} + l _{2}}{2}

(वर्ग चिह्न)

वर्ग चिह्न:

x_{1}

\frac{45 + 55}{2}

\frac{100}{2}

50

x_{2}

\frac{55 + 65}{2}

\frac{120}{2}

60

x_{3}

\frac{65 + 75}{2}

\frac{140}{2}

70

x_{4}

\frac{75 + 85}{2}

\frac{160}{2}

80

x_{5}

\frac{85 + 95}{2}

\frac{180}{2}

90

साक्षरता दर (%)	$f_{i}$	$x_{i}$	$f_{i} x_{i}$
45-55	3	50	$3 \times 50 = 150$
55-65	10	60	$10 \times 60 = 600$
65-75	11	70	$11 \times 70 = 770$
75-85	8	80	$8 \times 80 = 640$
85-95	3	90	$3 \times 90 = 270$
योग	$\sum f_{i} = 35$		$\sum f_{i} x_{i} = 2430$

\sum f_{i} x_{i}

150 + 600 + 770 + 640 + 270

2430

\overset{x}{ˉ}

\frac{2430}{35}

\frac{486}{7}

69.43

उत्तर: माध्य साक्षरता दर ≈ 69.43%

अथवा / OR

नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार को दर्शा रहा है। विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए।

भार (किलोग्राम में)	विद्यार्थियों की संख्या
40-45	2
45-50	3
50-55	8
55-60	6
60-65	6
65-70	3
70-75	2

ज्ञात है

7 वर्ग अंतराल, कुल 30 विद्यार्थी

ज्ञात करना है

माध्यक भार

सूत्र (माध्यक):

M = l + (\frac{\frac{n}{2} - c f}{f}) \times h

(1)

l

= माध्यक वर्ग की निम्न सीमा

(2)

c f

= माध्यक वर्ग से पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता

(3)

f

= माध्यक वर्ग की बारंबारता

(4)

h

= वर्ग माप

भार (kg)	बारंबारता $f$	संचयी बारंबारता $c f$
40-45	2	2
45-50	3	$2 + 3 = 5$
50-55	8	$5 + 8 = 13$
55-60	6	$13 + 6 = 19$
60-65	6	$19 + 6 = 25$
65-70	3	$25 + 3 = 28$
70-75	2	$28 + 2 = 30$

n

30

\frac{n}{2}

\frac{30}{2}

15

संचयी बारंबारता 15 से ठीक बड़ी 19 है, जो वर्ग 55-60 की है। अतः माध्यक वर्ग = 55-60

$l = 55, c f = 13, f = 6, h = 5$

M

55 + (\frac{15 - 13}{6}) \times 5

55 + \frac{2}{6} \times 5

55 + \frac{10}{6}

55 + 1.67

56.67 kg

उत्तर: माध्यक भार ≈ 56.67 kg

यह हल MP Board (MPBSE) कक्षा 10 गणित (स्टैंडर्ड) की हाई स्कूल परीक्षा 2027 की तैयारी के लिए है। प्रश्न NCERT पाठ्यपुस्तक पर आधारित हैं, इसलिए NCERT/CBSE के विद्यार्थियों के लिए भी उपयोगी।