प्रश्नावली 9.1 के हल

कक्षा 10 गणित · अध्याय 9: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग · 15 प्रश्न (ऊँचाइयाँ और दूरियाँ)

प्र. 1 प्र. 2 प्र. 3 प्र. 4 प्र. 5 प्र. 6 प्र. 7 प्र. 8 प्र. 9 प्र. 10 प्र. 11 प्र. 12 प्र. 13 प्र. 14 प्र. 15

प्रश्न 1

सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बँधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

AB खंभा, AC रस्सी

मान लीजिए खंभा AB = h m, रस्सी AC = 20 m, ∠ACB = 30°

सूत्र (उपयोगी मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 4 5^{\circ} = 1, tan 6 0^{\circ} = 3

sin 3 0^{\circ}

\frac{A B}{A C}

\frac{1}{2}

\frac{h}{20}

h

10

जाँच:

$\frac{10}{20} = \frac{1}{2} = sin 3 0^{\circ}$ ✔

उत्तर: खंभे की ऊँचाई 10 m है।

प्रश्न 2

आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर ज़मीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर ज़मीन को छूता है, 8 m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

BC: खड़ा भाग, BD: टूटा भाग

मान लीजिए पेड़ B पर टूटा, खड़ा भाग BC और टूटा भाग BD है, CD = 8 m, ∠BDC = 30°।

सूत्र (उपयोगी मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 4 5^{\circ} = 1, tan 6 0^{\circ} = 3

tan 3 0^{\circ}

\frac{BC}{C D}

\frac{1}{3}

\frac{BC}{8}

BC

\frac{8}{3} m

cos 3 0^{\circ}

\frac{C D}{B D}

\frac{3}{2}

\frac{8}{B D}

B D

\frac{16}{3} m

पेड़ की ऊँचाई=

BC + B D

\frac{8}{3} + \frac{16}{3}

\frac{24}{3}

\frac{24 3}{3}

83 m

जाँच (पाइथागोरस):

$B C^{2} + C D^{2} = \frac{64}{3} + 64 = \frac{256}{3} = B D^{2}$ ✔

उत्तर: पेड़ की ऊँचाई 8√3 m (≈ 13.86 m) है।

प्रश्न 3

एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए?

सूत्र (उपयोगी मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 4 5^{\circ} = 1, tan 6 0^{\circ} = 3

(i) छोटे बच्चों की फिसलनपट्टी

ऊँचाई AB = 1.5 m, लंबाई AC = x m, ∠C = 30°

sin 3 0^{\circ}

\frac{A B}{A C}

\frac{1}{2}

\frac{1.5}{x}

x

3

(ii) बड़े बच्चों की फिसलनपट्टी

ऊँचाई PQ = 3 m, लंबाई PR = y m, ∠R = 60°

sin 6 0^{\circ}

\frac{PQ}{PR}

\frac{3}{2}

\frac{3}{y}

y

\frac{6}{3}

y

23

जाँच:

$3 \times \frac{1}{2} = 1.5$ ✔ और $23 \times \frac{3}{2} = 3$ ✔

उत्तर:

(i) 3 m

(ii) 2√3 m (≈ 3.46 m)

प्रश्न 4

भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 30 m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

AB मीनार, C प्रेक्षण बिंदु

मान लीजिए मीनार AB = h m, BC = 30 m, ∠ACB = 30°

सूत्र (उपयोगी मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 4 5^{\circ} = 1, tan 6 0^{\circ} = 3

tan 3 0^{\circ}

\frac{A B}{BC}

\frac{1}{3}

\frac{h}{30}

h

\frac{30}{3}

h

103

जाँच:

$\frac{10 3}{30} = \frac{1}{3} = tan 3 0^{\circ}$ ✔

उत्तर: मीनार की ऊँचाई 10√3 m (≈ 17.32 m) है।

प्रश्न 5

भूमि से 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बाँध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

A पतंग, AC डोरी

पतंग A की ऊँचाई AB = 60 m, डोरी AC = l m, ∠ACB = 60°

सूत्र (उपयोगी मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 4 5^{\circ} = 1, tan 6 0^{\circ} = 3

sin 6 0^{\circ}

\frac{A B}{A C}

\frac{3}{2}

\frac{60}{l}

l

\frac{120}{3}

l

403

जाँच:

$403 \times \frac{3}{2} = 60$ ✔

उत्तर: डोरी की लंबाई 40√3 m (≈ 69.28 m) है।

प्रश्न 6

1.5 m लंबा एक लड़का 30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।

लड़का P से Q तक चलता है; आँख की ऊँचाई 1.5 m

भवन 30 m, लड़के की आँख की ऊँचाई 1.5 m, इसलिए आँख के स्तर से भवन की ऊँचाई

A E

30 - 1.5

28.5 m

सूत्र (उपयोगी मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 4 5^{\circ} = 1, tan 6 0^{\circ} = 3

ΔAPE में:

tan 3 0^{\circ}

\frac{A E}{PE}

PE

28.5 3 m

ΔAQE में:

tan 6 0^{\circ}

\frac{A E}{QE}

QE

\frac{28.5}{3} m

PQ

PE - QE

28.5 3 - \frac{28.5}{3}

\frac{28.5 \times 3 - 28.5}{3}

\frac{57}{3}

193 m

जाँच:

$PE \approx 49.36, QE \approx 16.45$ , अंतर $\approx 32.91$ = $193$ ✔

उत्तर: लड़का भवन की ओर 19√3 m (≈ 32.91 m) चला।

प्रश्न 7

भूमि के एक बिंदु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

BC भवन, CD मीनार

मान लीजिए भवन BC = 20 m, मीनार CD = h m, P प्रेक्षण बिंदु, PB = x m

सूत्र (उपयोगी मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 4 5^{\circ} = 1, tan 6 0^{\circ} = 3

ΔPBC में:

tan 4 5^{\circ}

\frac{BC}{PB}

1

\frac{20}{x}

x

20

ΔPBD में:

tan 6 0^{\circ}

\frac{B D}{PB}

3

\frac{20 + h}{20}

20 + h

203

h

20 (3 - 1)

जाँच:

$\frac{20 + 20 3 - 20}{20} = 3 = tan 6 0^{\circ}$ ✔

उत्तर: मीनार की ऊँचाई 20(√3 − 1) m (≈ 14.64 m) है।

प्रश्न 8

एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिंदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

BC पेडस्टल, CD मूर्ति

मान लीजिए पेडस्टल BC = h m, मूर्ति CD = 1.6 m, PB = x m

सूत्र (उपयोगी मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 4 5^{\circ} = 1, tan 6 0^{\circ} = 3

ΔPBC में:

tan 4 5^{\circ}

\frac{h}{x}

x

h

ΔPBD में:

tan 6 0^{\circ}

\frac{h + 1.6}{x}

3 h

h + 1.6

h (3 - 1)

1.6

h

\frac{1.6}{3 - 1}

h

\frac{1.6 ( 3 + 1 )}{3 - 1}

h

0.8 (3 + 1)

जाँच:

$h \approx 2.186, \frac{h + 1.6}{h} \approx \frac{3.786}{2.186} \approx 1.732 = 3$ ✔

उत्तर: पेडस्टल की ऊँचाई 0.8(√3 + 1) m (≈ 2.19 m) है।

प्रश्न 9

एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50 m ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

AB मीनार, CD भवन

मान लीजिए मीनार AB = 50 m, भवन CD = h m, BC = x m

सूत्र (उपयोगी मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 4 5^{\circ} = 1, tan 6 0^{\circ} = 3

ΔABC में (भवन के पाद C से मीनार का शिखर):

tan 6 0^{\circ}

\frac{A B}{BC}

3

\frac{50}{x}

x

\frac{50}{3}

ΔDCB में (मीनार के पाद B से भवन का शिखर):

tan 3 0^{\circ}

\frac{C D}{BC}

\frac{1}{3}

\frac{h}{50/ 3}

h

\frac{50}{3}

h

16 \frac{2}{3}

जाँच:

$x \approx 28.87, \frac{16.67}{28.87} \approx 0.577 = tan 3 0^{\circ}$ ✔

उत्तर: भवन की ऊँचाई 50/3 m = 16⅔ m है।

प्रश्न 10

एक 80 m चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।

AB और CD खंभे, P सड़क पर बिंदु

मान लीजिए दोनों खंभे h m ऊँचे हैं, BP = x m, तब PC = (80 − x) m

सूत्र (उपयोगी मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 4 5^{\circ} = 1, tan 6 0^{\circ} = 3

ΔABP में:

tan 6 0^{\circ}

\frac{h}{x}

h

3 x \dots (1)

ΔDCP में:

tan 3 0^{\circ}

\frac{h}{80 - x}

h

\frac{80 - x}{3} \dots (2)

(1) और (2) से, दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर

3 x

80 - x

4 x

80

x

20

h

203 m

जाँच:

$\frac{20 3}{60} = \frac{1}{3} = tan 3 0^{\circ}$ ✔

उत्तर:

(i) प्रत्येक खंभे की ऊँचाई 20√3 m (≈ 34.64 m)

(ii) बिंदु की खंभों से दूरियाँ 20 m और 60 m

प्रश्न 11

एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरतः खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिंदु से 20 m दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

AB टीवी टॉवर, BC नहर की चौड़ाई

मान लीजिए टॉवर AB = h m, नहर की चौड़ाई BC = x m, CD = 20 m

सूत्र (उपयोगी मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 4 5^{\circ} = 1, tan 6 0^{\circ} = 3

ΔABC में:

tan 6 0^{\circ}

\frac{h}{x}

h

3 x \dots (1)

ΔABD में:

tan 3 0^{\circ}

\frac{h}{x + 20}

h

\frac{x + 20}{3} \dots (2)

(1) और (2) से, दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर

3 x

x + 20

2 x

20

x

10

h

103 m

जाँच:

$\frac{10 3}{30} = \frac{1}{3} = tan 3 0^{\circ}$ ✔

उत्तर:

(i) टॉवर की ऊँचाई 10√3 m (≈ 17.32 m)

(ii) नहर की चौड़ाई 10 m

प्रश्न 12

एक 7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

AB भवन, CD केबल टॉवर

मान लीजिए भवन AB = 7 m, टॉवर CD = H m, AE ∥ BC, तब EC = 7 m और AE = BC = x m

सूत्र (उपयोगी मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 4 5^{\circ} = 1, tan 6 0^{\circ} = 3

ΔAEC में (अवनमन कोण 45°):

tan 4 5^{\circ}

\frac{EC}{A E}

1

\frac{7}{x}

x

7

ΔAED में (उन्नयन कोण 60°):

tan 6 0^{\circ}

\frac{D E}{A E}

D E

73

C D

D E + EC

73 + 7

7 (3 + 1) m

जाँच:

$\frac{7 3}{7} = 3 = tan 6 0^{\circ}$ ✔

उत्तर: टॉवर की ऊँचाई 7(√3 + 1) m (≈ 19.12 m) है।

प्रश्न 13

समुद्र-तल से 75 m ऊँचे प्रकाश-स्तंभ के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाज़ों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि प्रकाश-स्तंभ के एक ही ओर एक जहाज़ दूसरे जहाज़ के ठीक पीछे हो तो दोनों जहाज़ों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

AB प्रकाश-स्तंभ, C और D जहाज़

प्रकाश-स्तंभ AB = 75 m। अवनमन कोण, संगत उन्नयन कोण के बराबर होता है (एकांतर कोण), इसलिए ∠ACB = 45°, ∠ADB = 30°।

सूत्र (उपयोगी मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 4 5^{\circ} = 1, tan 6 0^{\circ} = 3

ΔABC में:

tan 4 5^{\circ}

\frac{75}{BC}

BC

75 m

ΔABD में:

tan 3 0^{\circ}

\frac{75}{B D}

B D

753 m

C D

B D - BC

753 - 75

75 (3 - 1) m

जाँच:

$B D \approx 129.90, BC = 75$ , अंतर $\approx 54.90$ ✔

उत्तर: दोनों जहाज़ों के बीच की दूरी 75(√3 − 1) m (≈ 54.9 m) है।

प्रश्न 14

1.2 m लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है। इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

A और B गुब्बारे की दो स्थितियाँ; P लड़की की आँख

गुब्बारे की आँख के स्तर से ऊँचाई

A C = B D

88.2 - 1.2

87 m

सूत्र (उपयोगी मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 4 5^{\circ} = 1, tan 6 0^{\circ} = 3

ΔACP में:

tan 6 0^{\circ}

\frac{87}{PC}

PC

\frac{87}{3}

PC

293 m

ΔBDP में:

tan 3 0^{\circ}

\frac{87}{P D}

P D

873 m

A B = C D

P D - PC

873 - 293

583 m

जाँच:

$P D \approx 150.69, PC \approx 50.23$ , अंतर $\approx 100.46 \approx 583$ ✔

उत्तर: गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी 58√3 m (≈ 100.46 m) है।

प्रश्न 15

एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाता है। छः सेकंड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।

AB मीनार; कार D से C तक 6 s में

मान लीजिए मीनार AB = h m। कार पहले D पर (अवनमन कोण 30°) और 6 s बाद C पर (अवनमन कोण 60°) है। एकांतर कोणों से ∠ADB = 30°, ∠ACB = 60°।

सूत्र (उपयोगी मान):

(1)

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(2)

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}, tan 4 5^{\circ} = 1, tan 6 0^{\circ} = 3

ΔABD में:

tan 3 0^{\circ}

\frac{h}{B D}

B D

3 h

ΔABC में:

tan 6 0^{\circ}

\frac{h}{BC}

BC

\frac{h}{3}

D C

B D - BC

3 h - \frac{h}{3}

\frac{3 h - h}{3}

\frac{2 h}{3}

मान लीजिए कार की एकसमान चाल v m/s है:

v

\frac{2 h / 3}{6}

\frac{h}{3 3} m/s

शेष समय=

\frac{BC}{v}

\frac{h / 3}{h / ( 3 3 )}

3 s

जाँच:

BC, DC का आधा है $(\frac{h}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 h}{3})$ , इसलिए समय भी 6 s का आधा = 3 s ✔

उत्तर: कार को मीनार के पाद तक पहुँचने में 3 सेकंड और लगेंगे।

← अध्याय 9 सभी अध्याय →

यह हल MP Board (MPBSE), NCERT और CBSE — तीनों के कक्षा 10 गणित के विद्यार्थियों के लिए उपयोगी है, क्योंकि तीनों में गणित की पाठ्यपुस्तक NCERT की ही है।