प्रश्नावली 11.1 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 11: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल · 14 प्रश्न (त्रिज्यखंड और वृत्तखंड)

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7 प्र. 8 प्र. 9 प्र. 10 प्र. 11 प्र. 12 प्र. 13 प्र. 14

प्रश्न 1

6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है।

त्रिज्यखंड OAB

सूत्र (सूत्र):

(1)

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}

(2)

चाप की लंबाई = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times 2 π r

(3)

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड - △ O A B

r = 6 cm, θ = 60°

क्षेत्रफल=

\frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6

\frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 36

\frac{132}{7}

18 \frac{6}{7} cm^{2}

जाँच:

पूरा वृत्त $\frac{22}{7} \times 36 = \frac{792}{7}$ ; उसका छठा भाग $\frac{132}{7}$ ✔

उत्तर: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 132/7 cm² (≈ 18.86 cm²)

प्रश्न 2

एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है।

सूत्र (सूत्र):

(1)

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}

(2)

चाप की लंबाई = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times 2 π r

(3)

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड - △ O A B

परिधि = 2πr = 22 cm:

2 \times \frac{22}{7} \times r

22

r

\frac{22 \times 7}{44}

r

\frac{7}{2} cm

चतुर्थांश = 90° का त्रिज्यखंड:

क्षेत्रफल=

\frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}

\frac{1}{4} \times \frac{77}{2}

\frac{77}{8} cm^{2}

जाँच:

$2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} = 22$ ✔

उत्तर: चतुर्थांश का क्षेत्रफल 77/8 cm² = 9.625 cm²

प्रश्न 3

एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

सूत्र (सूत्र):

(1)

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}

(2)

चाप की लंबाई = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times 2 π r

(3)

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड - △ O A B

मिनट की सुई 60 मिनट में 360° घूमती है, इसलिए 5 मिनट में

θ

\frac{36 0 ^{\circ}}{60} \times 5

3 0^{\circ}

5 मिनट में सुई द्वारा रचित त्रिज्यखंड

क्षेत्रफल=

\frac{30}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14

\frac{1}{12} \times 616

\frac{154}{3}

51 \frac{1}{3} cm^{2}

जाँच:

पूरे घंटे में $\frac{22}{7} \times 196 = 616$ ; 5 मिनट = 1/12 भाग = $\frac{616}{12} = \frac{154}{3}$ ✔

उत्तर: 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल 154/3 cm² (≈ 51.33 cm²)

प्रश्न 4

10 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:(i) संगत लघु वृत्तखंड(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)

छायांकित: लघु वृत्तखंड

सूत्र (सूत्र):

(1)

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}

(2)

चाप की लंबाई = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times 2 π r

(3)

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड - △ O A B

r = 10 cm, θ = 90°, π = 3.14

लघु त्रिज्यखंड=

\frac{90}{360} \times 3.14 \times 10 \times 10

78.5 cm^{2}

△ O A B

\frac{1}{2} \times O A \times OB

\frac{1}{2} \times 10 \times 10

50 cm^{2}

(i) लघु वृत्तखंड

क्षेत्रफल=

78.5 - 50

28.5 cm^{2}

(ii) दीर्घ त्रिज्यखंड

क्षेत्रफल=

π r^{2} -

लघु त्रिज्यखंड=

314 - 78.5

235.5 cm^{2}

जाँच:

$78.5 + 235.5 = 314 = 3.14 \times 100$ ✔

उत्तर:

(i) लघु वृत्तखंड 28.5 cm²

(ii) दीर्घ त्रिज्यखंड 235.5 cm²

प्रश्न 5

21 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए:(i) चाप की लंबाई(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल

ΔOAB समबाहु (OA = OB, ∠O = 60°)

सूत्र (सूत्र):

(1)

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}

(2)

चाप की लंबाई = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times 2 π r

(3)

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड - △ O A B

r = 21 cm, θ = 60°

(i) चाप की लंबाई

l

\frac{60}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21

\frac{1}{6} \times 132

22 cm

(ii) त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

क्षेत्रफल=

\frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21

\frac{1}{6} \times 1386

231 cm^{2}

(iii) वृत्तखंड का क्षेत्रफल

OA = OB और ∠AOB = 60°, इसलिए ∠OAB = ∠OBA = 60°, अर्थात् ΔOAB समबाहु है:

△ O A B

\frac{3}{4} \times 2 1^{2}

\frac{441 3}{4} cm^{2}

वृत्तखंड=

(231 - \frac{441 3}{4}) cm^{2}

जाँच:

√3 ≈ 1.732 लेने पर $231 - 190.96 \approx 40.04$ cm² (धनात्मक और त्रिज्यखंड से छोटा) ✔

उत्तर:

(i) 22 cm

(ii) 231 cm²

(iii) (231 − 441√3/4) cm²

प्रश्न 6

15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। जीवा द्वारा बनाए गए संगत लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए)

छायांकित: लघु वृत्तखंड

सूत्र (सूत्र):

(1)

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}

(2)

चाप की लंबाई = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times 2 π r

(3)

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड - △ O A B

r = 15 cm, θ = 60°, π = 3.14, √3 = 1.73

त्रिज्यखंड=

\frac{60}{360} \times 3.14 \times 15 \times 15

\frac{706.5}{6}

117.75 cm^{2}

ΔOAB समबाहु है (OA = OB, ∠O = 60°):

△ O A B

\frac{3}{4} \times 1 5^{2}

\frac{1.73 \times 225}{4}

97.3125 cm^{2}

(i) लघु वृत्तखंड

क्षेत्रफल=

117.75 - 97.3125

20.4375 cm^{2}

(ii) दीर्घ वृत्तखंड

क्षेत्रफल=

π r^{2} -

लघु वृत्तखंड=

706.5 - 20.4375

686.0625 cm^{2}

जाँच:

$20.4375 + 686.0625 = 706.5 = 3.14 \times 225$ ✔

उत्तर: लघु वृत्तखंड 20.4375 cm², दीर्घ वृत्तखंड 686.0625 cm²

प्रश्न 7

12 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए)

OM ⊥ AB

सूत्र (सूत्र):

(1)

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}

(2)

चाप की लंबाई = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times 2 π r

(3)

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड - △ O A B

r = 12 cm, θ = 120°, π = 3.14, √3 = 1.73

त्रिज्यखंड=

\frac{120}{360} \times 3.14 \times 12 \times 12

\frac{452.16}{3}

150.72 cm^{2}

O से AB पर लंब OM डालिए। ∠AOM = 60°, इसलिए:

OM

12 cos 6 0^{\circ} = 6 cm

A M

12 sin 6 0^{\circ} = 63 cm

A B

2 A M = 123 cm

△ O A B

\frac{1}{2} \times A B \times OM

\frac{1}{2} \times 123 \times 6

363

36 \times 1.73

62.28 cm^{2}

वृत्तखंड=

150.72 - 62.28

88.44 cm^{2}

जाँच:

$\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 \cdot sin 12 0^{\circ} = 72 \cdot \frac{3}{2} = 363$ ✔

उत्तर: वृत्तखंड का क्षेत्रफल 88.44 cm²

प्रश्न 8

15 m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूँटे से एक घोड़े को 5 m लंबी रस्सी से बाँध दिया गया है। ज्ञात कीजिए:(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 m लंबी रस्सी के स्थान पर 10 m लंबी रस्सी से बाँध दिया जाए। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)

हरा: 5 m रस्सी; पीला: रस्सी 10 m करने पर बढ़ा भाग

सूत्र (सूत्र):

(1)

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}

(2)

चाप की लंबाई = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times 2 π r

(3)

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड - △ O A B

खूँटा वर्ग के कोने पर है, इसलिए घोड़ा 90° के त्रिज्यखंड (चतुर्थांश) में चर सकता है। π = 3.14

(i) रस्सी 5 m

क्षेत्रफल=

\frac{90}{360} \times 3.14 \times 5 \times 5

\frac{78.5}{4}

19.625 m^{2}

(ii) रस्सी 10 m

क्षेत्रफल=

\frac{1}{4} \times 3.14 \times 10 \times 10

78.5 m^{2}

वृद्धि=

78.5 - 19.625

58.875 m^{2}

जाँच:

रस्सी दुगुनी तो क्षेत्रफल 4 गुना: $4 \times 19.625 = 78.5$ ✔; दोनों रस्सियाँ 15 m भुजा से छोटी, इसलिए चतुर्थांश पूरा मैदान में ✔

उत्तर:

(i) 19.625 m²

(ii) चरने के क्षेत्रफल में वृद्धि 58.875 m²

प्रश्न 9

एक ब्रूच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाता है, जो 35 mm व्यास वाले एक वृत्त के रूप में है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है, जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है। ज्ञात कीजिए:(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई(ii) ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

5 व्यास, 10 बराबर त्रिज्यखंड

सूत्र (सूत्र):

(1)

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}

(2)

चाप की लंबाई = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times 2 π r

(3)

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड - △ O A B

व्यास = 35 mm, r = 35/2 mm

(i) तार की कुल लंबाई

परिधि=

π d

\frac{22}{7} \times 35

110 mm

5

व्यास=

5 \times 35

175 mm

कुल=

110 + 175

285 mm

(ii) प्रत्येक त्रिज्यखंड

10 बराबर त्रिज्यखंड, इसलिए प्रत्येक का कोण 36°:

क्षेत्रफल=

\frac{36}{360} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2}

\frac{1}{10} \times \frac{1925}{2}

\frac{385}{4} mm^{2}

जाँच:

$10 \times \frac{385}{4} = 962.5 = \frac{22}{7} \times (17.5)^{2}$ ✔

उत्तर:

(i) 285 mm

(ii) प्रत्येक त्रिज्यखंड 385/4 mm² = 96.25 mm²

प्रश्न 10

एक छतरी में 8 ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं। छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

सूत्र (सूत्र):

(1)

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}

(2)

चाप की लंबाई = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times 2 π r

(3)

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड - △ O A B

8 तानें बराबर दूरी पर हैं, इसलिए दो क्रमागत तानों के बीच का कोण

θ

\frac{36 0 ^{\circ}}{8}

4 5^{\circ}

दो क्रमागत तानों के बीच का भाग

क्षेत्रफल=

\frac{45}{360} \times \frac{22}{7} \times 45 \times 45

\frac{1}{8} \times \frac{44550}{7}

\frac{22275}{28} cm^{2}

जाँच:

$8 \times \frac{22275}{28} = \frac{44550}{7} = \frac{22}{7} \times 2025$ ✔

उत्तर: दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल 22275/28 cm² (≈ 795.54 cm²)

प्रश्न 11

किसी कार के दो वाइपर (wipers) हैं, जो परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लंबाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूम कर सफ़ाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ़ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।

एक वाइपर द्वारा साफ़ भाग

सूत्र (सूत्र):

(1)

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}

(2)

चाप की लंबाई = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times 2 π r

(3)

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड - △ O A B

r = 25 cm, θ = 115°। वाइपर एक-दूसरे पर नहीं चढ़ते, इसलिए कुल = 2 × एक त्रिज्यखंड।

एक वाइपर=

\frac{115}{360} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 25

\frac{23}{72} \times \frac{13750}{7}

\frac{158125}{252} cm^{2}

कुल=

2 \times \frac{158125}{252}

\frac{158125}{126} cm^{2}

जाँच:

$\frac{158125}{126} \approx 1254.96$ cm², जो दो पूरे वृत्तों $(2 \times 1964.29)$ के 115/360 भाग के बराबर है ✔

उत्तर: प्रत्येक बुहार में साफ़ क्षेत्रफल 158125/126 cm² (≈ 1254.96 cm²)

प्रश्न 12

समुद्री जहाजों को पानी के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखंड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)

लाल प्रकाश से ढका समुद्री भाग

सूत्र (सूत्र):

(1)

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}

(2)

चाप की लंबाई = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times 2 π r

(3)

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड - △ O A B

r = 16.5 km, θ = 80°, π = 3.14

क्षेत्रफल=

\frac{80}{360} \times 3.14 \times 16.5 \times 16.5

\frac{2}{9} \times 854.865

189.97 km^{2}

जाँच:

$854.865 \times 2 = 1709.73, 1709.73 \div 9 = 189.97$ ✔

उत्तर: समुद्र का 189.97 km² (लगभग) क्षेत्रफल चेतावनी के अंतर्गत है।

प्रश्न 13

एक गोल मेज़पोश पर छः समान डिज़ाइन बने हुए हैं। यदि मेज़पोश की त्रिज्या 28 cm है, तो ₹0.35 प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिज़ाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए)

छायांकित: 6 बराबर डिज़ाइन (वृत्तखंड)

सूत्र (सूत्र):

(1)

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}

(2)

चाप की लंबाई = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times 2 π r

(3)

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड - △ O A B

6 बराबर डिज़ाइन, प्रत्येक वृत्तखंड का केंद्रीय कोण 360°/6 = 60°, r = 28 cm, √3 = 1.7

एक त्रिज्यखंड=

\frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 28

\frac{1232}{3} cm^{2}

ΔOAB समबाहु है:

△ O A B

\frac{3}{4} \times 2 8^{2}

1.7 \times 196

333.2 cm^{2}

एक डिज़ाइन=

\frac{1232}{3} - 333.2

\frac{1232 - 999.6}{3}

\frac{232.4}{3} cm^{2}

6 डिज़ाइन=

6 \times \frac{232.4}{3}

464.8 cm^{2}

लागत=

464.8 \times 0.35

162.68

रुपये

जाँच:

वृत्त $\approx 2464$ − षट्भुज $(6 \times 333.2 = 1999.2)$ = 464.8 cm² ✔

उत्तर: डिज़ाइन बनाने की लागत ₹162.68

प्रश्न 14

सही उत्तर चुनिए: R त्रिज्या वाले उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण p° है, निम्नलिखित है: (A) p/180 × 2πR (B) p/180 × πR² (C) p/360 × 2πR (D) p/720 × 2πR²

सूत्र (सूत्र):

(1)

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times π r^{2}

(2)

चाप की लंबाई = \frac{θ}{36 0 ^{\circ}} \times 2 π r

(3)

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड - △ O A B

क्षेत्रफल=

\frac{p}{360} \times π R^{2}

\frac{p}{720} \times 2 π R^{2}

(A), (C) में 2πR (परिधि) है जो लंबाई देता है, क्षेत्रफल नहीं; (B) में 180 है जो दुगुना मान देगा।

जाँच (p = 360° पर):

$\frac{360}{720} \times 2 π R^{2} = π R^{2}$ (पूरा वृत्त) ✔

उत्तर: (D) p/720 × 2πR²

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यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।