प्रश्नावली 14.1 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 14: प्रायिकता · 25 प्रश्न (प्रायिकता — एक सैद्धांतिक दृष्टिकोण)

प्रश्न 1

निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = ______ है।(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती ______ है। ऐसी घटना ______ कहलाती है।(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है ______ है। ऐसी घटना ______ कहलाती है।(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग ______ है।(v) किसी घटना की प्रायिकता ______ से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा ______ से छोटी या उसके बराबर होती है।

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

(2)

P (E) + P (\overline{E}) = 1

, अर्थात्

P (\overline{E}) = 1 - P (E)

(

\overline{E}

= घटना ‘E नहीं’)

(3)

0 \leq P (E) \leq 1

(i)

उत्तर: घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = 1 है।

कारण: E और ‘E नहीं’ पूरक घटनाएँ हैं, इसलिए सूत्र (2) से $P (E) + P (\overline{E}) = 1$ ।

(ii)

उत्तर: उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती 0 है। ऐसी घटना असंभव घटना कहलाती है।

कारण: उसके अनुकूल कोई परिणाम नहीं होता, अतः अंश 0 है और $P = \frac{0}{n} = 0$ ।

(iii)

उत्तर: उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है 1 है। ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है।

कारण: सभी परिणाम उसके अनुकूल होते हैं, अतः $P = \frac{n}{n} = 1$ ।

(iv)

उत्तर: किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 है।

कारण: जैसे एक पासे के लिए $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 1$ ।

(v)

उत्तर: किसी घटना की प्रायिकता 0 से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा 1 से छोटी या उसके बराबर होती है।

कारण: अनुकूल परिणाम 0 से कम और सभी परिणामों से अधिक नहीं हो सकते, इसलिए सूत्र (3): $0 \leq P (E) \leq 1$

उत्तर:

(i) 1

(ii) 0, असंभव घटना

(iii) 1, निश्चित घटना

(iv) 1

(v) 0, 1

प्रश्न 2

निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं? स्पष्ट कीजिए।(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहीं होती है।(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।

परिणाम समप्रायिक तभी होते हैं जब किसी एक परिणाम के दूसरे से अधिक बार आने का कोई कारण न हो।

(i)

उत्तर: समप्रायिक नहीं हैं।

कारण: कार चलना या न चलना ईंधन, बैटरी, इंजन की स्थिति आदि पर निर्भर करता है; दोनों परिणामों की संभावना बराबर नहीं होती।

(ii)

उत्तर: समप्रायिक नहीं हैं।

कारण: बॉल डाल पाना खिलाड़ी के कौशल और अभ्यास पर निर्भर करता है; दोनों परिणाम बराबर संभावना वाले नहीं हैं।

(iii)

उत्तर: समप्रायिक हैं।

कारण: अनुमान से उत्तर देने पर दो ही परिणाम (सही या गलत) हैं और किसी एक के अधिक आने का कोई कारण नहीं; प्रत्येक की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ ।

(iv)

उत्तर: समप्रायिक हैं।

कारण: बच्चा लड़का या लड़की होने की संभावना बराबर मानी जाती है; प्रत्येक की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ ।

उत्तर:

(i) समप्रायिक नहीं

(ii) समप्रायिक नहीं

(iii) समप्रायिक हैं

(iv) समप्रायिक हैं

प्रश्न 3

फुटबॉल के खेल को प्रारंभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

मान लीजिए $E$ = घटना ‘चित आना (पहली टीम को बॉल मिलना)’

कुल संभव परिणाम: चित, पट

सभी संभव परिणामों की संख्या=

2

$E$ के अनुकूल परिणाम: चित

E

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

1

सूत्र (1) से:

P (E)

\frac{1}{2}

मान लीजिए $F$ = घटना ‘पट आना (दूसरी टीम को बॉल मिलना)’

कुल संभव परिणाम: चित, पट

सभी संभव परिणामों की संख्या=

2

$F$ के अनुकूल परिणाम: पट

F

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

1

सूत्र (1) से:

P (F)

\frac{1}{2}

दोनों टीमों के जीतने की प्रायिकता बराबर है, अर्थात् सिक्का उछालना किसी भी टीम का पक्ष नहीं लेता।

उत्तर: न्यायसंगत (संतुलित) सिक्के को उछालने पर चित और पट समप्रायिक परिणाम हैं; प्रत्येक की प्रायिकता

\frac{1}{2}

है। अतः दोनों टीमों को पहले बॉल मिलने का बराबर अवसर मिलता है, इसलिए यह एक न्यायसंगत विधि है।

प्रश्न 4

निम्नलिखित में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?(A) $\frac{2}{3}$ (B) −1.5(C) 15%(D) 0.7

सूत्र:

(1)

0 \leq P (E) \leq 1

किसी घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच (दोनों सम्मिलित) होती है। प्रत्येक विकल्प की जाँच:

विकल्प	मान	प्रायिकता हो सकती है?
(A)	$\frac{2}{3}$ ≈ 0.67	हाँ, 0 ≤ मान ≤ 1
(B)	−1.5	नहीं, मान 0 से छोटा है
(C)	15% = 0.15	हाँ, 0 ≤ मान ≤ 1
(D)	0.7	हाँ, 0 ≤ मान ≤ 1

उत्तर: (B) −1.5

कारण: प्रायिकता कभी ऋणात्मक नहीं होती; −1.5 < 0 है।

प्रश्न 5

यदि $P (E) = 0.05$ है, तो ‘E नहीं’ की प्रायिकता क्या है?

सूत्र:

(1)

P (E) + P (\overline{E}) = 1

, अर्थात्

P (\overline{E}) = 1 - P (E)

(

\overline{E}

= घटना ‘E नहीं’)

ज्ञात है

P (E) = 0.05

ज्ञात करना है

P (\overline{E})

अर्थात् ‘E नहीं’ की प्रायिकता

सूत्र (1) से:

P (\overline{E})

1 - P (E)

1 - 0.05

0.95

जाँच:

$P (E) + P (\overline{E}) = 0.05 + 0.95 = 1$ ✔

उत्तर: ‘E नहीं’ की प्रायिकता = 0.95

प्रश्न 6

एक थैले में केवल नीबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली(i) संतरे की महक वाली है?(ii) नीबू की महक वाली है?

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

मान लीजिए थैले में $n$ गोलियाँ हैं और सभी नीबू की महक वाली हैं। एक गोली निकालने के $n$ संभव परिणाम हैं।

(i) संतरे की महक वाली गोली

सभी संभव परिणामों की संख्या=

n

E

(संतरे की महक) के अनुकूल परिणामों की संख्या=

0

सूत्र (1) से:

P (E)

\frac{0}{n}

0

यह एक असंभव घटना है।

(ii) नीबू की महक वाली गोली

सभी संभव परिणामों की संख्या=

n

F

(नीबू की महक) के अनुकूल परिणामों की संख्या=

n

सूत्र (1) से:

P (F)

\frac{n}{n}

1

यह एक निश्चित घटना है।

उत्तर:

(i) संतरे की महक वाली होने की प्रायिकता = 0

(ii) नीबू की महक वाली होने की प्रायिकता = 1

प्रश्न 7

यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?

सूत्र:

(1)

P (E) + P (\overline{E}) = 1

, अर्थात्

P (\overline{E}) = 1 - P (E)

(

\overline{E}

= घटना ‘E नहीं’)

मान लीजिए E = घटना ‘2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होना’। तब $\overline{E}$ = घटना ‘2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन होना’।

ज्ञात है

P (E) = 0.992

ज्ञात करना है

P (\overline{E})

सूत्र (1) से:

P (\overline{E})

1 - P (E)

1 - 0.992

0.008

जाँच:

$0.992 + 0.008 = 1$ ✔

उत्तर: 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता = 0.008

प्रश्न 8

एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद(i) लाल हो?(ii) लाल नहीं हो?

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

(2)

P (E) + P (\overline{E}) = 1

, अर्थात्

P (\overline{E}) = 1 - P (E)

(

\overline{E}

= घटना ‘E नहीं’)

थैले में कुल गेंदें = 3 + 5 = 8

(i) लाल गेंद

मान लीजिए $E$ = घटना ‘गेंद लाल है’

कुल संभव परिणाम: 8 गेंदें (3 लाल + 5 काली)

सभी संभव परिणामों की संख्या=

8

$E$ के अनुकूल परिणाम: 3 लाल गेंदें

E

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

3

सूत्र (1) से:

P (E)

\frac{3}{8}

(ii) लाल नहीं

मान लीजिए $\overline{E}$ = घटना ‘गेंद लाल नहीं है (काली है)’

कुल संभव परिणाम: 8 गेंदें

सभी संभव परिणामों की संख्या=

8

$\overline{E}$ के अनुकूल परिणाम: 5 काली गेंदें

\overline{E}

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

5

सूत्र (1) से:

P (\overline{E})

\frac{5}{8}

जाँच:

सूत्र (2) से $P (\overline{E}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ ✔

उत्तर:

(i) लाल गेंद की प्रायिकता =

\frac{3}{8}

(ii) लाल नहीं होने की प्रायिकता =

\frac{5}{8}

प्रश्न 9

एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा(i) लाल है?(ii) सफेद है?(iii) हरा नहीं है?

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

डिब्बे में कुल कंचे = 5 + 8 + 4 = 17

(i) लाल

मान लीजिए $R$ = घटना ‘कंचा लाल है’

कुल संभव परिणाम: 17 कंचे (5 लाल + 8 सफेद + 4 हरे)

सभी संभव परिणामों की संख्या=

17

$R$ के अनुकूल परिणाम: 5 लाल कंचे

R

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

5

सूत्र (1) से:

P (R)

\frac{5}{17}

(ii) सफेद

मान लीजिए $W$ = घटना ‘कंचा सफेद है’

कुल संभव परिणाम: 17 कंचे (5 लाल + 8 सफेद + 4 हरे)

सभी संभव परिणामों की संख्या=

17

$W$ के अनुकूल परिणाम: 8 सफेद कंचे

W

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

8

सूत्र (1) से:

P (W)

\frac{8}{17}

(iii) हरा नहीं

मान लीजिए $G$ = घटना ‘कंचा हरा नहीं है’

कुल संभव परिणाम: 17 कंचे (5 लाल + 8 सफेद + 4 हरे)

सभी संभव परिणामों की संख्या=

17

$G$ के अनुकूल परिणाम: 5 लाल + 8 सफेद = 13 कंचे

G

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

13

सूत्र (1) से:

P (G)

\frac{13}{17}

जाँच:

हरा होने की प्रायिकता $\frac{4}{17}$ , इसलिए $1 - \frac{4}{17} = \frac{13}{17}$ ✔

उत्तर:

(i) लाल:

\frac{5}{17}

(ii) सफेद:

\frac{8}{17}

(iii) हरा नहीं:

\frac{13}{17}

प्रश्न 10

एक पिग्गी बैंक (piggy bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के हैं, ₹ 1 के पचास सिक्के हैं, ₹ 2 के बीस सिक्के और ₹ 5 के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का(i) 50 पैसे का होगा?(ii) ₹ 5 का नहीं होगा?

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

कुल सिक्के = 100 + 50 + 20 + 10 = 180

(i) 50 पैसे का

मान लीजिए $E$ = घटना ‘सिक्का 50 पैसे का है’

कुल संभव परिणाम: 180 सिक्के (50 पैसे के 100, ₹ 1 के 50, ₹ 2 के 20, ₹ 5 के 10)

सभी संभव परिणामों की संख्या=

180

$E$ के अनुकूल परिणाम: 50 पैसे के 100 सिक्के

E

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

100

सूत्र (1) से:

P (E)

\frac{100}{180}

\frac{5}{9}

(ii) ₹ 5 का नहीं

मान लीजिए $F$ = घटना ‘सिक्का ₹ 5 का नहीं है’

कुल संभव परिणाम: 180 सिक्के (50 पैसे के 100, ₹ 1 के 50, ₹ 2 के 20, ₹ 5 के 10)

सभी संभव परिणामों की संख्या=

180

$F$ के अनुकूल परिणाम: 100 + 50 + 20 = 170 सिक्के

F

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

170

सूत्र (1) से:

P (F)

\frac{170}{180}

\frac{17}{18}

जाँच:

₹ 5 का होने की प्रायिकता $\frac{10}{180} = \frac{1}{18}$ , इसलिए $1 - \frac{1}{18} = \frac{17}{18}$ ✔

उत्तर:

(i) 50 पैसे का होने की प्रायिकता =

\frac{5}{9}

(ii) ₹ 5 का नहीं होने की प्रायिकता =

\frac{17}{18}

प्रश्न 11

गोपी अपने जल-जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं, में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है (देखिए आकृति 14.4)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

मान लीजिए $E$ = घटना ‘निकाली गई मछली नर है’

कुल संभव परिणाम: 5 नर + 8 मादा = 13 मछलियाँ

सभी संभव परिणामों की संख्या=

13

$E$ के अनुकूल परिणाम: 5 नर मछलियाँ

E

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

5

सूत्र (1) से:

P (E)

\frac{5}{13}

उत्तर: नर मछली होने की प्रायिकता =

\frac{5}{13}

प्रश्न 12

संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है (देखिए आकृति 14.5)। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित(i) 8 को करेगा?(ii) एक विषम संख्या को करेगा?(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?

आकृति 14.5

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

(i) 8 को

मान लीजिए $A$ = घटना ‘तीर 8 को इंगित करे’

कुल संभव परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

सभी संभव परिणामों की संख्या=

8

$A$ के अनुकूल परिणाम: 8

A

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

1

सूत्र (1) से:

P (A)

\frac{1}{8}

(ii) विषम संख्या को

मान लीजिए $B$ = घटना ‘तीर एक विषम संख्या को इंगित करे’

कुल संभव परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

सभी संभव परिणामों की संख्या=

8

$B$ के अनुकूल परिणाम: 1, 3, 5, 7

B

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

4

सूत्र (1) से:

P (B)

\frac{4}{8}

\frac{1}{2}

(iii) 2 से बड़ी संख्या को

मान लीजिए $C$ = घटना ‘तीर 2 से बड़ी संख्या को इंगित करे’

कुल संभव परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

सभी संभव परिणामों की संख्या=

8

$C$ के अनुकूल परिणाम: 3, 4, 5, 6, 7, 8

C

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

6

सूत्र (1) से:

P (C)

\frac{6}{8}

\frac{3}{4}

(iv) 9 से छोटी संख्या को

मान लीजिए $D$ = घटना ‘तीर 9 से छोटी संख्या को इंगित करे’

कुल संभव परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

सभी संभव परिणामों की संख्या=

8

$D$ के अनुकूल परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

D

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

8

सूत्र (1) से:

P (D)

\frac{8}{8}

1

यह एक निश्चित घटना है।

उत्तर:

(i)

\frac{1}{8}

(ii)

\frac{1}{2}

(iii)

\frac{3}{4}

(iv) 1

प्रश्न 13

एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :(i) एक अभाज्य संख्या(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या(iii) एक विषम संख्या

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

(i) एक अभाज्य संख्या

मान लीजिए $E$ = घटना ‘एक अभाज्य संख्या आना’

कुल संभव परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6

सभी संभव परिणामों की संख्या=

6

$E$ के अनुकूल परिणाम: 2, 3, 5

E

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

3

सूत्र (1) से:

P (E)

\frac{3}{6}

\frac{1}{2}

(1 न अभाज्य है, न भाज्य; 4 और 6 भाज्य हैं।)

(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या

मान लीजिए $F$ = घटना ‘2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या आना’

कुल संभव परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6

सभी संभव परिणामों की संख्या=

6

$F$ के अनुकूल परिणाम: 3, 4, 5

F

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

3

सूत्र (1) से:

P (F)

\frac{3}{6}

\frac{1}{2}

(‘बीच’ में 2 और 6 स्वयं सम्मिलित नहीं हैं।)

(iii) एक विषम संख्या

मान लीजिए $G$ = घटना ‘एक विषम संख्या आना’

कुल संभव परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6

सभी संभव परिणामों की संख्या=

6

$G$ के अनुकूल परिणाम: 1, 3, 5

G

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

3

सूत्र (1) से:

P (G)

\frac{3}{6}

\frac{1}{2}

उत्तर:

(i)

\frac{1}{2}

(ii)

\frac{1}{2}

(iii)

\frac{1}{2}

प्रश्न 14

52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए :(i) लाल रंग का बादशाह(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता(iv) पान का गुलाम(v) हुकुम का पत्ता(vi) एक ईंट की बेगम

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

ताश की गड्डी में 52 पत्ते होते हैं: 4 रंग (सूट) — हुकुम ♠ (काला), पान ♥ (लाल), ईंट ♦ (लाल), चिड़ी ♣ (काला) — प्रत्येक में 13 पत्ते (इक्का, 2, 3, …, 10, गुलाम, बेगम, बादशाह)।

लाल पत्ते = 13 + 13 = 26; तस्वीर वाले (फेस) पत्ते = गुलाम, बेगम, बादशाह = प्रत्येक रंग में 3, कुल 3 × 4 = 12

प्रत्येक भाग में सभी संभव परिणाम = 52 पत्ते।

(i) लाल रंग का बादशाह

मान लीजिए $E_{1}$ = घटना ‘लाल रंग का बादशाह’

सभी संभव परिणामों की संख्या=

52

$E_{1}$ के अनुकूल परिणाम: पान का बादशाह, ईंट का बादशाह

E_{1}

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

2

सूत्र (1) से:

P (E_{1})

\frac{2}{52}

\frac{1}{26}

(ii) फेस कार्ड

मान लीजिए $E_{2}$ = घटना ‘एक फेस कार्ड (तस्वीर वाला पत्ता)’

सभी संभव परिणामों की संख्या=

52

$E_{2}$ के अनुकूल परिणाम: 4 गुलाम + 4 बेगम + 4 बादशाह = 12 पत्ते

E_{2}

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

12

सूत्र (1) से:

P (E_{2})

\frac{12}{52}

\frac{3}{13}

(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता

मान लीजिए $E_{3}$ = घटना ‘लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता’

सभी संभव परिणामों की संख्या=

52

$E_{3}$ के अनुकूल परिणाम: पान और ईंट के गुलाम, बेगम, बादशाह = 2 × 3 = 6 पत्ते

E_{3}

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

6

सूत्र (1) से:

P (E_{3})

\frac{6}{52}

\frac{3}{26}

(iv) पान का गुलाम

मान लीजिए $E_{4}$ = घटना ‘पान का गुलाम’

सभी संभव परिणामों की संख्या=

52

$E_{4}$ के अनुकूल परिणाम: पान का गुलाम

E_{4}

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

1

सूत्र (1) से:

P (E_{4})

\frac{1}{52}

(v) हुकुम का पत्ता

मान लीजिए $E_{5}$ = घटना ‘हुकुम का पत्ता’

सभी संभव परिणामों की संख्या=

52

$E_{5}$ के अनुकूल परिणाम: हुकुम के 13 पत्ते

E_{5}

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

13

सूत्र (1) से:

P (E_{5})

\frac{13}{52}

\frac{1}{4}

(vi) ईंट की बेगम

मान लीजिए $E_{6}$ = घटना ‘एक ईंट की बेगम’

सभी संभव परिणामों की संख्या=

52

$E_{6}$ के अनुकूल परिणाम: ईंट की बेगम

E_{6}

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

1

सूत्र (1) से:

P (E_{6})

\frac{1}{52}

उत्तर:

(i)

\frac{1}{26}

(ii)

\frac{3}{13}

(iii)

\frac{3}{26}

(iv)

\frac{1}{52}

(v)

\frac{1}{4}

(vi)

\frac{1}{52}

प्रश्न 15

ताश के पाँच पत्तों — ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का — को पलट करके अच्छी प्रकार फेटा जाता है। फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है?(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता(a) एक इक्का है?(b) एक बेगम है?

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

(i) बेगम

मान लीजिए $E$ = घटना ‘पत्ता बेगम है’

कुल संभव परिणाम: दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह, इक्का

सभी संभव परिणामों की संख्या=

5

$E$ के अनुकूल परिणाम: बेगम

E

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

1

सूत्र (1) से:

P (E)

\frac{1}{5}

(ii) बेगम अलग रखने के बाद शेष 4 पत्ते

(a) इक्का:

मान लीजिए $A$ = घटना ‘दूसरा पत्ता इक्का है’

शेष पत्ते (सभी संभव परिणाम): दहला, गुलाम, बादशाह, इक्का

सभी संभव परिणामों की संख्या=

4

$A$ के अनुकूल परिणाम: इक्का

A

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

1

सूत्र (1) से:

P (A)

\frac{1}{4}

(b) बेगम:

मान लीजिए $Q$ = घटना ‘दूसरा पत्ता बेगम है’

शेष पत्ते (सभी संभव परिणाम): दहला, गुलाम, बादशाह, इक्का

सभी संभव परिणामों की संख्या=

4

$Q$ के अनुकूल परिणाम: कोई नहीं (बेगम अलग रख दी गई है)

Q

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

0

सूत्र (1) से:

P (Q)

\frac{0}{4}

0

यह एक असंभव घटना है।

उत्तर:

(i) बेगम होने की प्रायिकता =

\frac{1}{5}

(ii) (a) इक्का होने की प्रायिकता =

\frac{1}{4}

(b) बेगम होने की प्रायिकता = 0

प्रश्न 16

किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

कुल पेन = 12 + 132 = 144

मान लीजिए $E$ = घटना ‘निकाला गया पेन अच्छा है’

कुल संभव परिणाम: 144 पेन (12 खराब + 132 अच्छे)

सभी संभव परिणामों की संख्या=

144

$E$ के अनुकूल परिणाम: 132 अच्छे पेन

E

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

132

सूत्र (1) से:

P (E)

\frac{132}{144}

\frac{11}{12}

उत्तर: पेन के अच्छा होने की प्रायिकता =

\frac{11}{12}

प्रश्न 17

(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा?(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

(i)

मान लीजिए $E$ = घटना ‘बल्ब खराब है’

कुल संभव परिणाम: 20 बल्ब (4 खराब + 16 अच्छे)

सभी संभव परिणामों की संख्या=

20

$E$ के अनुकूल परिणाम: 4 खराब बल्ब

E

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

4

सूत्र (1) से:

P (E)

\frac{4}{20}

\frac{1}{5}

(ii)

(i) में निकाला गया बल्ब अच्छा था और वापस नहीं मिलाया गया। अतः अब शेष बल्ब = 20 − 1 = 19, जिनमें खराब = 4, अच्छे = 16 − 1 = 15

मान लीजिए $F$ = घटना ‘बल्ब खराब नहीं है’

कुल संभव परिणाम: 19 बल्ब (4 खराब + 15 अच्छे)

सभी संभव परिणामों की संख्या=

19

$F$ के अनुकूल परिणाम: 15 अच्छे बल्ब

F

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

15

सूत्र (1) से:

P (F)

\frac{15}{19}

उत्तर:

(i) बल्ब खराब होने की प्रायिकता =

\frac{1}{5}

(ii) बल्ब खराब नहीं होने की प्रायिकता =

\frac{15}{19}

प्रश्न 18

एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी :(i) दो अंकों की एक संख्या(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या।

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

सभी संभव परिणाम = 1, 2, 3, …, 90, अर्थात् 90

(i) दो अंकों की संख्या

मान लीजिए $E$ = घटना ‘दो अंकों की संख्या’

सभी संभव परिणामों की संख्या=

90

$E$ के अनुकूल परिणाम: 10, 11, 12, …, 90 → 90 − 9 = 81 संख्याएँ (1 से 9 तक एक अंक वाली 9 संख्याएँ घटाईं)

E

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

81

सूत्र (1) से:

P (E)

\frac{81}{90}

\frac{9}{10}

(ii) पूर्ण वर्ग संख्या

मान लीजिए $F$ = घटना ‘पूर्ण वर्ग संख्या’

सभी संभव परिणामों की संख्या=

90

$F$ के अनुकूल परिणाम: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 (1², 2², 3², 4², 5², 6², 7², 8², 9²)

F

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

9

सूत्र (1) से:

P (F)

\frac{9}{90}

\frac{1}{10}

(iii) 5 से विभाज्य संख्या

मान लीजिए $G$ = घटना ‘5 से विभाज्य संख्या’

सभी संभव परिणामों की संख्या=

90

$G$ के अनुकूल परिणाम: 5, 10, 15, …, 90 → 90 ÷ 5 = 18 संख्याएँ

G

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

18

सूत्र (1) से:

P (G)

\frac{18}{90}

\frac{1}{5}

उत्तर:

(i)

\frac{9}{10}

(ii)

\frac{1}{10}

(iii)

\frac{1}{5}

प्रश्न 19

एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं :ABCDEAइस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि (i) A प्राप्त हो?(ii) D प्राप्त हो?

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

पासे के 6 फलक हैं, इसलिए सभी संभव परिणाम 6 हैं (A दो फलकों पर है)।

(i) A

मान लीजिए $X$ = घटना ‘A प्राप्त हो’

कुल संभव परिणाम: A, B, C, D, E, A (6 फलक)

सभी संभव परिणामों की संख्या=

6

$X$ के अनुकूल परिणाम: A (पहला फलक), A (छठा फलक)

X

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

2

सूत्र (1) से:

P (X)

\frac{2}{6}

\frac{1}{3}

(ii) D

मान लीजिए $Y$ = घटना ‘D प्राप्त हो’

कुल संभव परिणाम: A, B, C, D, E, A (6 फलक)

सभी संभव परिणामों की संख्या=

6

$Y$ के अनुकूल परिणाम: D

Y

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

1

सूत्र (1) से:

P (Y)

\frac{1}{6}

उत्तर:

(i) A प्राप्त होने की प्रायिकता =

\frac{1}{3}

(ii) D प्राप्त होने की प्रायिकता =

\frac{1}{6}

प्रश्न 20

* मान लीजिए आप एक पासे को आकृति 14.6 में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 m व्यास वाले वृत्त के अंदर गिरेगा?* यह परीक्षा की दृष्टि से नहीं है।

आकृति 14.6

नोट: यह प्रश्न पुस्तक में तारांकित (*) है — ‘यह परीक्षा की दृष्टि से नहीं है।’

पासा आयत में कहीं भी गिर सकता है, इसलिए परिणाम अनगिनत हैं। ऐसे में सूत्र (1) का रूप क्षेत्रफल से लिया जाता है:

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल क्षेत्र (वृत्त) का क्षेत्रफलकुल क्षेत्र (आयत) का क्षेत्रफल

ज्ञात है

आयत 3 m × 2 m; वृत्त का व्यास 1 m

ज्ञात करना है

पासे के वृत्त के अंदर गिरने की प्रायिकता

आयत का क्षेत्रफल=लंबाई

\times

चौड़ाई=

3 \times 2

6 m^{2}

वृत्त की त्रिज्या

r

\frac{1}{2} m

वृत्त का क्षेत्रफल=

π r^{2}

π \times (\frac{1}{2})^{2}

\frac{π}{4} m^{2}

सूत्र (1) से:

P (E)

\frac{π /4}{6}

\frac{π}{4 \times 6}

\frac{π}{24}

( $π = \frac{22}{7}$ लेने पर $\frac{22}{7 \times 24} = \frac{11}{84}$ )

उत्तर: पासे के वृत्त के अंदर गिरने की प्रायिकता =

\frac{π}{24}

प्रश्न 21

144 बॉल पेनों के एक समूह में 20 बॉल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परंतु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि(i) आप वह पेन खरीदेंगे?(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे?

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

(2)

P (E) + P (\overline{E}) = 1

, अर्थात्

P (\overline{E}) = 1 - P (E)

(

\overline{E}

= घटना ‘E नहीं’)

अच्छे पेन = 144 − 20 = 124

(i) आप पेन खरीदेंगे

मान लीजिए $E$ = घटना ‘पेन अच्छा है (आप खरीदेंगे)’

कुल संभव परिणाम: 144 बॉल पेन (124 अच्छे + 20 खराब)

सभी संभव परिणामों की संख्या=

144

$E$ के अनुकूल परिणाम: 124 अच्छे पेन

E

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

124

सूत्र (1) से:

P (E)

\frac{124}{144}

\frac{31}{36}

(ii) आप पेन नहीं खरीदेंगे

मान लीजिए $\overline{E}$ = घटना ‘पेन खराब है (आप नहीं खरीदेंगे)’

कुल संभव परिणाम: 144 बॉल पेन

सभी संभव परिणामों की संख्या=

144

$\overline{E}$ के अनुकूल परिणाम: 20 खराब पेन

\overline{E}

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

20

सूत्र (1) से:

P (\overline{E})

\frac{20}{144}

\frac{5}{36}

जाँच:

सूत्र (2) से $1 - \frac{31}{36} = \frac{5}{36}$ ✔

उत्तर:

(i)

\frac{31}{36}

(ii)

\frac{5}{36}

प्रश्न 22

उदाहरण 13 को देखिए। (i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए :

घटना : दोनों पासों की संख्याओं का योग	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
प्रायिकता	$\frac{1}{36}$						$\frac{5}{36}$				$\frac{1}{36}$

(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि ‘यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं। अतः, प्रत्येक की प्रायिकता $\frac{1}{11}$ है।’ क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर दीजिए।

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

उदाहरण 13 में एक नीले और एक सलेटी पासे को एक साथ फेंका गया है। प्रत्येक क्रमित युग्म (नीले पासे की संख्या, सलेटी पासे की संख्या) एक परिणाम है:

नीला↓ सलेटी→	1	2	3	4	5	6
1	(1, 1)	(1, 2)	(1, 3)	(1, 4)	(1, 5)	(1, 6)
2	(2, 1)	(2, 2)	(2, 3)	(2, 4)	(2, 5)	(2, 6)
3	(3, 1)	(3, 2)	(3, 3)	(3, 4)	(3, 5)	(3, 6)
4	(4, 1)	(4, 2)	(4, 3)	(4, 4)	(4, 5)	(4, 6)
5	(5, 1)	(5, 2)	(5, 3)	(5, 4)	(5, 5)	(5, 6)
6	(6, 1)	(6, 2)	(6, 3)	(6, 4)	(6, 5)	(6, 6)

सभी संभव परिणामों की संख्या=

6 \times 6

36

(i) सारणी पूरी करना

प्रत्येक योग के अनुकूल परिणाम गिनकर, सूत्र (1) से प्रायिकता:

योग	अनुकूल परिणाम	संख्या	प्रायिकता
2	(1, 1)	1	$\frac{1}{36}$
3	(1, 2), (2, 1)	2	$\frac{2}{36}$
4	(1, 3), (2, 2), (3, 1)	3	$\frac{3}{36}$
5	(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)	4	$\frac{4}{36}$
6	(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)	5	$\frac{5}{36}$
7	(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)	6	$\frac{6}{36}$
8	(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)	5	$\frac{5}{36}$
9	(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)	4	$\frac{4}{36}$
10	(4, 6), (5, 5), (6, 4)	3	$\frac{3}{36}$
11	(5, 6), (6, 5)	2	$\frac{2}{36}$
12	(6, 6)	1	$\frac{1}{36}$

जाँच:

अंशों का योग = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36, अतः सभी प्रायिकताओं का योग = $\frac{36}{36} = 1$ ✔

(ii) विद्यार्थी का तर्क

11 योग (2 से 12) समप्रायिक नहीं हैं। ऊपर की सारणी से:

योग 2 की प्रायिकता=

\frac{1}{36}

योग 7 की प्रायिकता=

\frac{6}{36}

\frac{1}{6}

योग 7 के 6 अनुकूल परिणाम हैं, जबकि योग 2 का केवल 1। समप्रायिक परिणाम 36 युग्म हैं, 11 योग नहीं; इसलिए प्रत्येक योग की प्रायिकता $\frac{1}{11}$ नहीं हो सकती।

उत्तर:

(i) पूरी सारणी:

दोनों पासों की संख्याओं का योग	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
प्रायिकता	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

(ii) नहीं, हम इस तर्क से सहमत नहीं हैं, क्योंकि 11 योग समप्रायिक परिणाम नहीं हैं (जैसे योग 2 की प्रायिकता

\frac{1}{36}

, योग 7 की

\frac{6}{36}

)।

प्रश्न 23

एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

(2)

P (E) + P (\overline{E}) = 1

, अर्थात्

P (\overline{E}) = 1 - P (E)

(

\overline{E}

= घटना ‘E नहीं’)

मान लीजिए $E$ = घटना ‘हनीफ खेल में हार जाए (तीनों परिणाम समान न हों)’

सभी संभव परिणाम (H = चित, T = पट): HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT

सभी संभव परिणामों की संख्या=

8

$E$ के अनुकूल परिणाम: HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH

E

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

6

सूत्र (1) से:

P (E)

\frac{6}{8}

\frac{3}{4}

जाँच:

जीतने के अनुकूल परिणाम HHH, TTT = 2, अतः जीतने की प्रायिकता = $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ और सूत्र (2) से $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ ✔

उत्तर: हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता =

\frac{3}{4}

प्रश्न 24

एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा?(ii) 5 कम से कम एक बार आएगा?(संकेत : एक पासे को दो बार फेंकना और दो पासों को एक साथ फेंकना एक ही प्रयोग माना जाता है।)

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

(2)

P (E) + P (\overline{E}) = 1

, अर्थात्

P (\overline{E}) = 1 - P (E)

(

\overline{E}

= घटना ‘E नहीं’)

संकेत के अनुसार, एक पासे को दो बार फेंकना = दो पासों को एक साथ फेंकना। परिणाम (पहली बार की संख्या, दूसरी बार की संख्या) हैं — प्रश्न 22 की 6 × 6 सारणी के सभी 36 युग्म।

जिन युग्मों में 5 आता है (सारणी की 5वीं पंक्ति और 5वाँ स्तंभ): (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5) — कुल 6 + 6 − 1 = 11 ((5, 5) दो बार नहीं गिना)।

(i) 5 किसी भी बार नहीं

मान लीजिए $E$ = घटना ‘5 किसी भी बार में नहीं आएगा’

सभी संभव परिणामों की संख्या=

36

$E$ के अनुकूल परिणाम: पहली बार 1, 2, 3, 4, 6 में से कोई (5 तरीके) और दूसरी बार भी 5 तरीके → 5 × 5 = 25 युग्म (= 36 − 11)

E

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

25

सूत्र (1) से:

P (E)

\frac{25}{36}

(ii) 5 कम से कम एक बार

मान लीजिए $\overline{E}$ = घटना ‘5 कम से कम एक बार आएगा’

सभी संभव परिणामों की संख्या=

36

$\overline{E}$ के अनुकूल परिणाम: ऊपर लिखे 11 युग्म

\overline{E}

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

11

सूत्र (1) से:

P (\overline{E})

\frac{11}{36}

जाँच:

सूत्र (2) से $1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ ✔

उत्तर:

(i)

\frac{25}{36}

(ii)

\frac{11}{36}

प्रश्न 25

निम्नलिखित में से कौन से तर्क सत्य हैं और कौन से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए।(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन संभावित परिणाम — दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं। अतः, इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो संभावित परिणाम — एक विषम संख्या या एक सम संख्या हैं। अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।

सूत्र:

(1)

P (E)

=अनुकूल परिणामों की संख्यासभी संभव परिणामों की संख्या

(i)

उत्तर: तर्क असत्य है।

दो सिक्के उछालने पर समप्रायिक परिणाम 3 नहीं, 4 हैं: HH, HT, TH, TT। ‘प्रत्येक एक बार’ के 2 परिणाम (HT, TH) हैं।

मान लीजिए $E$ = घटना ‘प्रत्येक एक बार (एक चित और एक पट)’

सभी संभव परिणाम (H = चित, T = पट): HH, HT, TH, TT

सभी संभव परिणामों की संख्या=

4

$E$ के अनुकूल परिणाम: HT, TH

E

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

2

सूत्र (1) से:

P (E)

\frac{2}{4}

\frac{1}{2}

दो चित की प्रायिकता=

\frac{1}{4}

दो पट की प्रायिकता=

\frac{1}{4}

कारण: तीनों परिणामों की प्रायिकताएँ $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ हैं, सभी $\frac{1}{3}$ नहीं।

(ii)

उत्तर: तर्क सत्य है।

मान लीजिए $F$ = घटना ‘विषम संख्या आना’

कुल संभव परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6

सभी संभव परिणामों की संख्या=

6

$F$ के अनुकूल परिणाम: 1, 3, 5

F

के अनुकूल परिणामों की संख्या=

3

सूत्र (1) से:

P (F)

\frac{3}{6}

\frac{1}{2}

कारण: 6 परिणामों में 3 विषम (1, 3, 5) और 3 सम (2, 4, 6) हैं, इसलिए ‘विषम’ और ‘सम’ समप्रायिक हैं और विषम संख्या की प्रायिकता = $\frac{1}{2}$ सही है।

उत्तर:

(i) असत्य

(ii) सत्य

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